1.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2.數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)．
一、單選題
1．（2024高二上·浙江嘉興·期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（ ）
A．17B．37C．107D．128
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解．
【詳解】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，
即是21的倍數(shù)，且，∴，
即，∴．
故選：C．
2．（2024·海南·模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【分析】觀察數(shù)列各項(xiàng)得出是等差數(shù)列，計(jì)算求和即可.
【詳解】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
故，
故選：A
3．（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【分析】根據(jù)觀察歸納出為奇數(shù)，為偶數(shù)數(shù)，即可求解.
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
所以為奇數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
所以為偶數(shù)數(shù)；
所以，
故選:B.
4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1，，，，構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)，即可用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和為，即可得的值.
【詳解】由題意可知，
則，
所以其前n項(xiàng)和為：
，
則.
故選：B.
5．（2024高三·全國·對口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由前4項(xiàng)得到，再利用累加法求解．
【詳解】依題意得，，，
所以依此類推得，
所以．
又也符合上式，所以符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式是．
故選：C．
6．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 滿足：，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由得到，結(jié)合，得到，從而得到，再利用累加法得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值.
【詳解】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
則，
所以.
故選：C．
7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系化簡后，由累乘法直接求.
【詳解】，
，
即，
可得，
.
故選：C.
8．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；
【詳解】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到，再利用累乘法求解.
【詳解】解：由①
②，
①②得：，
即：，
所以，
所以
故選：．
10．（2024高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】解：數(shù)列滿足，，
整理得，，，，
所有的項(xiàng)相乘得：，
整理得：，
故選：．
11．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.
【詳解】，，，
因此，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
12．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合，，分別求出100年后天干為壬，地支為午，得到答案.
【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，
由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，
由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，
綜上：100年后的2122年為壬午年.
故選：A
13．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．1C．4043D．4044
【答案】A
【分析】由遞推式得到，從而得到，由此再結(jié)合即可求得的值.
【詳解】由得，
兩式相加得，即，故，
所以.
故選：A．
14．（2024·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.
【詳解】由得
，
所以數(shù)列的周期為3，所以．
故選：B
15．（2024高三上·福建龍巖·期末）數(shù)列滿足，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（ ）
A．99B．103C．107D．198
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推公式，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，求出數(shù)列通項(xiàng)，再并項(xiàng)求和，將用表示，再結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.
【詳解】由得，
∴為等比數(shù)列，∴，
∴，，
∴，
①為奇數(shù)時(shí)，，；
②為偶數(shù)時(shí)，，，
∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時(shí)，無解，
綜上所述，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式求通項(xiàng)，合理應(yīng)用條件構(gòu)造數(shù)列時(shí)解題的關(guān)鍵，考查并項(xiàng)求和，考查分類討論思想，屬于較難題.
二、填空題
16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】依題意可得，即可得到是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)，即，
根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等則，解得，故，
所以是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
故答案為：
17．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】利用構(gòu)造法及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】由，得，即
由所以，
于是數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
當(dāng)時(shí)，,此式滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：.
18．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的通項(xiàng)公式是 ．
【答案】
【分析】由題意可證得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出，再由與的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式
【詳解】，，且，
，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
，．
時(shí)，，
且不滿足上式，所以．
故答案為：.
19．（2024高二上·河南·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則 .
【答案】
【分析】由n＝1，2，3，4，5，6，分別求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，然后總結(jié)規(guī)律，求出a2014．
【詳解】由 得a3＝2，
a2＝a3＝2，
由，得a4＝4，
由，得a5＝4，
a4＝a5＝4，
由，得a6＝8，
由，得a7＝8．
a6＝a7＝8…
由此可知a2018＝a2019
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推式，解答此題的關(guān)鍵在于分析出數(shù)列的項(xiàng)規(guī)律出現(xiàn)，是中檔題．
20．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】先對化簡得，從而可求得
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
.
故答案為：
21．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則 ．
【答案】-2
【分析】分為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況，分別求得前16項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)與的關(guān)系求解即可
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以，，，，
則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為508，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù),討論n的奇偶性，可分別得到當(dāng)為奇數(shù)時(shí)有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，從而結(jié)合前16項(xiàng)和為508，可得，結(jié)合列出等式，即可求得答案.
【詳解】由，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，
可得，
，
累加可得；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
可得，，，．
可得．
,
，
，即．
故答案為：3．
23．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，則的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.
【詳解】，①．②
由得．
又因?yàn)椋允枪葹?，首?xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即．
故答案為：
24．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【分析】由遞推公式找到對應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程，巧用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡得，，
所以，從而，
故，
又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，
從而，故．
故答案為：
25．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【分析】首先求不動(dòng)點(diǎn)，將已知等式兩側(cè)與不動(dòng)點(diǎn)作差，再化簡得到為等差數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式.
【詳解】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡得：，
所以，從而，又，
所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，
所以．
故答案為：
三、解答題
26．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列，，且對于時(shí)恒有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】．
【分析】將遞推關(guān)系變形為，結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是常數(shù)列0，所以，所以 ．
27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求.
【答案】
【分析】等號(hào)兩邊同時(shí)加上，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可.
【詳解】因?yàn)?br>所以兩邊同時(shí)加上得：，
所以，當(dāng)時(shí)，
故，故，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
于是
28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，解得，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式.
（2）確定，再利用分組求和結(jié)合等差等比數(shù)列求和公式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），設(shè)，
即，即，解得，
，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
，故.
（2），則
.
29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，，，求{an}的通項(xiàng).
【答案】an=1+
【分析】
利用特征方程法求數(shù)列通項(xiàng)，計(jì)算即可.
【詳解】∵{an}的特征函數(shù)為：，
由，
∴
∴數(shù)列{an-1}是公比為的等比數(shù)列，
∴an-1=an=1+.
30．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和法求出，依題意可得對于任意正整數(shù)恒成立，參變分離可得，令，求出，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
若對于恒成立，即，
可得即對于任意正整數(shù)恒成立，
所以，令，則，
所以，可得，所以，
所以的取值范圍為．
31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{}通項(xiàng)公式.
【詳解】可化為：．
又
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是2的等比數(shù)列．
∴，則．
所以數(shù)列{}通項(xiàng)公式為
32．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造新數(shù)列，并利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】由，可得
又，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則，故．
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
33．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，即可得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出其通項(xiàng)公式；
解法二：兩邊同時(shí)除以得，再利用構(gòu)造法計(jì)算可得；
【詳解】解法一：因?yàn)椋?br>設(shè)，
所以，
則，解得，
即，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)除以得，
所以，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，所以.
34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，求．
【答案】
【分析】將已知關(guān)系式變形為，兩邊同除以可得，記，則，再構(gòu)造等比數(shù)列可求解.
【詳解】由已知關(guān)系式得,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3得等比數(shù)列，故，
所以
35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．
【答案】．
【分析】將已知式子變形為，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義求得答案．
【詳解】，，則，
則，
，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
于是，．
36．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案.
【詳解】為等差數(shù)列，
首項(xiàng)，公差為，
.
37．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）兩邊同時(shí)取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；
（2）放縮法證明不等式即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，故?br>所以，整理得．
又，，，
所以為定值，
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得.
（2）因?yàn)椋?
所以．
38．（2024·廣東潮州·二模）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列得通項(xiàng)即可得解；
（2）由，得，則，則，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>則，
又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
所以；
（2）由，得，
則，
所以，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>所以.
39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由結(jié)合可以得到，從而由等比數(shù)列的定義直接寫出通項(xiàng)公式即可.
（2）由題意，直接由錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故，
故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，
所以由題意，
故，
則，
故
，
則.
40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)，，
(2)．
【分析】（1）由遞推關(guān)系即可求解，
（2）由的關(guān)系，即可得到，進(jìn)而可證明為等比數(shù)列，即可求解.
【詳解】（1）由，得．
由，得，
，得．
（2）當(dāng)時(shí)，有，即 ①
令，則，與①比較得，，
是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
，故．
41．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【詳解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式兩邊同時(shí)除以，得．
又，所以，即，
所以是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
42．（2024·海南海口·一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由與的關(guān)系式即可證得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，再由裂項(xiàng)相消法可證明，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）∵，∴
當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，，
即，
∵，∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴.
（2）因?yàn)?，所?br>∴當(dāng)時(shí)， ，
∴
，
∴，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.證明：是等比數(shù)列.
【答案】證明見解析
【分析】記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，可得，從而可得結(jié)果.
【詳解】由，當(dāng)n?1時(shí)，可得??14；
當(dāng)時(shí)，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，
即，即，
記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，
故，又?1? ?15 ≠0，
∴數(shù)列{an?1}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）法一，利用，結(jié)合完全平方公式求得，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，從而求得，由此得解；
法二：利用，結(jié)合完全平方公式與構(gòu)造法得到，進(jìn)而求得，再利用求根公式即可得解；
（2）利用放縮法與裂項(xiàng)求和法即可得解.
【詳解】（1）法一：
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，
兩式相減可得，又，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，即，
故當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以.
法二：
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故，等號(hào)兩邊平方得，
設(shè)，則，又，，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故，即，則，
故，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，則，而，矛盾，舍去，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故.
（2）由法一易知，
由法二易得，
故由（1）得，
，
所以，命題得證.
45．（2024高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系作差可得，進(jìn)而由遞推法可得，
（2）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差中項(xiàng)，即可得矛盾求解.
【詳解】（1）由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，所以，即，
所以時(shí)，，又由知時(shí)，成立，
即對任意正整數(shù)均有，
所以，從而，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，所以.
假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
即，化簡得，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，化簡得，
又，所以，即，所以，所以，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
46．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴是以、公比為2的等比數(shù)列，
∴.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，①
∴，②
①-②得，，
∴，當(dāng)時(shí)，也適合，
∴.
47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得出，兩式作差推導(dǎo)出，然后利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證法一：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立；
證法二：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合裂項(xiàng)法可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：對任意的，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減．
整理得，
當(dāng)時(shí)，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因?yàn)椋?br>所以，
．
從而；
證法二：因?yàn)椋?br>所以，
，證畢.
48．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數(shù)列為公差為2 的等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2），
，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.
49．（2024·江西·三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系即可求出結(jié)果；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.
【詳解】（1），
兩式相減得：，
由于，則，
當(dāng)時(shí)，，得，
，則，
所以是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．證明：是等差數(shù)列；
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)和的關(guān)系化簡遞推關(guān)系即可證明.
【詳解】證明：因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
51．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）為數(shù)列的前n項(xiàng)積，且．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系，把已知式中換成的關(guān)系式，然后可配出等比數(shù)列的比值；
（2）由（1）求得后，代入已知可得或由與的關(guān)系求解．
【詳解】（1）證明： 由已知條件知 ①,
于是． ②,
由①②得． ③ ，
又 ④，
由③④得，所以 ，
令，由，得，，
所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
，
法1：時(shí)，，
又符合上式，所以；
法2：將代回得：．
52．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用即項(xiàng)與和的關(guān)系方法求得，再利用求得；
（2）再由定義求得，并利用作差法得出是遞減的，從而易得最大值．
【詳解】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也滿足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，則，
記，
∴，
∴，
∴，即單調(diào)遞減，
∴的最大值為．
53．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)為，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)積為，可知，結(jié)合遞推公式，即可求出結(jié)果.
（2）由（1）求出，證明數(shù)列為等差數(shù)列，求和后配方求最小值即可.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，也符合.
故的通項(xiàng)公式為.
（2），
，
是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為.
54．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)的積，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若（，）.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由及可得，由等差數(shù)列的定義即可證得數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）由（1）可得，從而有，從而由已知可得時(shí)，，進(jìn)而可得時(shí)，，檢驗(yàn)即可得答案.
【詳解】解：（1）證明：，.
，
是等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，.
時(shí)，；
時(shí)，.
而，，，均不滿足上式.
（）.
55．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)由題意可得，結(jié)合即可得到是公差等差數(shù)列；
(2)由（1）得，進(jìn)而得到，結(jié)合和即可得出結(jié)果.
【詳解】解析：（1）將代入，得，
整理得．
當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
所以．
56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，求通項(xiàng).
【答案】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得當(dāng)時(shí)，，分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
，
，
57．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】.
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類討論，借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解作答.
【詳解】在數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，
兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
58．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)95
【分析】（1）先利用數(shù)列的遞推公式求得與的關(guān)系，然后用構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列可解；
（2）利用（1）中通項(xiàng)公式可表示出相鄰奇數(shù)項(xiàng)，并項(xiàng)求和可得，解不等式可知，再由求出即可得答案.
【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，則，所以，即．
又．
所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
所以．即．
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即
，
令．則可解得．即．
又因?yàn)?br>故的最小值為95．
59．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）通過構(gòu)造得，則可得到的通項(xiàng)；
（2）利用等比數(shù)列求和公式得，通過作差得，，則得到是一個(gè)增數(shù)列，計(jì)算即可得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以，，，所以．
又因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，所以，所以?br>即，
所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以，
因?yàn)椋?br>，
所以是一個(gè)增數(shù)列，
因?yàn)?，?br>所以滿足題意的n的最小值是20．
60．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·期中）在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，求和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)，
【分析】（1）由條件變形化簡，利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1）得，計(jì)算乘積即可.
【詳解】（1）由題意可得：，
是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以
是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由上可得：，
同理.
61．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.
（1）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
（2）若，設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.
【分析】（1）把已知等式左邊因式分解，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列得，但需對討論，，不是等比數(shù)列，否則是等比數(shù)列；
（2）由（1）求得，即可得，用分組求和法求和．
【詳解】解：（1）∵，
又是正項(xiàng)數(shù)列，可得，∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，易知，故，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的判斷，考查分組求和法，數(shù)列中由遞推公式不能說明數(shù)列是等比數(shù)列，加上條件才可得是等比數(shù)列．
62．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)．
(1)求，；
(2)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(3)的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和為．
【答案】(1)，
(2)是，理由見解析
(3)，
【分析】（1）對等式進(jìn)行因式分解可得遞推關(guān)系，判斷數(shù)列為等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式，代入求出的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；
（2）由（1）中的通項(xiàng)公式作差即可證明；
（3）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，
可得，
則或，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以.
數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得；
，
，；
（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，
則數(shù)列為首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列；
（3），
前項(xiàng)和為．
63．（2024高三·福建福州·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且．
（I）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（II）若記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（I）證明見解析；（II）．
【詳解】試題分析：（I）將原式變形得，利用累乘法得：，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；（II）由（I）知．
試題解析：（I）證明：將原式變形得：，………………2分
由于為正項(xiàng)數(shù)列，故有：，利用累乘法得：．
從而得知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．．………………6分
（II）由（I）知，………………9分
從而
．………………12分
考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、累積法；3、裂項(xiàng)相消法．
【方法點(diǎn)晴】本題考查等差數(shù)列、累積法和裂項(xiàng)相消法，涉及轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯推理能力、化歸能力和計(jì)算能力，綜合性較高，屬于較難題型．第二小題利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原式變形得，利用累乘法得：可得是等差數(shù)列．第二小題利用裂項(xiàng)相消法即可求得正解．
64．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，數(shù)列滿足，且．
(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推式，令n=1，可求得；將整理變形可得，利用，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由可確定的表達(dá)式，進(jìn)而可得的表達(dá)式，討論n的奇偶性，求得數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，，
解得．
又，，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)上式也成立，
．
（2）數(shù)列滿足，且．
,
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為
．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為
,
當(dāng)時(shí)也成立，
．
65．（2024·四川·一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；.；（2）
【解析】（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；
（2）通過定義法證明出是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和.
【詳解】解：（1）由題可知，，且，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，，
由已知可得，且，
∴的通項(xiàng)公式：.
（2）設(shè)，則，
所以，，
得是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：
，
即，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.
【點(diǎn)睛】本題考查通過遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力.
66．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，得到，則是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而可得答案.
【詳解】依題，
記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)；
由定理2知：
，
；
兩式相除得到，
∴是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴，
從而．
67．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求其通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】根據(jù)特征方程解出，令，得到，利用取倒數(shù)法求出，即可求出的通項(xiàng)公式．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以特征方程為，解得,
令，代入原遞推式得,
因?yàn)?，所以?br>故,
因此，，從而,
又因?yàn)?，所以?br>（一）
觀察法
觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng)．使用觀察法時(shí)要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．
題型1：觀察法
1-1．（2024·湖南長沙·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，······，則第十層有（ ）個(gè)球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【分析】把每一層的球數(shù)看成數(shù)列的項(xiàng)，即可得一個(gè)數(shù)列，根據(jù)規(guī)律即可求解.
【詳解】由題意知：
，
，
，
，
所以.
故選：C
1-2．（2024·遼寧·三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖中正六邊形的個(gè)數(shù)記為，所有正六邊形的周長之和?面積之和分別記為，其中圖中每個(gè)正六邊形的邊長是圖中每個(gè)正六邊形邊長的，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．存在正數(shù)，使得恒成立D．
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，分析出為公比為7的等比數(shù)列，求出；B選項(xiàng)，從圖中求出；C選項(xiàng)，分析出為等比數(shù)列，公比為，求出通項(xiàng)公式，由數(shù)列的單調(diào)性分析出答案；D選項(xiàng)，分析出圖n中的小正六邊形的個(gè)數(shù)，每個(gè)小正六邊形的邊長，從而求出面積.
【詳解】A選項(xiàng)，圖1中正六邊形的個(gè)數(shù)為1，圖2中正六邊形的個(gè)數(shù)為7，
由題意得為公比為7的等比數(shù)列，所以，故，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由題意知，，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為6，故，
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，分析可得，圖n中的小正六邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)，每個(gè)小正六邊形的邊長為，故每個(gè)小正六邊形的面積為，
則，D正確.
故選：D
1-3．（2024高二上·山東聊城·期中）若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用觀察歸納法求出通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)分別是，正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，
所以對照四個(gè)選項(xiàng)，正確.
故選：D
71．（2024高三上·河北唐山·期中）若數(shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及分子分母的取值的規(guī)律，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】通過觀察數(shù)列的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：
且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用表示各項(xiàng)的正負(fù)；
各項(xiàng)的絕對值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，
而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故第n項(xiàng)的絕對值是，
所以數(shù)列的通項(xiàng)可為，
故選：D
（二）
1.累加法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
2.累乘法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
題型2：累加法
2-1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用遞推公式可得相鄰兩項(xiàng)前后項(xiàng)之差，再利用累加法可得通項(xiàng)，最后裂項(xiàng)相消求和即可.
【詳解】因?yàn)?，故可得，，…，，及累加可得?br>則，所以，
則．
故選：B．
2-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【分析】在數(shù)列遞推式中依次取，得到個(gè)等式，累加后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出答案.
【詳解】由，
得，，
，，，
累加得，
，
當(dāng)時(shí)，上式成立，
則，
所以.
故選：D
2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，
將個(gè)式子相加可得，
因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合題意，
所以.
故選：D.
2-4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用累加法求得的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由累加法可得：，
所以（），
又因?yàn)椋?br>所以（），
當(dāng)時(shí)，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故選：A.
題型3：累乘法
3-1．（2024高二·全國·課后作業(yè)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出，進(jìn)而可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：A
3-2．（2024高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知 ， 則 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
【答案】D
【分析】根據(jù)累乘法得，再根據(jù)通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】解：，
，
，，
，，
顯然，當(dāng)時(shí)，滿足，
∴，
.
故選：D.
3-3．（2024高一下·青海西寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化簡數(shù)列的關(guān)系式，利用累乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．
【詳解】數(shù)列滿足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故選：D﹒
（三）
待定系數(shù)法
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：求出 ，再可求出
（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再求出．
（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在通過累加法，求出之后得．
題型4：待定系數(shù)法
4-1．（2024·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【分析】湊配法得出數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．
【詳解】由得，又，
所以，即是等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：．
4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法二：整理得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結(jié)合等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.
【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時(shí)除以得：，
整理得，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，
當(dāng)時(shí)，則
，
故，
顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.
故答案為：.
4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】設(shè)，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
∴ ，∴ ．
（四）
同除法
對于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))型
方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),將遞推關(guān)系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),則由原遞推公式構(gòu)造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而數(shù)列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數(shù)列。（注：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效）
方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。
方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數(shù)法求解。
題型5：同除法
5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】構(gòu)造新數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】將兩邊除以，
得，則，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
則，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】先將條件變形為，再利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】兩邊除以，得
，則，故
，
，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（五）
取倒數(shù)法
對于，取倒數(shù)得．
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．
題型6：取倒數(shù)法
6-1．（2024高三·全國·對口高考）數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【分析】先兩邊取倒數(shù)，再構(gòu)造等差數(shù)列即可求解．
【詳解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故數(shù)列以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以．
故答案為：．
6-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).
【答案】
【分析】取倒數(shù)后得到是等差數(shù)列，求出，得到通項(xiàng)公式.
【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，
，
∴.
6-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】將遞推得到兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式．
【詳解】，，兩邊取倒數(shù)得到，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
，，．
當(dāng)時(shí)，，則，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
，
，
，
，
，
（六）
取對數(shù)法
形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
題型7：取對數(shù)法
7-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【分析】在等式兩邊取對數(shù)可得，可得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】對任意的，，
因?yàn)?，則，
所以，，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
7-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．
【答案】證明見解析
【分析】變換得到，考慮和兩種情況，確定是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，計(jì)算通項(xiàng)公式得到證明.
【詳解】恒成立，，則，
則，，
當(dāng)時(shí)，，故，即，
取，滿足；
當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故，即，
故，
故，取，得到恒成立.
綜上所述：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．
（七）
已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇．一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項(xiàng)的和的形式相對獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況．
簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨(dú)立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時(shí)加注的范圍．
題型8：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問題
8-1．（2024·青海西寧·二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【分析】利用化簡可得出，則可求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，由得，
兩式相減可得
，即，
所以，可得，
所以.
故選：C.
8-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為
A．－8B．6C．－5D．4
【答案】C
【分析】利用，可得，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以求出的值.
【詳解】對于，
當(dāng)時(shí)有，即
，
，
兩式相減得：
，
由可得
即從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，
所以，
即，
則，故，
由可得，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查遞推式求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要通過觀察遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列來解決問題，本題難度較大，對學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.
8-3．（2024·陜西渭南·二模）已知數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為.若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】先由 ，求得 ，進(jìn)而得出，再按照裂項(xiàng)相消求和.
【詳解】在數(shù)列中，又，且，
兩式相除得，，
∴數(shù)列 是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則，∴ ，
當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
則，
數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.
故答案為：
8-4．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，將替換，然后兩式相減作差即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由分組求和法，分別求出奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，，
，
上述兩式作差可得，
因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為.
（2），，
所以，
.
所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
（八）
周期數(shù)列
（1）周期數(shù)列型一：分式型
（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型
（3）周期數(shù)列型三：乘積型
（4）周期數(shù)列型四：反解型
題型9：周期數(shù)列
9-1．（2024高二上·黑龍江·期中）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系逐步代入可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，即可得出答案．
【詳解】，，
，，，，，
數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列．
又，
．
故選：B．
9-2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)首項(xiàng)和遞推公式，，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，然后逐項(xiàng)分析各選項(xiàng)；
【詳解】∵，，∴，故A錯(cuò)誤；
，，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故B錯(cuò)誤；
∵，，
∴，故C正確；
，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
9-3．（2024高二上·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)遞推公式得到為周期為3的數(shù)列，從而得到.
【詳解】，則，，，……，
故為周期為3的數(shù)列，
因?yàn)椋?
故選：D
9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知數(shù)列滿足：，，，，則（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把遞推關(guān)系式里的換成，結(jié)合得到
，然后把上式的的換成得到周期.
【詳解】
即
又
是以為周期的周期數(shù)列.
故選：C
（九）
前n項(xiàng)積型
類比前項(xiàng)和求通項(xiàng)過程：
（1），得
（2）時(shí)，
題型10：前n項(xiàng)積型
10-1．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)積的意義求解作答.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.
【詳解】（1）依題意，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，
即，當(dāng)時(shí)，有，兩式相除得，，
顯然，即，因此當(dāng)時(shí)，，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，由（1）得，，于是，
因此，
則，
所以數(shù)列前項(xiàng)和為.
10-2．（2024高二上·山東威?！て谀┰O(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
(1)求，；
(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)；
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通過得到，兩式相除整理后可證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）當(dāng)時(shí)，通過可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證時(shí)是否符合.
【詳解】（1）由，且，
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，，得；
（2）對于①，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得，
即，，
又，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
（3）由（2）得，
，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，不符合，
.
10-3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）對于數(shù)列,根據(jù),利用和的關(guān)系求解;對于數(shù)列,因?yàn)槠淝绊?xiàng)積,根據(jù)即可求解;
（2）由（1）知,利用錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,
∴,
當(dāng)時(shí),,
化簡得,
∵,∴,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
∴.
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)也滿足，
所以.
（2）,
設(shè)①,
則②,
①-②得,
∴.

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