1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．
注：①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．
一、單選題
1．（2024·全國）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．
A．B．C．D．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設(shè)函數(shù)一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三上·全國·單元測試）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
5．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（ ）
A．有極大值，無最小值B．無極大值，有最小值
C．有極大值，有最大值D．無極大值，無最大值
6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則極值點的個數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．4
7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是函數(shù)的極小值點
B．是函數(shù)的極大值點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在處的切線斜率小于零
8．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)
論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是
A．是的零點B．1是的極值點
C．3是的極值D．點在曲線上
9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖所示，，是函數(shù)的兩個極值點，則等于（ ）

A．B．C．D．
11．（2024高二下·吉林長春·階段練習(xí)）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（ ）
A．2B．C．D．1
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：
①x=-2是函數(shù)的極值點；
②x=1是函數(shù)的極值點；
③的圖象在處切線的斜率小于零；
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
13．（2024高二下·全國·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是的極小值點B．是的極小值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．曲線在處的切線斜率小于零
14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（ ）個單調(diào)區(qū)間.
A．3B．4C．5D．6
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）

A．有兩個極值點B．為函數(shù)的極大值
C．有兩個極小值D．為的極小值
18．（2024·全國）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
19．（2024·全國）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
20．（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（ ）

A．的單調(diào)遞增區(qū)間是
B．是的極小值點
C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)
D．是的極小值點
21．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線，如果，當(dāng)且僅當(dāng)時，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（ ）
A．1是的極大值，也是的極大值B．1是的極大值，也是的極小值
C．1是的極小值，也是的極小值D．1是的極小值，也是的極大值
22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．在處取得極大值
C．在區(qū)間上有2個極大值點
D．在處取得最大值
23．（2024高三上·廣西百色·階段練習(xí)）函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·全國）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
25．（2024高三上·福建莆田·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．在上有兩個極值點B．在處取得最小值
C．在處取得極小值D．函數(shù)在上有三個不同的零點
26．（2024高三上·福建福州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為函數(shù)的零點B．為函數(shù)的極小值點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．是函數(shù)的最大值
三、填空題
27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的極大值點和極大值分別為 ，
28．（2024·全國）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) 的極大值為 ；極小值為 .
30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數(shù)，在時有極大值，則的極大值為
31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）函數(shù)的極值點的個數(shù)為 .
32．（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在時有極值為0，則 .
33．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為 .
四、解答題
34．（2024·北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)
（1）求b、c的值．
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
36．（2007·安徽）設(shè)函數(shù)，其中．將的最小值記為．
(1)求的表達(dá)式；
(2)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．
37．（2024·山東）設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點；當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．
38．（2024·福建）已知函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.
39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)求函數(shù)的極值.
40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)的極值．
41．（2024·全國）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
42．（2024·北京）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；
（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.
43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求在上的值域；
(2)若的極大值為4，求實數(shù)的值.
44．（2024·北京）設(shè)函數(shù)=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
45．（2024高三上·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在極值點，且，求的值，并分析是極大值點還是極小值點．
46．（2024·廣東）設(shè)，集合
（1）求集合D（用區(qū)間表示）
（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點.
47．（2024·湖北）設(shè)函數(shù)在處取得極值，試用表示和，并求的單調(diào)區(qū)間．
48．（2024·重慶）已知函數(shù)在處取得極值．
確定a的值；
若，討論的單調(diào)性．
49．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)，，已知和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
50．（2024高二下·重慶長壽·期中）已知函數(shù).
(1)設(shè)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，求函數(shù)的極值.
51．（2024高二下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
52．（2024高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．
(1)若，證明：；
(2)設(shè)函數(shù)，若為的極大值點，求a的取值范圍．
53．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若是的極大值點，求的取值范圍．
54．（2024高三上·貴州·開學(xué)考試）定義函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：在區(qū)間上，有且只有兩個不同的極值點．
55．（2024高三上·北京西城·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．
(1) ， ；
(2)的極小值點為 ，極小值為 ；
(3)的極大值點為 ，極大值為 ；
(4)畫出函數(shù)的圖象草圖：

(5)若方程恰好有2個解，則實數(shù) ；
(6)若在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是 ；
(7)若函數(shù)存在極值，則極值點的個數(shù)可能為 個．
（一）
函數(shù)極值、極值點的辨識
解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負(fù)，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨?fù)值，則在該點處取得極大值；若是由負(fù)值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值．
題型1：函數(shù)極值、極值點的辨識
1-1．（2024·遼寧）設(shè)函數(shù)滿足則時，
A．有極大值，無極小值B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值
1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),則．
A．當(dāng)k=1時,f(x)在x=1處取到極小值B．當(dāng)k=1時,f(x)在x=1處取到極大值
C．當(dāng)k=2時,f(x)在x=1處取到極小值D．當(dāng)k=2時,f(x)在x=1處取到極大值
1-3．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx ，則 （ ）
A．x=為f(x)的極大值點B．x=為f(x)的極小值點
C．x=2為 f(x)的極大值點D．x=2為 f(x)的極小值點
題型2：函數(shù)(導(dǎo)函數(shù))的圖象與極值(點)關(guān)系
2-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 ，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是
A．函數(shù)有極大值 和極小值
B．函數(shù)有極大值 和極小值
C．函數(shù)有極大值 和極小值
D．函數(shù)有極大值 和極小值
2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)極小值點的個數(shù)是（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．函數(shù)在處取得極大值
D．函數(shù)在處取得極大值
2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)的極小值有（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
（二）
求已知函數(shù)的極值、極值點
1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．
注：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f ′(x)的符號不同；
（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．
題型3：求已知函數(shù)的極值、極值點
3-1．（2024·重慶）設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)極值．
3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；
(2)求函數(shù)的極值．
3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).求的極值；
3-4．（2024·廣西南寧·一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，過點作曲線的切線，求切點坐標(biāo)；
(2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值．
3-5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值；
(2)當(dāng)時，討論極值點的個數(shù)．
（三）
根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)
根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗證.
題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)
4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)的取值范圍．
4-2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（ ）
A．8B．C．2D．
4-3．（2024高三下·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數(shù)無極值，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)
5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)為實數(shù)．
(1)時，求的極小值點；
(2)若是的極小值點，求的取值范圍．
5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若是的極大值點，求的取值范圍.
5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)存在唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．

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專題30 數(shù)列求和5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版）：

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專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（解析版）：

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