河南省南陽(yáng)市鄧州市城區(qū)第五初級(jí)中學(xué) 2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)尖子生數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長(zhǎng)．
2. 如圖，關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，分別是，對(duì)此，小華認(rèn)為：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，有最小值；③點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，符合要求的點(diǎn)只有1個(gè)；④將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)或3個(gè)單位長(zhǎng)度經(jīng)過(guò)原點(diǎn).其中正確的結(jié)論有（）

A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象逐個(gè)分析即可．
【詳解】由函數(shù)圖象可得：
當(dāng)時(shí)，或；故①錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，有最小值；故②正確；
點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)或3個(gè)單位長(zhǎng)度經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
3. 如圖，有一張矩形紙片．先對(duì)折矩形，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕﹐同時(shí)得到線(xiàn)段，．觀察所得的線(xiàn)段，若，則（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到，在中，由特殊銳角的三角函數(shù)可求即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，
∴
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱(chēng)，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，，平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線(xiàn)判斷A即可；由角平分線(xiàn)求出，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設(shè)，則，求出x，即可判斷C；過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理推出，即可根據(jù)三角形面積公式判斷D．
【詳解】解：由題意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正確；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的作圖及性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
②若直線(xiàn)上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③拋物線(xiàn)上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證即可；②點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義可得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，把代入化簡(jiǎn)并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
∵，，
∴，
∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
故①正確，符合題意；
②設(shè)點(diǎn)，
∵點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正確，不符合題意；
③設(shè)拋物線(xiàn)上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線(xiàn)上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
故③正確，符合題意；
④設(shè)點(diǎn)，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值是，
故④正確，符合題意；
綜上：正確的有①③④，共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解．
6. 如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線(xiàn)的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．
【詳解】解：如圖所示，作延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，

∵，，
∴，
∴四邊形為矩形，，，
∴為的切線(xiàn)，
由題意，為的切線(xiàn)，
∴，，
∵，
∴設(shè)，，，
則，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（不合題意，舍去），
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線(xiàn)的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．
7. 已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，若且，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左邊的交點(diǎn)為，設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求得其坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析出的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左邊的交點(diǎn)為，設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為
聯(lián)立
解得：或
∴，
由，則，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
設(shè)，則點(diǎn)在上，
∵且，
∴點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即，，
當(dāng)時(shí)，
對(duì)于，當(dāng)，，此時(shí)，
∴，
∴
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則，
∴的取值范圍是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖1，點(diǎn)P從等邊三角形的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為（）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如圖，令點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)．結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，易知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)的路程為，可知，過(guò)點(diǎn)作，解直角三角形可得，進(jìn)而可求得等邊三角形的邊長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，令點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)．
結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
∴，，
又∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)的路程為，
∴，即，
∴，
過(guò)點(diǎn)作，
∴，則，
∴，
即：等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用圖象和圖形給出的條件．
9. 如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線(xiàn)上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線(xiàn)AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．
【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正確，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正確，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正確，故符合要求；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值是（）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，可得，進(jìn)而根據(jù)已知條件的，求得直線(xiàn)的解析式，將代入，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則

∴
∴
∵,
∴
∴
解得：
∵點(diǎn)在上，
∴
解得：
∴直線(xiàn)的解析式為
當(dāng)時(shí)，
即
又反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)
∴,
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11. “神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國(guó)空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來(lái)情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知，，則圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)約為_(kāi)____km（結(jié)果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由是的切線(xiàn)，可得，由此構(gòu)建方程求出r,再利用弧長(zhǎng)公式求解．
【詳解】解：設(shè)，
由題意，是的切線(xiàn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程求解．
12. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．如果圖中陰影部分的面積為4.5，那么的正切值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正切函數(shù)的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．作于點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及面積法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：作于點(diǎn)，
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，
由題意得，
解得，
∴，
∵，
解得，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，
∴的正切值，
故答案為：．
13. 如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．若于點(diǎn)F，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．
【答案】
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，得到，從而推導(dǎo)出，由三角形中位線(xiàn)定理得到，從而推導(dǎo)出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．
∵，為的中點(diǎn)，
∴，，．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴是的中位線(xiàn)，
∴，則于點(diǎn)，

設(shè)，，由折疊可知?jiǎng)t，
∵，
∴，，
又由折疊得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位線(xiàn)，
∴，，
∴，
由折疊知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求解．
14. 矩形中，M為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】2或
【解析】
【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，
∴，則，
由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得：，
又∵M(jìn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，
∴，
∴，
即：，
∴，
當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，
∴為的垂直平分線(xiàn)，
∴，
∵四邊形矩形，
∴，則，
∴
∴，
綜上，的長(zhǎng)為2或，
故答案為：2或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，垂直平分線(xiàn)的判定及性質(zhì)等，畫(huà)出草圖進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15. 如圖，二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)．下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的兩根為，；④．其中正確的是______．（只填寫(xiě)序號(hào)）
【答案】①③
【解析】
【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給圖象可以得出，，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸，同時(shí)令，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，逐個(gè)判斷可以得解．
【詳解】解：由圖象可得，，，又，
．
．
①正確．
由題意，令，
．
又二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
的兩根之和為，兩根之積為．
，．
．
又，
．
．
②錯(cuò)誤，③正確．
，，
．
④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分75分）
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與過(guò)點(diǎn)且平行于x軸的線(xiàn)交于點(diǎn)C．
（1）求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，直接寫(xiě)出n的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意，代入求出n的值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：把點(diǎn)，代入得：，
解得：，
∴該函數(shù)的解析式為，
由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)時(shí)，
解得：，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，
所以如圖所示，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意，
代入得：，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且．

（1）求證：是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得為的平分線(xiàn)，再根據(jù)與相切于點(diǎn)，是的直徑得，進(jìn)而根據(jù)切線(xiàn)的判定可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證得到，進(jìn)而得到，再證得到，然而在中利用三角函數(shù)可求出，進(jìn)而得為等邊三角形，據(jù)此得，，則，最后得到弧長(zhǎng)公式即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，是的中點(diǎn)，
為的平分線(xiàn)，
與相切于點(diǎn)，是的直徑，
為的半徑，
，
又，
，
即為的半徑，
是的切線(xiàn)；
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
點(diǎn)為的圓心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中點(diǎn)，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
為等邊三角形，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟練掌握切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
18. 如圖，是菱形的對(duì)角線(xiàn)．

（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）在（1）所作的圖中，連接，；
①求證：；
②若，求的值．
【答案】（1）作法、證明見(jiàn)解答；
（2）①證明見(jiàn)解答；②的值是．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，也就是以為一邊在菱形外作一個(gè)三角形與全等，第三個(gè)頂點(diǎn)的作法是：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)；
（2）①由旋轉(zhuǎn)得，，，則，，即可根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”證明；
②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證明，得，而，所以，由等腰三角形的“三線(xiàn)合一”得，則，設(shè)，，則，所以，，由勾股定理得，求得，則．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖1，就是所求的圖形．
．
【小問(wèn)2詳解】
證明：①如圖2，由旋轉(zhuǎn)得，，，
，，
，
．
②如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
，
，
，
，
解關(guān)于的方程得，
，
，
的值是．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為．
（1）若對(duì)于，有，求的值；
（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱(chēng)軸即可求解；
（2）根據(jù)題意可得離對(duì)稱(chēng)軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵對(duì)于，有，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為．
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵當(dāng)，，
∴，，
∵，，
∴離對(duì)稱(chēng)軸更近，，則與的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．
20. 在中、，于點(diǎn)M，D是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線(xiàn)段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；
（2）如圖2，若在線(xiàn)段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿(mǎn)足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2），證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；
（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線(xiàn)，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一證明即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
；
證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，
∵，
∴是的中位線(xiàn)，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
設(shè)，，則，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
21. 某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開(kāi)始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷(xiāo)售完某型號(hào)設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元/件．設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬(wàn)元/件，售價(jià)與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（1）求，的值；
（2）設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷(xiāo)售完設(shè)備的數(shù)量為件，且y與x滿(mǎn)足關(guān)系式．
當(dāng)時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大?最大的利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?
當(dāng)時(shí)，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于萬(wàn)元，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；
（2），；．
【解析】
【分析】（）用待定系數(shù)法求出，的值即可；
（）當(dāng)，根據(jù)利潤(rùn)(售價(jià)成本)設(shè)備的數(shù)量，可得出關(guān)于的二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)解析式，再畫(huà)出關(guān)于的函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖，由題意可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
把時(shí)，；時(shí)，代入得：
，解得：，；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)為萬(wàn)元，由（）知，當(dāng)時(shí)，，
∴，
，
，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
∴工廠第個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是萬(wàn)元；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
則與的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于萬(wàn)元，
∴當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
∴的取值范圍．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)在銷(xiāo)售問(wèn)題中的應(yīng)用，明確一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)并分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
22. 蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．
如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線(xiàn)構(gòu)成，其中，，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，若以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）如圖2，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個(gè)正方形裝置的間距的長(zhǎng)；
（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)透過(guò)點(diǎn)恰好照射到點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得和，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸利用待定系數(shù)法即可求得解析式，
（2）根據(jù)題意得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可求得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)，結(jié)合題意得的橫坐標(biāo)，則有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求得；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)的解析式為，根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立方程組得，由于拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切，則有，解得m，即可求得．
【小問(wèn)1詳解】
解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，
將點(diǎn)代入得，解得，
拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為：；
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
將代入得，
解得，（舍），
的橫坐標(biāo)為1，
四邊形正方形，
的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
；
【小問(wèn)3詳解】
如圖，取最右側(cè)光線(xiàn)與拋物線(xiàn)切點(diǎn)為，

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)及點(diǎn)代入，
得，
解得，
直線(xiàn)的解析式為：，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，
由得，即，
拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切，
該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得，
直線(xiàn)的解析式為：，
令直線(xiàn)中得，
即，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求解析式、正方形的性質(zhì)、解一元二次方程以及一元二次方程根的情況，解題的關(guān)鍵是熟練二次函數(shù)的性質(zhì)和點(diǎn)的幾何意義．
23. 問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：
（1）先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的大小；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展：
（3）將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)F作，證明即可得出結(jié)論．
（2）在上截取，使，連接，證明，通過(guò)邊和角的關(guān)系即可證明．
（3）過(guò)點(diǎn)A作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，由（2）知，，通過(guò)相似求出，即可解出．
【小問(wèn)1詳解】
延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：在上截取，使，連接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小問(wèn)3詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．
【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多