遼寧省沈陽(yáng)市南昌初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）
1. 《九章算術(shù)》中注“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則表示氣溫為（）
A. 零上8℃B. 零下8℃C. 零上2℃D. 零下2℃
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負(fù)，直接得出結(jié)論即可．
【詳解】解：若氣溫為零上10℃記作+10℃，則表示氣溫為零下8℃，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，關(guān)鍵是理解正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個(gè)為正，則和它意義相反的就為負(fù)．
2. 下圖是由四個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主視圖即為在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，由此確定即可．
【詳解】解：從正面看，該幾何體第1列有1個(gè)正方形，第2列有2個(gè)正方形，第3列有1個(gè)正方形，所以從左往右小正方形的個(gè)數(shù)分別為1,2,1．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，正確理解主視圖的定義是判斷的關(guān)鍵．
3. 中國(guó)傳統(tǒng)紋飾圖案不但蘊(yùn)含了豐富的文化，而且大多數(shù)圖案還具有對(duì)稱美．下列紋飾圖案中是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的定義即：把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形的定義．
4. 下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪乘法和完全平方公式的計(jì)算法則求解判斷即可．
【詳解】解：A、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故正確，符合題意；
C、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪乘法和完全平方公式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是( )
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=9＞0，進(jìn)而即可得出方程x2﹣x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【詳解】解：∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，
∴方程x2﹣x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
6. 解分式方程時(shí)，將方程兩邊都乘同一個(gè)整式，得到一個(gè)一元一次方程，這個(gè)整式是（）
A. xB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：分式方程的最簡(jiǎn)公分母是，
方程兩邊都乘同一個(gè)整式去分母是，
故選：C．
7. 關(guān)于一次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A B. 過(guò)點(diǎn)0,1
C. y隨x的增大而減小D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)一次函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限判斷的符號(hào)，根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的增減性．
【詳解】解：A、由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，可以判定，原說(shuō)法正確，不符合題意；
B、由函數(shù)解析式知：該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，原說(shuō)法正確，不符合題意；
C、由函數(shù)圖象知，隨的增大而減小，原說(shuō)法正確，不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
8. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？意思：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)清酒x斗，則醑酒斗，根據(jù)題意正確列方程即可．
【詳解】解：設(shè)清酒x斗，則醑酒斗，
由題意可得：，
故選：A．
9. 如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的度數(shù)，得到，平行線的性質(zhì)，得到，三角形的外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形一個(gè)外角的度數(shù)為：，
∴正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，
即：，
∵一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握多邊形的外角和是，是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，，平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求出，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設(shè)，則，求出x，即可判斷C；過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，由角平分線的性質(zhì)定理推出，即可根據(jù)三角形面積公式判斷D．
【詳解】解：由題意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正確；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的作圖及性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11. 因式分解：___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
先提公因式，再利用平方差公式即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
12. 如圖，已知A，B的坐標(biāo)分別為，，將沿x軸正方向平移，使B平移到點(diǎn)E，得到，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移，由可得，進(jìn)而得到，即將沿x軸正方向平移1個(gè)單位得到，然后將A向右平移1個(gè)單位得到C，最后根據(jù)平移法則即可解答．
【詳解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴將沿x軸正方向平移1個(gè)單位得到，
∴點(diǎn)C是將A向右平移1個(gè)單位得到的
∴點(diǎn)C是的坐標(biāo)是，即．
故答案為：．
13. 一個(gè)不透明的箱子里有3個(gè)球，其中2個(gè)白球，1個(gè)紅球，它們除了顏色外其他都相同，從中任意摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個(gè)球，則摸出的兩個(gè)球恰好顏色不同的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．解題的關(guān)鍵是掌握概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的球恰好顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球恰好顏色不同的有4種情況，
∴兩次摸出的球恰好顏色不同的概率是：．
故答案為：．
14. 如圖，在中，邊在x軸上，邊交y軸于點(diǎn)E．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與對(duì)角線交于點(diǎn)F．若，則k的值為_______

【答案】4
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，．證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)以及可得，再證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)以及可得，即有，然后根據(jù)，可求得的值．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖

設(shè)點(diǎn)則
軸
又
軸，軸，
又
點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為
軸
點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為，
是對(duì)角線，，
即
解得，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，在矩形中，，P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使，且過(guò)D作，連接，則最小值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，作于H，連接延長(zhǎng)交于F，作于E．證明，推出定值，推出點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)時(shí)，的值最小，求出即可．
【詳解】解：如圖，作于H，連接延長(zhǎng)交于F，作于E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴定值，
∴點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴
在中，∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形核或全等三角形解決問(wèn)題．
三．解答題（共8小題，共75分）
16. （1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算：
（1）本題涉及了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算時(shí)針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)依次計(jì)算；
（2）先把原式化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)后，再把x的值代入，注意計(jì)算出x的值．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
當(dāng)時(shí)，原式．
17. 為豐富學(xué)生課余生活，展示青少年美育學(xué)習(xí)成效，推動(dòng)美育教育大發(fā)展．惠農(nóng)區(qū)教體局組織開展了“百米長(zhǎng)卷繪盛世筆墨丹青寄未來(lái)”繪畫活動(dòng)，某學(xué)校為繪畫小組購(gòu)買某種品牌的A、B兩種型號(hào)的顏料，若購(gòu)買1盒A種型號(hào)的顏料和2盒B種型號(hào)的顏料需用56元；若購(gòu)買2盒A種型號(hào)的顏料和1盒B種型號(hào)的顏料需用64元．
（1）求每盒A種型號(hào)的顏料和每盒B種型號(hào)的顏料各多少元；
（2）某中學(xué)決定購(gòu)買以上兩種型號(hào)的顏料共200盒，總費(fèi)用不超過(guò)3920元，那么該中學(xué)最多可以購(gòu)買多少盒A種型號(hào)的顏料？
【答案】（1）每盒A種型號(hào)的顏料24元，每盒B種型號(hào)的顏料16元
（2）該中學(xué)最多可以購(gòu)買90盒A種型號(hào)的顏料
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．
（1）根據(jù)“購(gòu)買某種品牌的A、B兩種型號(hào)的顏料，若購(gòu)買1盒A種型號(hào)的顏料和2盒B種型號(hào)的顏料需用56元；若購(gòu)買2盒A種型號(hào)的顏料和1盒B種型號(hào)的顏料需用64元”可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；
（2）根據(jù)某中學(xué)決定購(gòu)買以上兩種型號(hào)的顏料共盒，總費(fèi)用不超過(guò)元，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)每盒A種型號(hào)的顏料a元，每盒B種型號(hào)的顏料b元，
由題意可得：，
解得，
答：每盒A種型號(hào)的顏料24元，每盒B種型號(hào)的顏料16元；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)購(gòu)買x盒A種型號(hào)的顏料，則購(gòu)買盒B種型號(hào)的顏料，
∵總費(fèi)用不超過(guò)3920元，
∴，
解得，
∵x為整數(shù)，
∴x的最大值為90，
答：該中學(xué)最多可以購(gòu)買90盒A種型號(hào)的顏料．
18. 中考體育測(cè)試前，金川區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽測(cè)了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績(jī)，并將測(cè)試得到的成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中a＝ %，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）在這次抽測(cè)中，測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是個(gè)、個(gè)．
（3）該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有1800人，如果體育中考引體向上達(dá)6個(gè)以上（含6個(gè)）得滿分，請(qǐng)你估計(jì)該區(qū)體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？
【答案】（1）25，圖見解析
（2）5，5 （3）810名
【解析】
【分析】（1）用1減去其他天數(shù)所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出該扇形所對(duì)圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可；
（3）先求出樣本中得滿分的學(xué)生所占的百分比，再乘以1800即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中a=1-30%-15%-10%-20%=25%，
設(shè)引體向上6個(gè)的學(xué)生有x人，由題意得
，解得x=50．
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下：
故答案為：5；
【小問(wèn)2詳解】
解：由條形圖可知，引體向上5個(gè)的學(xué)生有60人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是5；
共200名同學(xué)，排序后第100名與第101名同學(xué)的成績(jī)都是5個(gè)，故中位數(shù)為（5+5）÷2=5．
故答案為：5，5．
【小問(wèn)3詳解】
解：（名）．
答：估計(jì)該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的同學(xué)有810名．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)的意義．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．也考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖與用樣本估計(jì)總體．
19. 北京市平谷區(qū)是中國(guó)著名的大桃之鄉(xiāng)，有著“山水平谷、森林城市、花果田園、人文勝地”的美譽(yù)，平谷大桃久負(fù)盛名，已經(jīng)成為北京特色農(nóng)業(yè)的代表、平谷區(qū)的一張名片，經(jīng)過(guò)50多年的發(fā)展，大桃產(chǎn)業(yè)已成為平谷10萬(wàn)農(nóng)民增收致富的重要渠道，每年盛夏時(shí)節(jié)，平谷大桃就會(huì)迎來(lái)成熟期，平谷某水果店采用線上和線下相結(jié)合的方式銷售一種水蜜桃，線上可以通過(guò)“快團(tuán)團(tuán)”進(jìn)行團(tuán)購(gòu)拼單購(gòu)買,線下可以到實(shí)體店購(gòu)買，具體費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)如下：
①線上銷售方式：一律七折銷售；②線下銷售方式：不超過(guò)5千克，按原價(jià)銷售；超過(guò)5千克時(shí)，超出的部分每千克優(yōu)惠9元；
購(gòu)買水蜜桃千克，所需費(fèi)用元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）水蜜桃標(biāo)價(jià)為_________元/千克；
（2）求出線下銷售時(shí)所需費(fèi)用與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若想購(gòu)買20千克水蜜桃，請(qǐng)問(wèn)采用哪種方式購(gòu)買更省錢？
【答案】（1）20 （2）
（3）線下購(gòu)買更省錢
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖象上的數(shù)據(jù)計(jì)算得到折后價(jià)，折后價(jià)除以即得標(biāo)價(jià)
（2）當(dāng)時(shí)，原價(jià)為20，得到，當(dāng)時(shí)，超出5千克的部分每千克優(yōu)惠9元，得到；
（3）當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算線上購(gòu)買與線下購(gòu)買的總費(fèi)用，比較兩種情況的總費(fèi)用即得最省錢購(gòu)買方式．
【小問(wèn)1詳解】
（元/千克），
（元/千克），
故答案為：20．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
，
線下銷售時(shí)所需費(fèi)用與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)時(shí)，，
，
∵．
∴ 線下購(gòu)買更省錢．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用——購(gòu)買問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖象信息，總價(jià)與單價(jià)和數(shù)量的關(guān)系，折后價(jià)與標(biāo)價(jià)和折率的關(guān)系，分段計(jì)費(fèi)，方案選擇．
20. 如圖1，某人的一器官后面處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過(guò)醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】新生物處到皮膚的距離約為
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在，用與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
由題意得，，，
在中，．
在中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物處到皮膚的距離約為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．
21. 如圖，是的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D在上，，與相交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)A，與延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：．
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，結(jié)合∠CDA=∠ABC，證明∠CAF=∠CAD，從而證明△ACF≌△ACE，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)EF求出CE，結(jié)合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根據(jù)sin∠ABF=求出AB即可得到半徑．
【詳解】解：（1）∵AB為圓O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AF與圓O相切，
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠CDA=∠CBA，
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，
∴△ACF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF；
（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，
∴sin∠ABF=sin∠CAD==，
∵△ACF≌△ACE，EF=12，
∴CE=CF=6，
∴=，解得：AE=10，
∴AC==8，
∴sin∠ABF==，
∴AB=，
∴圓O的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正弦的定義，知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題時(shí)要注意多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合．
22. 根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【答案】[任務(wù)一]；[任務(wù)二]；[任務(wù)三] 小雪在該訓(xùn)練場(chǎng)地滑行時(shí)會(huì)落在小山坡上
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
[任務(wù)一]待定系數(shù)法求解析式即可求解；
[任務(wù)二]設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)拋物線求出落地點(diǎn)坐標(biāo)，然后將，代入解析式，即可求解；
[任務(wù)三]先求得跳臺(tái)增高后的解析式，再令，解方程得出的值，令拋物線中，解方程得出的值，比較，即可求解．
【詳解】解：[任務(wù)一]將代入拋物線，得，
解得：
[任務(wù)二]由[任務(wù)一]可得拋物線，
當(dāng)時(shí)，，則落地點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將，代入得，
，
解得：，
∴；
[任務(wù)三] 小雪在該訓(xùn)練場(chǎng)地滑行時(shí)會(huì)落在小山坡上，
∵跳臺(tái)高度增加了米，
∴跳臺(tái)增高后的解析式為
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）
即小雪落地時(shí)距離點(diǎn)，
對(duì)于
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）
∵
∴小雪在該訓(xùn)練場(chǎng)地滑行時(shí)會(huì)落在小山坡上，
23. 下面是平頂山某初中數(shù)學(xué)小組對(duì)某教材一道習(xí)題的探究，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．“三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用過(guò)如圖所示的圖形，其中，是長(zhǎng)方形，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，并且，．你能證明嗎？
小明：經(jīng)過(guò)分析，得出結(jié)論：點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，且；
小麗：你的結(jié)論正確，若把條件“G是上一點(diǎn)，并且，”去掉，并把你的結(jié)論當(dāng)成已知條件，也能完成三等分角的證明，有異曲同工之妙．
任務(wù)一：請(qǐng)你根據(jù)小麗的思路，將下面的“已知”和“求證”補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過(guò)程．
已知：是矩形，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且；
求證：；
任務(wù)二：如圖，在矩形中，對(duì)角線的延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn)F，若，，求的長(zhǎng)．
任務(wù)三：如圖所示，在中，，，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)D在線段上，，，求的面積．
【答案】任務(wù)一：詳見解析
任務(wù)二：
任務(wù)三：
【解析】
【分析】任務(wù)一：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，于是得到；
任務(wù)二：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
任務(wù)三：作線段垂直平分線，交于E，于F，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)證明，再證明，得到，然后設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，則有，解之求得，從而求得，最后由求解即可．
【詳解】解：任務(wù)一：已知：四邊形是矩形，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，且，
求證：；
證明：四邊形是矩形，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
任務(wù)二：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
任務(wù)三：如圖，作線段垂直平分線，交于E，于F，
∵垂直平分，
∴，，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
設(shè)，則，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
∴．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．課題
檢測(cè)新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖

說(shuō)明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．
測(cè)量數(shù)據(jù)
，，
如何選擇合適的跳臺(tái)高度？
素材1
跳臺(tái)滑雪是運(yùn)動(dòng)員借助速度和彈跳力，沿著跳臺(tái)下滑，并從起跳點(diǎn)騰空，在空中沿拋物線飛行至著陸坡．圖1是某小型跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的實(shí)物圖，圖2是其橫截面示意圖，以地面的水平線為軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，其最左端位于點(diǎn)的正上方米處，最右端在水平線上，且最高點(diǎn)在距點(diǎn)水平距離8米處．

素材2
小雪從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．該滑雪場(chǎng)有若干個(gè)跳臺(tái)高度不同，小山坡完全相同的訓(xùn)練場(chǎng)地，在不同場(chǎng)地滑行時(shí)，小雪滑行的拋物線形狀不變．
問(wèn)題解決
任務(wù)1
確定滑行路徑
求值；
任務(wù)2
確定山坡形狀
當(dāng)小雪滑行到離處的水平距離為11米時(shí)，恰好落在小山坡上，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)3
選擇跳臺(tái)高度
若小雪選擇的跳臺(tái)高度增加了米，請(qǐng)判斷在該訓(xùn)練場(chǎng)地滑行時(shí)是否會(huì)落在小山坡上．

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