一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）
1. 《九章算術》中注“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：有兩數若其意義相反，則分別叫做正數和負數．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則表示氣溫為（ ）
A. 零上8℃B. 零下8℃C. 零上2℃D. 零下2℃
【答案】B
【解析】
【分析】根據用正負數來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負，直接得出結論即可．
【詳解】解：若氣溫為零上10℃記作+10℃，則表示氣溫為零下8℃，
故選B．
【點睛】本題考查正負數的意義，關鍵是理解正數與負數表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負．
2. 下圖是由四個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主視圖即為在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，由此確定即可．
【詳解】解：從正面看，該幾何體第1列有1個正方形，第2列有2個正方形，第3列有1個正方形，所以從左往右小正方形的個數分別為1,2,1．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了三視圖，正確理解主視圖的定義是判斷的關鍵．
3. 中國傳統(tǒng)紋飾圖案不但蘊含了豐富的文化，而且大多數圖案還具有對稱美．下列紋飾圖案中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據中心對稱圖形定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形， 故選項錯誤，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，故選項正確，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的定義即：把一個圖形繞某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．
4. 下列運算結果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據合并同類項，積的乘方，同底數冪乘法和完全平方公式的計算法則求解判斷即可．
【詳解】解：A、，計算錯誤，不符合題意；
B、，故正確，符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、，計算錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題主要考查了合并同類項，積的乘方，同底數冪乘法和完全平方公式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
5. 關于x的一元二次方程的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數根B. 有兩個相等的實數根
C. 有且只有一個實數根D. 沒有實數根
【答案】A
【解析】
【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=9＞0，進而即可得出方程x2﹣x﹣2=0有兩個不相等的實數根．
【詳解】解：∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，
∴方程x2﹣x﹣2=0有兩個不相等的實數根．
故選A．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．
6. 解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（ ）
A. xB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：分式方程的最簡公分母是，
方程兩邊都乘同一個整式去分母是，
故選：C．
7. 關于一次函數的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（ ）
A B. 過點0,1
C. y隨x的增大而減小D. 當時，
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數圖象與系數的關系，一次函數圖象上點的坐標特征．根據一次函數圖象所經過的象限判斷的符號，根據函數圖象可以判斷函數的增減性．
【詳解】解：A、由函數圖象經過第二、四象限，可以判定，原說法正確，不符合題意；
B、由函數解析式知：該直線經過點，原說法正確，不符合題意；
C、由函數圖象知，隨的增大而減小，原說法正確，不符合題意；
D、當時，，由函數圖象知，當時，，原說法錯誤，符合題意．
故選：D．
8. 我國古代數學名著《張邱建算經》中記載：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思：現在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，那么可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出數量關系是解題關鍵．設清酒x斗，則醑酒斗，根據題意正確列方程即可．
【詳解】解：設清酒x斗，則醑酒斗，
由題意可得：，
故選：A．
9. 如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，求出正六邊形的一個內角和一個外角的度數，得到，平行線的性質，得到，三角形的外角的性質，得到，進而求出的度數．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形一個外角的度數為：，
∴正六邊形的一個內角的度數為：，
即：，
∵一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【點睛】本題考查正多邊形的內角和、外角和的綜合應用，平行線的性質．熟練掌握多邊形的外角和是，是解題的關鍵．
10. 如圖，在中，，，以點為圓心，以為半徑作弧交于點，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點，連接．以下結論不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，，平分，根據三角形內角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求出，得到，根據三角形內角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設，則，求出x，即可判斷C；過點E作于G，于H，由角平分線的性質定理推出，即可根據三角形面積公式判斷D．
【詳解】解：由題意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正確；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C錯誤；
過點E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正確；
故選：C．
【點睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質，角平分線的作圖及性質，解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11. 因式分解：___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結構特征是解題的關鍵．
先提公因式，再利用平方差公式即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
12. 如圖，已知A，B的坐標分別為，，將沿x軸正方向平移，使B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—平移，由可得，進而得到，即將沿x軸正方向平移1個單位得到，然后將A向右平移1個單位得到C，最后根據平移法則即可解答．
【詳解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴將沿x軸正方向平移1個單位得到，
∴點C是將A向右平移1個單位得到的
∴點C是的坐標是，即．
故答案為：．
13. 一個不透明的箱子里有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除了顏色外其他都相同，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則摸出的兩個球恰好顏色不同的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．解題的關鍵是掌握概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比．
首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的球恰好顏色不同的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，兩次摸出的球恰好顏色不同的有4種情況，
∴兩次摸出的球恰好顏色不同的概率是：．
故答案為：．
14. 如圖，在中，邊在x軸上，邊交y軸于點E．反比例函數的圖象恰好經過點D，與對角線交于點F．若，則k的值為_______

【答案】4
【解析】
【分析】過點作軸于點，過點作軸于點，設點，則，．證明，結合相似三角形的性質以及可得，再證明，結合相似三角形的性質以及可得，即有，然后根據，可求得的值．
【詳解】解：過點作軸于點，過點作軸于點，如圖

設點則
軸
又
軸，軸，
又
點F的縱坐標為
軸
點H的橫坐標為，
是對角線，，
即
解得，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、反比例函數的圖象與性質等知識，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題關鍵．
15. 如圖，在矩形中，，P是對角線上的動點，連接，將直線繞點P順時針旋轉使，且過D作，連接，則最小值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，作于H，連接延長交于F，作于E．證明，推出定值，推出點G在射線上運動，推出當時，的值最小，求出即可．
【詳解】解：如圖，作于H，連接延長交于F，作于E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴定值，
∴點G在射線上運動，
∴當時，的值最小，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴
在中，∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為．
【點睛】本題考查旋轉變換，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形核或全等三角形解決問題．
三．解答題（共8小題，共75分）
16. （1）計算：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值以及實數的混合運算：
（1）本題涉及了負整數指數冪、二次根式的化簡、零指數冪以及特殊角的三角函數值，計算時針對每個考點依次計算；
（2）先把原式化簡，化為最簡后，再把x的值代入，注意計算出x的值．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
當時，原式．
17. 為豐富學生課余生活，展示青少年美育學習成效，推動美育教育大發(fā)展．惠農區(qū)教體局組織開展了“百米長卷繪盛世 筆墨丹青寄未來”繪畫活動，某學校為繪畫小組購買某種品牌的A、B兩種型號的顏料，若購買1盒A種型號的顏料和2盒B種型號的顏料需用56元；若購買2盒A種型號的顏料和1盒B種型號的顏料需用64元．
（1）求每盒A種型號的顏料和每盒B種型號的顏料各多少元；
（2）某中學決定購買以上兩種型號的顏料共200盒，總費用不超過3920元，那么該中學最多可以購買多少盒A種型號的顏料？
【答案】（1）每盒A種型號的顏料24元，每盒B種型號的顏料16元
（2）該中學最多可以購買90盒A種型號的顏料
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用．
（1）根據“購買某種品牌的A、B兩種型號的顏料，若購買1盒A種型號的顏料和2盒B種型號的顏料需用56元；若購買2盒A種型號的顏料和1盒B種型號的顏料需用64元”可以列出相應的方程組，然后求解即可；
（2）根據某中學決定購買以上兩種型號的顏料共盒，總費用不超過元，可以列出相應的不等式，然后求解即可．
【小問1詳解】
設每盒A種型號的顏料a元，每盒B種型號的顏料b元，
由題意可得：，
解得，
答：每盒A種型號的顏料24元，每盒B種型號的顏料16元；
【小問2詳解】
設購買x盒A種型號的顏料，則購買盒B種型號的顏料，
∵總費用不超過3920元，
∴，
解得，
∵x為整數，
∴x的最大值為90，
答：該中學最多可以購買90盒A種型號的顏料．
18. 中考體育測試前，金川區(qū)教育局為了了解選報引體向上的初三男生的成績情況，隨機抽測了本區(qū)部分選報引體向上項目的初三男生的成績，并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
請你根據圖中的信息，解答下列問題：
（1）扇形統(tǒng)計圖中a＝ %，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）在這次抽測中，測試成績的眾數和中位數分別是 個、 個．
（3）該區(qū)體育中考選報引體向上的男生共有1800人，如果體育中考引體向上達6個以上（含6個）得滿分，請你估計該區(qū)體育中考中選報引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？
【答案】（1）25，圖見解析
（2）5，5 （3）810名
【解析】
【分析】（1）用1減去其他天數所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出該扇形所對圓心角的度數；
（2）根據眾數與中位數的定義求解即可；
（3）先求出樣本中得滿分的學生所占的百分比，再乘以1800即可．
【小問1詳解】
解：扇形統(tǒng)計圖中a=1-30%-15%-10%-20%=25%，
設引體向上6個的學生有x人，由題意得
，解得x=50．
條形統(tǒng)計圖補充如下：
故答案為：5；
【小問2詳解】
解：由條形圖可知，引體向上5個的學生有60人，人數最多，所以眾數是5；
共200名同學，排序后第100名與第101名同學的成績都是5個，故中位數為（5+5）÷2=5．
故答案為：5，5．
【小問3詳解】
解：（名）．
答：估計該區(qū)體育中考選報引體向上的男生能獲得滿分的同學有810名．
【點睛】本題考查了眾數與中位數的意義．一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數．也考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖與用樣本估計總體．
19. 北京市平谷區(qū)是中國著名的大桃之鄉(xiāng)，有著“山水平谷、森林城市、花果田園、人文勝地”的美譽，平谷大桃久負盛名，已經成為北京特色農業(yè)的代表、平谷區(qū)的一張名片，經過50多年的發(fā)展，大桃產業(yè)已成為平谷10萬農民增收致富的重要渠道，每年盛夏時節(jié)，平谷大桃就會迎來成熟期，平谷某水果店采用線上和線下相結合的方式銷售一種水蜜桃，線上可以通過“快團團”進行團購拼單購買,線下可以到實體店購買，具體費用標準如下：
①線上銷售方式：一律七折銷售；②線下銷售方式：不超過5千克，按原價銷售；超過5千克時，超出的部分每千克優(yōu)惠9元；
購買水蜜桃千克，所需費用元，與之間的函數關系如圖所示．
（1）水蜜桃標價為_________元/千克；
（2）求出線下銷售時所需費用與之間的函數關系式；
（3）若想購買20千克水蜜桃，請問采用哪種方式購買更省錢？
【答案】（1）20 （2）
（3）線下購買更省錢
【解析】
【分析】（1）根據圖象上的數據計算得到折后價，折后價除以即得標價
（2）當時，原價為20，得到，當時，超出5千克的部分每千克優(yōu)惠9元，得到；
（3）當時，分別計算線上購買與線下購買的總費用，比較兩種情況的總費用即得最省錢購買方式．
【小問1詳解】
（元/千克），
（元/千克），
故答案為：20．
【小問2詳解】
當時，，
當時，
，
，
線下銷售時所需費用與之間的函數關系式為；
【小問3詳解】
當時，，
，
∵．
∴ 線下購買更省錢．
【點睛】本題主要考查了一次函數的應用——購買問題，解決問題的關鍵是熟練掌握函數圖象信息，總價與單價和數量的關系，折后價與標價和折率的關系，分段計費，方案選擇．
20. 如圖1，某人的一器官后面處長了一個新生物，現需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
請你根據上表中的測量數據，計算新生物處到皮膚的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）
【答案】新生物處到皮膚的距離約為
【解析】
【分析】過點作，垂足為，在，用 與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯立求解即可．
【詳解】解：過點作，垂足為．
由題意得，，，
在中，．
在中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物處到皮膚的距離約為．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形，通過三角函數求解線段是求解本題的關鍵．
21. 如圖，是的直徑，點C，點D在上，，與相交于點E，與相切于點A，與延長線相交于點F．
（1）求證：．
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據切線性質得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，結合∠CDA=∠ABC，證明∠CAF=∠CAD，從而證明△ACF≌△ACE，即可得到結論；
（2）根據EF求出CE，結合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根據sin∠ABF=求出AB即可得到半徑．
【詳解】解：（1）∵AB為圓O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AF與圓O相切，
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠CDA=∠CBA，
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，
∴△ACF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF；
（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，
∴sin∠ABF=sin∠CAD==，
∵△ACF≌△ACE，EF=12，
∴CE=CF=6，
∴=，解得：AE=10，
∴AC==8，
∴sin∠ABF==，
∴AB=，
∴圓O的半徑為．
【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，全等三角形的判定和性質，正弦的定義，知識點較多，有一定難度，解題時要注意多個知識點相結合．
22. 根據以下素材，探索完成任務．
【答案】[任務一]；[任務二]；[任務三] 小雪在該訓練場地滑行時會落在小山坡上
【解析】
【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求解析式，二次函數的平移，求拋物線與坐標軸的交點坐標；
[任務一]待定系數法求解析式即可求解；
[任務二]設拋物線的函數表達式為，根據拋物線求出落地點坐標，然后將，代入解析式，即可求解；
[任務三]先求得跳臺增高后的解析式，再令，解方程得出的值，令拋物線中，解方程得出的值，比較，即可求解．
【詳解】解：[任務一]將代入拋物線，得，
解得：
[任務二]由[任務一]可得拋物線，
當時，，則落地點坐標為，
設拋物線的函數表達式為，
將，代入得，
，
解得：，
∴；
[任務三] 小雪在該訓練場地滑行時會落在小山坡上，
∵跳臺高度增加了米，
∴跳臺增高后的解析式為
當時，，
解得：（舍去）
即小雪落地時距離點，
對于
當時，，
解得：（舍去）
∵
∴小雪在該訓練場地滑行時會落在小山坡上，
23. 下面是平頂山某初中數學小組對某教材一道習題的探究，請仔細閱讀，并完成任務．“三等分一個任意角”是數學史上一個著名問題．今天人們已經知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中，是長方形，F是延長線上一點，G是CF上一點，并且，．你能證明嗎？
小明：經過分析，得出結論：點G是線段的中點，且；
小麗：你的結論正確，若把條件“G是上一點，并且，”去掉，并把你的結論當成已知條件，也能完成三等分角的證明，有異曲同工之妙．
任務一：請你根據小麗的思路，將下面的“已知”和“求證”補充完整，并寫出“證明”過程．
已知：是矩形，F是延長線上一點，點G是的中點，且；
求證：；
任務二：如圖，在矩形中，對角線的延長線與的平分線交于點F，若，，求的長．
任務三：如圖所示，在中，，，點P在線段上，點D在線段上，，，求的面積．
【答案】任務一：詳見解析
任務二：
任務三：
【解析】
【分析】任務一：根據矩形的性質得到，，根據直角三角形的性質得到，根據平行四邊形的性質得到，于是得到；
任務二：取的中點，連接，過點作 于點，根據矩形的性質得到，根據直角三角形的性質得到，設，得到，根據角平分線的定義得到，求得，根據勾股定理即可得到結論．
任務三：作線段垂直平分線，交于E，于F，根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的判定與性質證明，再證明，得到，然后設，則，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，則有，解之求得，從而求得，最后由求解即可．
【詳解】解：任務一：已知：四邊形是矩形，F是延長線上一點，點G是的中點，且，
求證：；
證明：四邊形是矩形，
，，
點是的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
任務二：取的中點，連接，過點作 于點，
四邊形是矩形，
，
點是的中點，
，
，
設，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
任務三：如圖，作線段垂直平分線，交于E，于F，
∵垂直平分，
∴， ，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
設，則，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
∴．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質與判定，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，正確地作出輔助線是解題的關鍵．課題
檢測新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖

說明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．
測量數據
，，
如何選擇合適的跳臺高度？
素材1
跳臺滑雪是運動員借助速度和彈跳力，沿著跳臺下滑，并從起跳點騰空，在空中沿拋物線飛行至著陸坡．圖1是某小型跳臺滑雪訓練場的實物圖，圖2是其橫截面示意圖，以地面的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，其最左端位于點的正上方米處，最右端在水平線上，且最高點在距點水平距離8米處．

素材2
小雪從點正上方米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線運動．該滑雪場有若干個跳臺高度不同，小山坡完全相同的訓練場地，在不同場地滑行時，小雪滑行的拋物線形狀不變．
問題解決
任務1
確定滑行路徑
求值；
任務2
確定山坡形狀
當小雪滑行到離處的水平距離為11米時，恰好落在小山坡上，求拋物線的函數表達式；
任務3
選擇跳臺高度
若小雪選擇的跳臺高度增加了米，請判斷在該訓練場地滑行時是否會落在小山坡上．

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