前面,我們借助于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究了橢圓的幾何性質(zhì).那么,如何借助與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì)呢?
在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,將y換成-y,方程依然成立.這說(shuō)明雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱.同理可知,雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,也關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.x軸與y軸都叫做雙曲線的對(duì)稱軸,坐標(biāo)原點(diǎn)叫做雙曲線的對(duì)稱中心(簡(jiǎn)稱中心).
令y=0,得到x=±a.因此,雙曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?A1(-a,0)?和A2(a,0)(如圖).雙曲線與它的對(duì)稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)A1 、A2稱為雙曲線的頂點(diǎn),線段A1A2稱為雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于2a,a是雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).
令x=0,得到y(tǒng)2=-b2,這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 因此,雙曲線與y?軸沒(méi)有交點(diǎn). 我們?nèi)詫Ⅻc(diǎn)B1(0,-b)與B2(0,b)畫在y軸上,如圖所示.線段B1B2稱為雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)等于2b,b是雙曲線的虛半軸長(zhǎng).
顯然,雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)與實(shí)軸都在同一個(gè)坐標(biāo)軸上.
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、A2分別作y 軸的平行線x=-a,x=a,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2分別作x軸的平行線y=-b,y=b.這四條直線圍成一個(gè)矩形,如圖所示. 矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程為
為什么冷卻塔的塔身大多是雙曲線的形狀?
冷卻塔做成雙曲線形的是為了提高冷卻的效率,底部有最大的圓周,可以最大限度地進(jìn)入冷空氣,冷空氣到達(dá)最細(xì)部位時(shí),接觸熱水,這時(shí)首先由于管徑變小,空氣流速加快,可以盡快的帶走熱水中的熱量,其次由于管徑變小,冷空氣的體積也受到壓縮,故壓力也有增加,而壓力增加流體的含熱能力會(huì)隨之增加,于是在細(xì)腰部冷空氣可以最大限度的吸收熱水的熱量從而使熱水冷卻。到了最上部,管徑再次擴(kuò)大,已攜帶了大量熱量的空氣由于速度減慢,壓力減小,又將所含的熱量釋放出來(lái)形成白色的水蒸氣.
典例1 求雙曲線4y2-16x2=64的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程.
分析:由于雙曲線具有對(duì)稱性,一般只需先畫出雙曲線在第一象限內(nèi)的圖形,然后利用對(duì)稱性,畫出全部圖形.
解:以表中的x值為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點(diǎn),得到雙曲線在第一象限內(nèi)的圖形.然后利用雙曲線的對(duì)稱性,畫出全部圖形.
典例4 已知A、B兩個(gè)哨所相距?1600m,在A哨所聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B哨所晚3s.求炮彈爆炸點(diǎn)所有可能位置構(gòu)成的曲線的方程(聲速為?340?m/s).?
根據(jù)題意,由A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差可算出A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離差,它是一個(gè)定值. 因此,爆炸點(diǎn)所有可能的位置都在某雙曲線上,又因?yàn)楸c(diǎn)距離A處比距離B處遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在該雙曲線中靠近B處的一支上.?
1. 求下列雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo),離心率與漸近線方程. (1)x2-9y2=81;(2) 9x2-4y2=-36.
(1) 讀書部分: 教材章節(jié)3.2.2; (2) 書面作業(yè): P76習(xí)題3.2的3,4,5.

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中職數(shù)學(xué)高教版(2021)拓展模塊一 上冊(cè)電子課本

3.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

版本: 高教版(2021)

年級(jí): 拓展模塊一 上冊(cè)

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