一、選擇題（共20小題；）
1. 拋物線 的準(zhǔn)線方程為
A. B. C. D.

2. 拋物線方程為 ，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為
A. B. C. D.

3. 已知對(duì) ，直線 與橢圓 恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

4. 已知過點(diǎn) 且與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條，則點(diǎn) 可以是
A. B. C. D.

5. 過點(diǎn) 且與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有
A. 條B. 條C. 條D. 條

6. 從拋物線 在第一象限內(nèi)的一點(diǎn) 引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為 ，且 ，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 ，則直線 的斜率為
A. B. C. D.

7. 過拋物線 的焦點(diǎn) 的直線交拋物線于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ，則 的面積為
A. B. C. D.

8. 已知點(diǎn) 在拋物線 上，那么點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為
A. B. C. D.

9. 過拋物線 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 兩點(diǎn)，如果 ，那么
A. B. C. D.

10. 拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) ，則 的最小值是
A. B. C. D.

11. 已知拋物線 ，直線 與 相交于 ， 兩點(diǎn)，與雙曲線 的漸近線相交于 ， 兩點(diǎn)，若線段 與 的中點(diǎn)相同，則雙曲線 離心率為
A. B. C. D.

12. 已知點(diǎn) 是拋物線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為
A. B. C. D.

13. 設(shè) ， 是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 是雙曲線上的一點(diǎn)，且 ，則 的面積等于
A. B. C. D.

14. 過雙曲線 的右焦點(diǎn)且垂直于 軸的直線與雙曲線交于 ， 兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于 ， 兩點(diǎn)，若 ，則雙曲線離心率的取值范圍為
A. B. C. D.

15. 過雙曲線 上任意一點(diǎn) 作它的一條漸近線的垂線段，垂足為 ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的面積是
A. B. C. D. 不確定

16. 已知拋物線 的焦點(diǎn)弦 的兩端點(diǎn) ，，則
A. B. C. D.

17. 已知拋物線 ，直線 （ 為常數(shù)）與拋物線交于 兩個(gè)不同點(diǎn)，若在拋物線上存在一點(diǎn) （不與 重合），滿足 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
A. B. C. D.

18. 已知 是拋物線 的焦點(diǎn)， 是 軸上一點(diǎn)，線段 與拋物線 相交于點(diǎn) ，若 ，則
A. B. C. D.

19. 點(diǎn) 在直線 上，若存在過 的直線交拋物線 于 ， 兩點(diǎn)，且 ，則稱點(diǎn) 為“ 點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是
A. 直線 上的所有點(diǎn)都是“ 點(diǎn)”
B. 直線 上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“ 點(diǎn)”
C. 直線 上的所有點(diǎn)都不是“ 點(diǎn)”
D. 直線 上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“ 點(diǎn)”

20. 在平面直角坐標(biāo)系中，， 分別是 軸和 軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以 為直徑的圓 與直線 相切，則圓 面積的最小值為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 直線 過拋物線 的焦點(diǎn) ，且與拋物線交于 ， 兩點(diǎn)．若 ，則 ．

22. 直線 與雙曲線 沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．

23. 已知拋物線 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ，則直線 截拋物線所得的弦長等于 ．

24. 已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，上頂點(diǎn)為 ，則 的坐標(biāo)為 ，直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，且 的重心恰為點(diǎn) ，則直線 斜率為 ．

25. 如圖，過拋物線 的焦點(diǎn) 作直線，與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于 ，， 三點(diǎn)，若 ，則 ．

三、解答題（共5小題；）
26. （1）已知橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離分別是 和 ，求橢圓的離心率；
（2）設(shè) 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)， 是短軸，，求橢圓的離心率．

27. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ， 在拋物線 上．
（1）求 ， 的值；
（2）過點(diǎn) 作 垂直于 軸， 為垂足，直線 與拋物線的另一交點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在直線 上，若 ，， 的斜率分別為 ，，，且 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)．

28. 橢圓 與直線 相交于兩點(diǎn) ，，且 （ 為原點(diǎn)）．
（1）求 的值；
（2）當(dāng)橢圓離心率在 上變化時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍．

29. 已知橢圓 的左右焦點(diǎn)為 ，，離心率為 ，直線 與 軸、 軸分別交于 ，，點(diǎn) 是直線 與橢圓 的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè) ．
（1）證明：；
（2）若 ， 的周長為 ，寫出橢圓 的方程．

30. 如圖，橢圓 ： 經(jīng)過點(diǎn) ，且離心率為 ．
（1）求橢圓 的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn) ，且斜率為 的直線與橢圓 交于不同的兩點(diǎn) ，（均異于點(diǎn) ），證明：直線 與 的斜率之和為 ．
答案
1. D【解析】已知拋物線的方程為 ，焦點(diǎn)在 軸正半軸上，且 ，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為 ．
2. B【解析】將已知拋物線的方程化為 ，焦點(diǎn)在 軸非正半軸上，且 ，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
3. C【解析】直線 過定點(diǎn) ，于是只要點(diǎn) 不在橢圓 的外部即可，故 ．
又因?yàn)闄E圓 中 ，所以 的取值范圍是 ．
4. A
5. C
6. C【解析】設(shè) ，由拋物線 ，可知其焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
故 ，解得 ，故 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
所以 ．
7. B
8. A【解析】
如圖，因?yàn)辄c(diǎn) 在拋物線的內(nèi)部，由拋物線的定義， 等于點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離．過 作 的垂線 交拋物線于點(diǎn) ，則點(diǎn) 為取最小值時(shí)的所求點(diǎn)．當(dāng) 時(shí)，由 得 ．所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
9. B【解析】由題意，，故拋物線的準(zhǔn)線方程是 ，
因?yàn)閽佄锞€ 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 兩點(diǎn)
所以 ，
又
所以
10. B
【解析】拋物線 的準(zhǔn)線方程為 ，如圖，過 作 垂直直線 于 ，由拋物線的定義可知 ，連接 ，
在 中，，
當(dāng) 最小時(shí)， 最小，
即 最小，即 最大，
此時(shí)， 為拋物線的切線，設(shè) 的方程為 ，
聯(lián)立 得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，．
11. C
12. C【解析】過點(diǎn) 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 ，由拋物線的定義知 ，
所以 ．
13. C【解析】，， ，
因?yàn)? ，所以設(shè) ，則 ，
由雙曲線的性質(zhì)知 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 .
14. B【解析】將 代入 得 ，
不妨取 ，，
所以 ．
將 代入雙曲線的漸近線方程 ，得 ，
不妨取 ，，
所以 ．
因?yàn)?，
所以 ，
即 ，
則 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
15. A
16. A【解析】設(shè)直線 的方程為 ，代入 ，得 ，則 ．
17. B【解析】滿足 的 點(diǎn)都在圓 上，只需 與圓有除 、 外的交點(diǎn)即滿足題意，聯(lián)立兩式有 ．當(dāng) 時(shí)交點(diǎn)為 、 ．故另一根 必須大于或等于零．解得 ．
18. A【解析】由題意得點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo) ，點(diǎn) 的坐標(biāo) ，
所以向量：，，
由向量線性關(guān)系可得：，，解得：，
代入拋物線方程可得：，則 ，
由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：．
19. A【解析】如圖，設(shè)點(diǎn) ， 的坐標(biāo)分別為 ，，
則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
因?yàn)?， 在 上，
所以
消去 ，整理，得關(guān)于 的方程
因?yàn)? 恒成立，
所以方程 恒有實(shí)數(shù)解，所以應(yīng)選A．
20. A
【解析】設(shè)直線 ，
因?yàn)?，其中 為點(diǎn) 到直線 的距離，
所以圓心 的軌跡為以 為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線．
圓 半徑最小值為 ，其中 為點(diǎn) 到直線 的距離，圓 的面積的最小值為 ．
21.
22. 或
23.
【解析】由題設(shè)知 ，
所以 ．
拋物線方程為 ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ．
聯(lián)立 消去 ，整理得 ，
所以 ，
因?yàn)橹本€過焦點(diǎn) ，
所以所得弦 ．
24. ，
【解析】空 ：因?yàn)? 右焦點(diǎn)為 ，
所以有 且 ，，，
而 ，所以 ，
因此橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
空 ：設(shè)直線 的方程為：，
由（）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
直線方程與橢圓方程聯(lián)立：
化簡得：，
設(shè) ，，線段 的中點(diǎn)為 ，
于是有：，，
所以 點(diǎn)坐標(biāo)為：，
因?yàn)? 的重心恰為點(diǎn) ，所以有 ，
即 ，
因此有：
① ②得：，所以直線 斜率為 ．
25.
【解析】分別過 ， 作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為 ，，
則 ，由拋物線的定義可知 ，，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
26. （1） 依題意得
解得 ，，
則離心率 ．
（2） ．
27. （1） 將點(diǎn) 代入 ，得 ．
將點(diǎn) 代入 ，得 ．
因?yàn)?，
所以 ．
（2） 由題意知，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為 ．
聯(lián)立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直線 的方程為 ，聯(lián)立
解得 ．
28. （1） 由 消去 得 .
設(shè) ，，則
因?yàn)? ，所以 ，即 ，
所以 ，
， .
所以 ，即 .
（2） 因?yàn)?，所以 ，即 ，
所以 ．又由（1）知 ， 得 ．
29. （1） 因?yàn)?， 分別是直線 與 軸、 軸的交點(diǎn)，
所以 ，，
由 解得 ，這里 ．
所以 的坐標(biāo)為 ，
由 ，
得 ，
即 解得 ．
（2） 當(dāng) 時(shí)，，
所以 ，
由 的周長為 ，得 ，
所以 ，，，
所以所求橢圓方程為 ．
30. （1） 由題設(shè)知 ，，結(jié)合 ，解得 ．
所以橢圓 的方程為 ．
（2） 由題設(shè)知，直線 的方程為 ，代入 ，得
由已知 ，設(shè) ，，，則
從而直線 ， 的斜率之和為

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