一、選擇題（共20小題；）
1. 已知過點 且與拋物線 只有一個公共點的直線有且只有一條，則點 可以是
A. B. C. D.

2. 過點 且與拋物線 只有一個公共點的直線有
A. 條B. 條C. 條D. 條

3. 已知對 ，直線 與橢圓 恒有公共點，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

4. 函數(shù) 的圖象與直線 相切，則
A. B. C. D.

5. 設拋物線 的焦點為 ，過點 的直線與拋物線相交于 ， 兩點，與拋物線的準線相交于 ，，則 與 的面積之比
A. B. C. D.

6. 已知點 ，拋物線 ： 的焦點為 ，射線 與拋物線 相交于點 ，與其準線相交于點 ，則
A. B. C. D.

7. 已知拋物線 ，直線 與 相交于 ， 兩點，與雙曲線 的漸近線相交于 ， 兩點，若線段 與 的中點相同，則雙曲線 離心率為
A. B. C. D.

8. 過拋物線 的焦點 的直線交該拋物線于 ， 兩點， 為坐標原點．若 ，則 的面積為
A. B. C. D.

9. 已知拋物線 ，直線 （ 為常數(shù)）與拋物線交于 兩個不同點，若在拋物線上存在一點 （不與 重合），滿足 ，則實數(shù) 的取值范圍為
A. B. C. D.

10. 已知 是拋物線 的焦點，過焦點 的直線 交拋物線的準線于點 ，點 在拋物線上且 ，則直線 的斜率為
A. B. C. D.

11. 過點 作直線，使它與拋物線 僅有一個公共點，這樣的直線有
A. 條B. 條C. 條D. 條

12. 已知拋物線 的焦點為 ， 為坐標原點，點 ，，連接 ， 分別交拋物線 于點 ，，且 ，， 三點共線，則 的值為
A. B. C. D.

13. 已知斜率為 的直線 與拋物線 交于 ， 兩點，線段 的中點為 ，則斜率 的取值范圍是
A. B. C. D.

14. 已知橢圓 與直線 只有一個公共點，且橢圓的離心率為 ，則橢圓 的方程為
A. B. C. D.

15. 已知 是雙曲線 的左右焦點，過 且垂直于 軸的直線與雙曲線交于 兩點，若 是銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是
A. B.
C. D.

16. 已知拋物線 ： 的焦點為 ， 為 的準線上一點，（在第一象限）是直線 與 的一個交點，若 ，則 的長為
A. B. C. D.

17. 光線由點 射到直線 上，反射后過點 ，則反射光線所在的直線方程為
A. B. C. D.

18. 已知橢圓 的右焦點為 ，過點 的直線交 于 兩點．若 的中點坐標為 ，則 的方程為
A. B. C. D.

19. 是拋物線 上任意一點，則當 和直線 上的點距離最小時， 與該拋物線的準線距離是
A. B. C. D.

20. 橢圓 內(nèi)有一點 ，過點 的弦恰好以 為中點，那么這條弦所在直線的方程為
A. B.
C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 若直線 與雙曲線 的右支有兩個不同的交點，則 的取值范圍是 ．

22. 已知拋物線 ，直線 過點 且與拋物線只有一個公共點，則直線 的條數(shù)有 條．

23. 直線 與拋物線 的公共點坐標為 ．

24. 雙曲線 的漸近線為正方形 的邊 ， 所在的直線，點 為該雙曲線的焦點．若正方形 的邊長為 ，則 ．

25. 已知橢圓 的右焦點為 ，上頂點為 ，則 的坐標為 ，直線 與橢圓 交于 ， 兩點，且 的重心恰為點 ，則直線 斜率為 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知中心在坐標原點 的橢圓 經(jīng)過點 ，且點 為其右焦點．
（1）求橢圓 的方程；
（2）是否存在平行于 的直線 ，使得直線 與橢圓 有公共點，且直線 與 的距離等于 ?若存在，求出直線 的方程；若不存在，請說明理由．

27. 如圖，在平面直角坐標系 中，點 ， 在拋物線 上．
（1）求 ， 的值；
（2）過點 作 垂直于 軸， 為垂足，直線 與拋物線的另一交點為 ，點 在直線 上，若 ，， 的斜率分別為 ，，，且 ，求點 的坐標．

28. 橢圓 與直線 相交于兩點 ，，且 （ 為原點）．
（1）求 的值；
（2）當橢圓離心率在 上變化時，求橢圓長軸長的取值范圍．

29. 已知橢圓 的左右焦點為 ，，離心率為 ，直線 與 軸、 軸分別交于 ，，點 是直線 與橢圓 的一個公共點，設 ．
（1）證明：；
（2）若 ， 的周長為 ，寫出橢圓 的方程．

30. 設橢圓 的左、右焦點分別為 ，，右頂點為 ，上頂點為 ，已知 ．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設 為橢圓上異于其頂點的一點，以線段 為直徑的圓經(jīng)過點 ，經(jīng)過原點 的直線 與該圓相切．求直線 的斜率．
答案
1. A
2. C
3. C【解析】直線 過定點 ，于是只要點 不在橢圓 的外部即可，故 ．
又因為橢圓 中 ，所以 的取值范圍是 ．
4. B【解析】由題意，得 有兩個相等實根，得 ．
5. D
【解析】可設點 ，．由點 ，， 三點共線，可知 ．記拋物線準線為 ，過點 分別作 于點 ， 于點 ，如圖．
由拋物線定義知，．解得 ．
結(jié)合 ，知 ．所以
6. C
7. C
8. C【解析】提示：不妨設點 在第一象限，根據(jù)題意可得，點 ，．所以三角形 的面積為 ．
9. B【解析】滿足 的 點都在圓 上，只需 與圓有除 、 外的交點即滿足題意，聯(lián)立兩式有 ．當 時交點為 、 ．故另一根 必須大于或等于零．解得 ．
10. C
【解析】因為點 在拋物線 上，且 ，點 在拋物線的準線上，
由拋物線的定義可知， 直線 ，設 ，
則 ，解得 ，所以 ，故 ，
故 ，又 ，所以直線 的斜率為 ．
11. C【解析】當直線的斜率不存在，即過點 的直線方程為 時符合題意；當直線的斜率為 時，此時直線方程為 與拋物線僅有一個公共點；過點 可以做一條直線與拋物線相切；所以滿足題意的直線有 條．
12. C【解析】如圖，，．
則 ，聯(lián)立 解得 ．
，聯(lián)立 解得 ．
因為 ，， 三點共線，
所以 ，解得 ．
13. C
14. B
15. B
【解析】提示： 是銳角，．
16. B【解析】拋物線 的焦點 ，設 到準線 的距離為 ，則 ．
因為 ，
所以 ，
因為 （在第一象限）是直線 與 的一個交點，
所以直線的斜率為 ，
所以直線的方程為 ．
與 聯(lián)立可得 （另一根舍去），
所以 ．
17. C
18. D【解析】容易求得直線的斜率為 ，設 ，，則 兩式作差，整理后可得 ，代入中點坐標和斜率，可得 ，再由 可得，，．所以 的方程為 ．
19. B
20. B
【解析】經(jīng)檢驗，當過點 的直線的斜率不存在時，不滿足條件，所以過點 的直線的斜率存在，設斜率為 ，且設 ，，因為點 ， 在橢圓上，代入橢圓方程得 ，則 ，．所以所求直線方程為 ．
21.
【解析】將 代入 ，化簡得 ，，又雙曲線的漸近線的斜率為 ， 過定點 ．易得 ．
22.
23.
24.
【解析】不妨令 為雙曲線的右焦點， 在第一象限，則雙曲線如圖所示．
因為四邊形 為正方形，，
所以 ，．
因為直線 是漸近線，方程為 ，
所以 ，即 ．
又因為 ，
所以 ．
25. ，
【解析】空 ：因為 右焦點為 ，
所以有 且 ，，，
而 ，所以 ，
因此橢圓上頂點的坐標為：；
空 ：設直線 的方程為：，
由（）可知：橢圓的標準方程為：，
直線方程與橢圓方程聯(lián)立：
化簡得：，
設 ，，線段 的中點為 ，
于是有：，，
所以 點坐標為：，
因為 的重心恰為點 ，所以有 ，
即 ，
因此有：
① ②得：，所以直線 斜率為 ．
26. （1） 依題意，可設橢圓 的方程為 ，且可知左焦點為 ，從而有
解得
又 ，所以
故橢圓 的方程為 ．
（2） 假設存在符合題意的直線 ，其方程為 ，由
得
因為直線 與橢圓有公共點，所以有
解得
另一方面，由直線 與 的距離等于 可得
解得
由于
所以符合題意的直線 不存在．
27. （1） 將點 代入 ，得 ．
將點 代入 ，得 ．
因為 ，
所以 ．
（2） 由題意知，點 的坐標為 ，直線 的方程為 ．
聯(lián)立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直線 的方程為 ，聯(lián)立
解得 ．
28. （1） 由 消去 得 .
設 ，，則
因為 ，所以 ，即 ，
所以 ，
， .
所以 ，即 .
（2） 因為 ，所以 ，即 ，
所以 ．又由（1）知 ， 得 ．
29. （1） 因為 ， 分別是直線 與 軸、 軸的交點，
所以 ，，
由 解得 ，這里 ．
所以 的坐標為 ，
由 ，
得 ，
即 解得 ．
（2） 當 時，，
所以 ，
由 的周長為 ，得 ，
所以 ，，，
所以所求橢圓方程為 ．
30. （1） 設橢圓的右焦點 的坐標為 ．由 ，可得
又 ，則
所以，橢圓的離心率
（2） 由（1）知
故橢圓方程為
設 ，由 ，有
由已知，有
即
又 ，故有
又因為點 在橢圓上，故
由①和②可得
而點 不是橢圓的頂點，故 ，代入①得 ，
即點 的坐標為 ，
設圓的圓心為 ，則
進而圓的半徑
設直線 的斜率為 ，依題意，直線 的方程為 ．由 與圓相切，可得
即
整理得
解得
所以，直線 的斜率為 或 ．

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