一、選擇題（共20小題；）
1. 若指數(shù)函數(shù) 是 上的減函數(shù)，則 的取值范圍為
A. B. C. D.

2. 已知函數(shù) （其中 ），若 的圖象如圖所示，則函數(shù) 的圖象大致為
A. B.
C. D.

3. 若不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.

4. 若 ，，，則 ，， 的大小關(guān)系是
A. B. C. D.

5. 函數(shù) ，， 的圖象可能為
A. B.
C. D.

6. ，， 的大小關(guān)系是
A. B.
C. D.

7. 已知 ，，則函數(shù) 的圖象必定不經(jīng)過
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限

8. 已知對于任意實數(shù) （，且 ），函數(shù) 的圖象恒過點 ，則點 的坐標(biāo)是
A. B. C. D.

9. 若 ，則
A. B.
C. D.

10. 若 ，則
A. B.
C. D.

11. 已知函數(shù) 有兩個零點 ，，則有
A. B. C. D.

12. 基本再生數(shù) 與世代間隔 是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型： 描述累計感染病例數(shù) 隨時間 （單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率 與 ， 近似滿足 ．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出 ，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加 倍需要的時間約為（）
A. 天B. 天C. 天D. 天

13. 把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是 ，空氣的溫度是 ，經(jīng)過 分鐘后物體的溫度 可由公式 求得，其中 是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于 的常數(shù)．現(xiàn)有 的物體，放在 的空氣中冷卻， 分鐘以后物體的溫度是 ，則 約等于（參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.

14. 已知函數(shù) 與 的圖象上存在關(guān)于 軸對稱的點，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.

15. 設(shè) ，若對任意 ，都有 ，則實數(shù) 的值為
A. B. C. D.

16. 已知函數(shù) ，則不等式 的解集是
A. B.
C. D.

17. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) ，（ 且 ）的圖象可能是
A. B.
C. D.

18. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”函數(shù) 的部分圖象大致為
A. B.
C. D.

19. 下列命題中，真命題的為
甲：函數(shù) 在定義域上為增函數(shù)的充分條件是它在定義域上為嚴(yán)格增函數(shù)；
乙：定義域均為 的函數(shù) 和 為同一函數(shù)；
丙：如果函數(shù) 的圖象連續(xù)不斷，，則函數(shù) 在 上沒有零點．
A. 甲B. 丙C. 甲、乙D. 甲、丙

20. 設(shè) ，函數(shù) ，則使 的 的取值范圍是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的有 ．（填序號）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ （，且 ）；⑨ （，且 ）．

22. 關(guān)于 的方程 有負(fù)數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍為 ．

23. 若關(guān)于 的方程 有解，則實數(shù) 的取值范圍是 ．

24. 方程 的解是 ．

25. 已知函數(shù) ，若函數(shù) 有兩不同的零點，則實數(shù) 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 當(dāng) 充分大時，試比較下列各函數(shù)：，，，， 值的大?。隳軓闹袣w納出一些規(guī)律性的結(jié)論嗎?

27. 求函數(shù) （ 且 ）的值域．

28. 已知函數(shù) ．
（1）若 ，求函數(shù) 的值域．
（2）若方程 有解，求實數(shù) 的取值范圍．

29. 已知函數(shù) （ 且 ），當(dāng) 時，求函數(shù) 的值域．

30. 已知 與 均為指數(shù)函數(shù)．
（1）若 在定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）若對于任意 ，都有 ，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）若 是 上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍．
答案
1. C【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知 ，所以 ．
2. A【解析】由題中 的圖象及 ，可得 ，．
由 可得函數(shù) 是減函數(shù)，又由 可得其函數(shù)圖象與 軸交點在 軸的下方．
分析選項可得A滿足這兩點，B，C，D均不滿足．
3. B【解析】因為 在 上單增，
又因為 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以 ，
，，．
4. D【解析】因為函數(shù) 是單調(diào)增函數(shù)，且 ，
所以 ，即 ；
又函數(shù) 是單調(diào)減函數(shù)，且 ，
所以 ，即 ；
所以 ．
5. C
【解析】由題意易知，函數(shù) 為偶函數(shù)，且 ，排除A，B．當(dāng) 時，函數(shù)圖象在 上單調(diào)遞增，但圖象應(yīng)該是下凸，排除D．
6. A【解析】畫出 和 的大致圖象，如圖所示．
由圖可知 ．故選A．
7. A
8. A【解析】在函數(shù) （，且 ）中，當(dāng) 時，，所以函數(shù) （，且 ）的圖象恒過定點 ．
9. A【解析】由 得：，令 ．
因為 為 上的增函數(shù)， 為 上的減函數(shù)，
所以 為 上的增函數(shù)，所以 ．
因為 ，所以 ，所以 ，則A正確，B錯誤；
因為 與 的大小不確定，故C，D無法確定．
10. A
【解析】由 得：，令 ．
因為 為 上的增函數(shù)， 為 上的減函數(shù)，
所以 為 上的增函數(shù)，所以 ．
因為 ，所以 ，所以 ，則A正確，B錯誤；
因為 與 的大小不確定，故C，D無法確定．
11. D【解析】根據(jù)分析，不妨設(shè) ，，根據(jù)函數(shù)零點的概念則有 ，，即 ，，后面的方程減去前面的方程得 ，由于 ，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，，所以 ，即 ．
12. B【解析】因為 ，，，
所以 ，所以 ．
設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加 倍需要的時間為 天，
則 ，所以 ，所以 ，
所以 天．
13. D
14. A【解析】由題意知，方程 在 上有解，
即 在 上有解，
即函數(shù) 與 的圖象在 上有交點，
則 ，
即 ，
則 的取值范圍是：．
15. B
【解析】 等價于 與 同號．
令 ，，
則 和 都是 上的單調(diào)函數(shù)，且都過定點 ，
因此當(dāng)且僅當(dāng) 和 有相同的零點時同號（如圖），
由 得 ，代入 得 ，
解得 ．
16. D【解析】因為 ，所以 等價于 ，
在同一直角坐標(biāo)系中作出 和 的圖象如圖：
兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為 ，，
不等式 的解為 或 ．
所以不等式 的解集為：．
17. D
18. C【解析】，圖象關(guān)于原點對稱，B，
當(dāng) 時，．
19. C【解析】甲：若函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù) 函數(shù)為增函數(shù)，甲對；
乙：，，
，，
解析式相同，定義域相同，乙對；
丙：反例：，
，，
，
時 ，
故 在 不一定沒有零點，丙錯．
20. C
【解析】由 ，得
因為 ，所以原不等式化為
結(jié)合 ，解得
所以
21. ①⑤⑧⑨
【解析】②不是指數(shù)函數(shù)，自變量不在指數(shù)上；③是 與 的乘積，不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù) ，故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)不是自變量 ，而是 的函數(shù) ，故不是指數(shù)函數(shù)；⑦中底數(shù) 不是常數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)．故正確答案是①⑤⑧⑨．
22.
【解析】由 ，得
則有 ，解之即得．
23.
【解析】令 ，則關(guān)于 的方程 即 有正實數(shù)解．
故 ，
由基本不等式可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，故 ，故 ，
即 ．
24.
【解析】因為 ，
即 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以 ．
25.
【解析】在同一坐標(biāo)中作出函數(shù) 與直線 的圖象，如圖所示，
若函數(shù) 有兩個不同的零點，則函數(shù) 的圖象與直線 有兩個交點，
由圖可知，實數(shù) 的取值范圍是 ．
26. 當(dāng) 充分大時， 越大， 的值遞增得越快， 越大， 的值遞增得越快．當(dāng) 充分大時，各函數(shù)值由大到小依次是 ，，，，．
27. ，因為 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以函數(shù)的值域為 ．
28. （1） ．
設(shè) ，得 ．
當(dāng) 時，．
所以 ，．
所以 ，．
故函數(shù) 的值域為 ．
（2） 方程 有解可轉(zhuǎn)化為 ，
設(shè) ，
當(dāng) ，即 時，；
當(dāng) ，即 時，．
所以函數(shù) 的值域為 ．
故實數(shù) 的取值范圍是 ．
29. 因為 ，令 ，
所以 ．
當(dāng) 時，
因為 ，
所以 ，
所以當(dāng) 時，，
當(dāng) 時，
因為 ，
所以 ，
因為 ，，
所以當(dāng) 時，．
綜上所述，當(dāng) 時，函數(shù)的值域是 ；
當(dāng) 時，函數(shù)的值域是 ．
30. （1） 由題意，可知 ，解得 或 ，
即 的取值范圍為 ．
（2） 由 ， 都是指數(shù)函數(shù)，可得
解得 且 ，．
當(dāng) 時，， 成立；
當(dāng) 時，冪函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，
所以由 ，可得 ，則 ，解得 或 ．
綜上所述，實數(shù) 的取值范圍是 ．
（3） 因為函數(shù) 是 上的嚴(yán)格增函數(shù)，
所以
解得 得 ．
因此，實數(shù) 的取值范圍是 ．

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