一、單選題
1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】對，，進行變形，構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，從而判斷出，，的大小.
【詳解】，，
故可構(gòu)造函數(shù)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
故選:B.
2．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，，，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、、，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】設(shè)，，
當(dāng)時，，
令，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
故.
故選：B.
【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：
（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.
數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.
3．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知且，若集合，，且?，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出集合B，再由給定條件，對a分類討論，利用數(shù)形結(jié)合及構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值求解作答.
【詳解】依題意，，，且?，
當(dāng)時，作出函數(shù)與的大致圖象，
則，即，
所以，即；
當(dāng)時，設(shè)，
若，，則恒成立，，滿足?，
于是當(dāng)時，?，當(dāng)且僅當(dāng)，即不等式對成立，
，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
于是得，即，變形得，解得，
從而得當(dāng)時，恒成立，，滿足?；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是或.
故選：B.
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.
4．（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎亲匀粚?shù)的底數(shù)，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較的大小，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)判斷，放縮，再設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得，再比較的大小，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，時，，即，
設(shè)，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，即恒成立，
即，
令，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，即，
得：，那么，
即，即，
綜上可知.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)，比較大小，本題的關(guān)鍵是：根據(jù)，放縮，從而構(gòu)造函數(shù)，比較大小.
5．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，通過單調(diào)性比較函數(shù)值大小，并結(jié)合指對互化關(guān)系，即可得結(jié)論.
【詳解】令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，則；
則，即，所以，則，即，
所以，又，所以，則；
綜上，.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查較復(fù)雜的指對冪比較大小問題，需要構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而判斷函數(shù)值大小.解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定該函數(shù)與所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，對于大小，需比較與的大小，而對于大小，需比較與的大小，并結(jié)合指對互化與分?jǐn)?shù)放縮即可得出結(jié)論.
6．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函數(shù)得到，再判斷，利用二次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，從而可判斷.
【詳解】因為，
所以在上是奇函數(shù).所以
對求導(dǎo)得，
令，則
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
則時，，即，
所以在上單調(diào)遞增.
因為，所以，
因為在上單調(diào)遞增，
所以.
令，則
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.
所以，
而，即，所以，即.
所以，即，則
所以
所以，即.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：
構(gòu)造函數(shù)，判斷.
7．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到，，通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，再根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)證明出，同取對數(shù)得到，則有，再利用單調(diào)性即可得到大小關(guān)系.
【詳解】因為，定義域關(guān)于原點對稱，
，
所以為上的偶函數(shù)，
當(dāng)時,，設(shè)，
則，，，
所以即在上單調(diào)遞減,所以,
所以在上單調(diào)遞減,又因為為偶函數(shù),
所以在上單調(diào)遞增，
又因為,,
又因為,
因為,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對于其單調(diào)性的求解需要二次求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對進行一定的變形得，,然后就是比較的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及冪函數(shù)的單調(diào)性進行合理放縮，對于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的中間量放縮.
8．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)實數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，表示出，根據(jù)的表達式構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，說明時，，由此可判斷的大小，利用，判斷大小，可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
因為，
設(shè)，
故在上單調(diào)遞減，，故時，，
即時，，從而，即，
所以，故；，故，
于是，
故選：B．
【點睛】難點點睛：本題判斷的大小關(guān)系，由于這三個數(shù)的形式較為復(fù)雜，因此難點在于進行合理的變式，根據(jù)變形后的形式，構(gòu)造合理的函數(shù)，進而利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性即可判斷的大小關(guān)系.
9．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，進而關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得，解不等式即得.
【詳解】因為的定義域為R，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，
又時， ，單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
所以關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增．
所以，
兩邊平方，化簡得，解得．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對稱性化簡不等式進而即得.
10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)與，先利用導(dǎo)數(shù)研究得的性質(zhì)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究得的性質(zhì)，從而作出的圖像，由此得到，分類討論與時的零點情況，據(jù)此得解.
【詳解】令，則，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
又因為對于任意，在總存在，使得，
在上由于的增長速率比的增長速率要快得多，所以總存在，使得，
所以在與上都趨于無窮大；
令，則開口向下，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，
.
因為函數(shù)有且只有三個零點，
而已經(jīng)有唯一零點，所以必須有兩個零點，則，即，解得或，
當(dāng)時，，則，
即在處取不到零點，故至多只有兩個零點，不滿足題意，
當(dāng)時，，則，所以在處取得零點，
結(jié)合圖像又知與必有兩個交點，故在與必有兩個零點，
所以有且只有三個零點，滿足題意；
綜上：，即.
故選：C.
11．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)運算以及作差法，整理代數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得的大小關(guān)系；根據(jù)二項式定理以及中間執(zhí)法，整理，可得答案.
【詳解】由，，則，
令，，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，即，
故，可得，即；
由，
且，則，即.
綜上，.
故選：C.
12．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，且，，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，由條件結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性的定義得到函數(shù)的周期為，且，，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，
則，即函數(shù)關(guān)于點對稱，
所以有①，
又②，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
則由②得：，，
所以，則
又由①和②得：，得，
所以，即，
所以函數(shù)的周期為，
則，
所以，
故選：A.
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為，對，
（1）存在常數(shù)，使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.
（2）存在常數(shù)使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
13．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域均為，且，關(guān)于對稱，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對稱性、周期性進行計算求解.
【詳解】因為， ，
對于②式有：，由①+有：，
即，又關(guān)于對稱，所以，
由④⑤有：，即，，
兩式相減得：，即，即，
因為函數(shù)的定義域為，所以的周期為8，又，
所以，由④式有：，
所以，
由，有：，
所以，
由⑤式有：，又，所以，
由②式有：，
所以
，故A，B，D錯誤.
故選：C.
14．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，和，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，即，從而得到.
【詳解】，
令，，
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，
又，所以在上恒成立，
所以，即，即，
令，，
所以，
因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即在恒成立，
所以，
令，，
所以，
因為，所以，
故在上單調(diào)遞減，
所以，即在恒成立，
當(dāng)時，，
故，即，
綜上，
故選：B
【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.
二、多選題
15．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對稱，則（ ）
A．B．
C．在上至少有2個零點D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于y軸對稱，結(jié)合求導(dǎo)可求得的圖象關(guān)于點對稱，再根據(jù)為奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點對稱且關(guān)于直線對稱，進而可得為和的一個周期，從而可判斷選項A，B，C，根據(jù)的圖象關(guān)于對稱，從而可判斷選項D．
【詳解】定理1：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于直線對稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點對稱．
定理2：若函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，則圖象關(guān)于點對稱導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱．
以下證明定理1，定理2：
證明：
若函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，
則，所以導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點對稱．
若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，
令，則，則(c為常數(shù))，
又，所以，
則，所以圖象關(guān)于直線對稱．
若函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，
則，所以圖象關(guān)于直線對稱．
若導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，
令，則，則(c為常數(shù))，
又，所以，
則，所以圖象關(guān)于點對稱．
故下面可以直接引用以上定理．
由的圖象關(guān)于y軸對稱，
則，兩邊求導(dǎo)得，
即，的圖象關(guān)于點對稱，
又由定理2，所以的圖象關(guān)于直線對稱．
又為奇函數(shù)，則，
的圖象關(guān)于點對稱，
又由定理1，則的圖象關(guān)于對稱．
為和的一個周期，，∴A正確；
，∴B錯誤；
由，得在上至少有2個零點．∴C正確；
由的圖象關(guān)于對稱，且周期為3，則的圖象關(guān)于對稱，
，，，，，，
，，D錯誤．
故選：AC．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和定理1，定理2來確定函數(shù)的對稱性及周期性．
16．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時，
【答案】AD
【分析】設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，可判斷A；設(shè)，則不是恒大于零，可判斷B；，不是恒小于零，可判斷C；當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，
即，由此可判斷D.得選項.
【詳解】解： 對于A選項，因為令，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，即．故A選項正確；
對于B選項，因為令，所以，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．所以與無法比較大?。蔅選項錯誤；
對于C選項，令，所以時，在單調(diào)遞減，時，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故成立，當(dāng)時，，．故C選項錯誤；
對于D選項，由C選項知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又因為A正確，成立，
所以
,故D選項正確.
故選：AD．
【點睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：
(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；
(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；
(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
17．（2023·江蘇南通·海安高級中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，下列說法中，正確的是（ ）
A．在是增函數(shù)
B．是奇函數(shù)
C．在上有兩個極值點
D．設(shè)，則滿足的正整數(shù)的最小值是
【答案】ABD
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項的正誤；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項的正誤；驗證、時，是否成立，由此可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，，
，所以，函數(shù)在是增函數(shù)，A選項正確；
對于B選項，令，該函數(shù)的定義域為，
，
，
則，
所以，函數(shù)為奇函數(shù)，B選項正確；
對于C選項，當(dāng)時，，且，
所以，函數(shù)在內(nèi)無極值點；
，
①當(dāng)時，，，則，
則，，此時，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，
所以，函數(shù)在上只有一個極值點；
②當(dāng)時，，，
所以，，，則，
所以，，則，
所以，函數(shù)在上沒有極值點.
綜上所述，函數(shù)在上只有一個極值點，C選項錯誤；
對于D選項，.
當(dāng)時，，，不成立；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
，，，則，
所以，，
所以，滿足的正整數(shù)的最小值是，D選項正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，步驟如下：
（1）一是看定義域是否關(guān)于原點對稱，如果定義域不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，接下來就是判斷與之間的關(guān)系；
（3）下結(jié)論.
18．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】觀察式子特點，構(gòu)造函數(shù)比較大小
【詳解】，令，，
則，
故在上單調(diào)遞增，
則，
即，
故；
而，
令，，
則，
故在上單調(diào)遞減，故，
即，
故；
令，，
則，
由函數(shù)及的圖象特征，
再由，，可得，
故在上單調(diào)遞增，則，
即，
則，
則．
故選: BC．
【點睛】本題需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，并借助特殊值比較大小.
19．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱，且，當(dāng)時，；且對任意且，都有，則（ ）
A．是奇函數(shù)B．
C．是周期函數(shù)D．在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【分析】對于A，令，根據(jù)證明即可判斷；對于B，根據(jù)，結(jié)合即可求得，即可判斷；對于C，先求出，再根據(jù)求出，即可判斷；對于D，令，先判斷的符號，再根據(jù)比較即可判斷.
【詳解】對于A，令，
則，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；
對于B，由，得，
所以，
則，
所以，故B錯誤；
對于C，由，
得，
則，
則，即，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故C正確；
對于D，令，則，
則，所以，
，所以，所以，
，
因為，所以，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，周期性及單調(diào)性，C選項的關(guān)鍵在于根據(jù)判斷與的關(guān)系，D選項的關(guān)鍵在于令，判斷出的符號.
20．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)的定義域為，，對于任意的正數(shù)，都有，且時，都有，則（ ）
A．
B．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增
C．對于任意都有
D．不等式的解集為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)已知應(yīng)用賦值法判斷A選項，結(jié)合奇函數(shù)判斷C選項，根據(jù)單調(diào)性定義判斷B選項，結(jié)合單調(diào)性解不等式判斷D選項.
【詳解】已知,令可得,
令可得,得,,A選項正確;
奇函數(shù)的定義域為,，所以,又知,
所以函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)遞增,B選項錯誤;
對于任意的正數(shù)，都有，
對于任意都有,,,
又因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得,C選項正確;
對于任意的正數(shù)，都有，
,又因為,所以,
所以,
又因為所以,所以,
所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增, 又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,
不等式,,
已知,
令, 因為可得，
函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增, 所以,
已知,令, 因為,
可得，同理，,
又因為函數(shù)為奇函數(shù)，,,
又因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增, 所以
不等式的解集為, D選項正確；
故選:ACD.
21．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的零點，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】設(shè)，由可得，再根據(jù)選項依次判斷正誤即可.
【詳解】設(shè)，
，，，
即，
所以要使為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式.
由中的最高次數(shù)為4，是它的一個零點，
因此，
即.
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，是正確的；
對選項，，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，無最小值，因此選項是錯誤的.
故選：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.
22．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若，當(dāng)時都有，則稱是“封閉”函數(shù).則下列命題正確的是（ ）
A．是“封閉”函數(shù)
B．定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)
C．若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)
D．若是“封閉”函數(shù)，則不一定是“封閉”函數(shù)
【答案】BC
【分析】A特殊值判斷即可；B根據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；C、D根據(jù)定義得到都有、有，再判斷所給定區(qū)間里是否有、成立即可判斷.
【詳解】A：當(dāng)時，，而，錯誤；
B：對于區(qū)間，使，即，必有，
所以定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)，正確；
C：對于區(qū)間，使，則，
而是“封閉”函數(shù)，則，即都有，
對于區(qū)間，使，則，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封閉”函數(shù)，正確；
D：對于區(qū)間，存在一個滿足在使，都有，且，
此時，上述為一個“封閉”函數(shù)，且該函數(shù)在有恒成立，
對于區(qū)間，結(jié)合上述函數(shù)，使，則，，...，，
將上述各式，兩邊分別累加并消項得，故成立，
所以一定是“封閉”函數(shù)，故錯誤.
故選：BC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于C、D，根據(jù)給定的條件得到都有、有恒成立，利用遞推關(guān)系及新定義判斷正誤.
23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于正整數(shù)n，則下列說法中正確的有（ ）
A．B．
C．為遞減數(shù)列D．
【答案】AC
【分析】的極值點為的變號零點，即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點的橫坐標(biāo).將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標(biāo)系下.
A選項，利用零點存在性定理及圖像可判斷選項；
BC選項，由圖像可判斷選項；
D選項，注意到，由圖像可得單調(diào)性，后可判斷選項.
【詳解】的極值點為在上的變號零點.
即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點的橫坐標(biāo).
又注意到時，，時，，
，時，.據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標(biāo)系中，如下圖所示.
A選項，注意到時，，，.
結(jié)合圖像可知當(dāng)，.
當(dāng)，.故A正確；
B選項，由圖像可知，則，故B錯誤；
C選項，表示兩點與間距離，由圖像可知，
隨著n的增大，兩點間距離越來越近，即為遞減數(shù)列.故C正確；
D選項，由A選項分析可知，，
又結(jié)合圖像可知，當(dāng)時，，即此時，
得在上單調(diào)遞增，
則，故D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及函數(shù)的極值點，因函數(shù)本身通過求導(dǎo)難以求得單調(diào)性，故將兩相關(guān)函數(shù)畫在同一坐標(biāo)系下，利用圖像解決問題.
24．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．
D．若，則
【答案】ABD
【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷ABC，對于D，通過觀察選項可以推斷很可能為周期函數(shù)，結(jié)合，的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到當(dāng)令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步可得出是周期函數(shù)，從而可得出的值.
【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，
再令，，代入已知等式得，
可得，結(jié)合得，故A正確；
對于B，再令，代入已知等式得，
將代入上式，得，∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴函數(shù)關(guān)于點對稱，故B正確；
對于C，再令，代入已知等式，
得，∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，故C錯誤；
對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：
，
兩式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，∴為周期函數(shù)，且周期為3，
∵，∴，∴，，
∴，
∴，
故D正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：對于含有，，的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有，雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系.此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.
三、填空題
25．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知在上恒成立，則實數(shù)的最大值為______．
【答案】
【分析】利用端點值初步限定實數(shù)的取值范圍，設(shè)，其中，確定．根據(jù)在上單調(diào)性和最大值不同分類討論，結(jié)合不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式組，分別求解，然后取并集，得到實數(shù)的取值范圍，從而得到最大值.
【詳解】設(shè)函數(shù)，
則由題設(shè)得，
所以，解得．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增．
設(shè)，其中，
則．
注意到，，
討論如下：
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得，
從而根據(jù)在上恒成立知，只需滿足，
解得．
②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得，
從而根據(jù)在上恒成立知，只需滿足，
解得．
綜上所述，．
故所求實數(shù)的最大值為．
故答案為：.
【點睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及分類討論思想，絕對值不等式，二次不等式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬中高檔題，難度較大，其中利用端點值初步限定實數(shù)的取值范圍是簡化討論的有效方法.
26．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，且在上有成立.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性和奇偶性可解.
【詳解】記，則
由可得
所以為偶函數(shù)
記，則
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以，當(dāng)時，有最小值
又因為在上，即
所以
所以在上單調(diào)遞增，
由可得
即
所以，即，解得.
故答案為：
27．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是______．
【答案】
【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．
【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：
∵存在實數(shù)，滿足，
，
，
由圖可知，，
，
設(shè)，其中，
，顯然在單調(diào)遞增，
，
，，
在單調(diào)遞增，
在的最大值為，
的最大值為，
故答案為：．
28．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，且對任意的，都有，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】或
【分析】利用特殊值法求，，利用奇偶函數(shù)概念研究的奇偶性，再利用單調(diào)性化簡不等式，參變分離、構(gòu)造新函數(shù)法，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】令，有，得，
令，得，則，
令，，有，得，
又函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，
因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增.
不等式可化為，
則有，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以，即，
設(shè)，則，
因為，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，所以或.
故答案為：或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：先判斷出函數(shù)的奇偶性，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.
29．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，且，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)給定分段函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，確定給定方程有兩個不等實根的a的取值范圍，再將目標(biāo)函數(shù)用a表示出即可求解作答.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)，即時，，且，
當(dāng)，即時，，且，
當(dāng)，即時，，且，
因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，
再作出直線，則方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，
觀察圖象知方程有兩個不等實根，當(dāng)且僅當(dāng)，
此時，且，即，且，則有，
令，求導(dǎo)得，令，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，而，于是當(dāng)時，，有，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
30．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再運用分離參數(shù)法求最值即可.
【詳解】因為，所以，.
即.
令，易知在上單調(diào)遞增，
又，
所以恒成立，即恒成立.
所以.
令，，則，，
由，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
故實數(shù)的最大值為.
故答案為：.
【點睛】同構(gòu)法的三種基本模式：
①乘積型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；
②比商型，如可以同構(gòu)成，進而構(gòu)造函數(shù)；
③和差型，如，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)或.
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略：
（1）分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（2）恒成立；恒成立；
能成立；能成立.

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