1．（3分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那獎螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點（2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3cm和8cm，則此三角形的第三邊長可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．15cm
4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
5．（3分）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的（ ）
A．全等形B．穩(wěn)定性C．靈活性D．對稱性
6．（3分）在△ABC中，作出AC邊上的高，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若一個多邊形的每個外角都是30°，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點D，P是直線MN上的任意一點，則PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
10．（3分）如圖，線段AB的一個端點B在直線m上，直線m上存在點C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點C有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
二、填空題（本題共8小題，每題3分，共24分）
11．（3分）如圖，D是△ABC的邊CA延長線上一點，∠1＝ °，∠2＝ °．
12．（3分）如圖，若∠BAD＝∠CAD，添加條件 ，可使得△ABD≌△ACD．
13．（3分）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，則∠EAC的度數(shù)為 ．
14．（3分）如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長為 cm．
15．（3分）如果等腰三角形的一個角等于80°，則它的頂角等于 度．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，則AC＝ ．
17．（3分）如圖，∠AOB＝50°，點P是邊OB上一個動點（不與點O重合），當∠A的度數(shù)為 時，△AOP為直角三角形．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點，點E、F分別在邊AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列結(jié)論正確的是 （填所有正確答案的序號）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分別表示△ABC和△EDF的面積，則．
三、解答題（本題共8小題，第19題6分，第20-22題，每題5分，第23-25題，每題6分，第26題7分，共46分）
19．（6分）請補全證明過程及推理依據(jù)．
如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求證：∠A＝∠D．
證明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+ ＝CF+ （ ），
即 ＝ ，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF （ ），
∴∠A＝∠D （ ）．
20．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分線AD交BC于點D．求∠DAC與∠ADB的度數(shù)．
21．（5分）如圖，C是AB的中點，CD∥BE，CD＝BE，連接AD，CE．求證：AD＝CE，AD∥CE．
22．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求證：BC＝CD．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A'B'C'；
（2）寫出A'、B'、C'的坐標（直接寫出答案）A' ；B' ；C' ；
（3）直接寫出△A'B'C'的面積 ．
24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：BE＝CF．
25．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．請用等式表示線段AB，BC，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
26．（7分）如圖，在等邊△ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，以P為頂點作∠APP'＝60°，且PP'＝AP，連接AP'，BP'．
（1）如圖1，用等式表示BP'與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當∠BPC＝120°時，
①直接寫出∠P'BP的度數(shù)為 ；
②若D為BC的中點，連接PD，請用等式表示PD與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．
2022-2023學年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）在下列各小題的四個備選答案中，只有一個是正確的．
1．（3分）斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那獎螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案．軸對稱圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點（2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得答案．
【解答】解：點（2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（2，﹣3），
故選：A．
【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．
3．（3分）已知三角形的兩邊長分別為3cm和8cm，則此三角形的第三邊長可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．15cm
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出第三邊的范圍，即可解答．
【解答】解：∵三角形的兩邊長為3cm和8cm，
∴第三邊x的長度范圍是8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11，
故選：C．
【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)找出對應(yīng)角，根據(jù)全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故選：B．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
5．（3分）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的（ ）
A．全等形B．穩(wěn)定性C．靈活性D．對稱性
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．
【解答】解：生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因為三角形具有穩(wěn)定性．
故選：B．
【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．
6．（3分）在△ABC中，作出AC邊上的高，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的定義對各個圖形觀察后解答即可．
【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線垂足為D，
縱觀各圖形，D選項符合高線的定義，
故選：D．
【點評】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）若一個多邊形的每個外角都是30°，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】利用任何多邊形的外角和是360°除以外角度數(shù)即可求出答案．
【解答】解：多邊形的外角的個數(shù)是360÷30＝12，所以多邊形的邊數(shù)是12．
故答案為：D．
【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．
8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】A．由作法知AD＝AC，可判斷A；B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，可判斷B；C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，可判斷C；D．由作法知AD是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判斷D．
【解答】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故選項A不符合題意；
B．由作法知所作圖形是線段BC的垂直平分線，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故選項B符合題意；
C由作法知，所作圖形是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故選項C不符合題意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故選項D不符合題意；
故選B．
【點評】本題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點D，P是直線MN上的任意一點，則PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，則PA+PC的最小值即為線段AB的長度．
【解答】解：如圖，MN是BC的垂直平分線，
∴點C與點B關(guān)于直線MN對稱，
∴線段AB與直線MN的交點即為點P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故選：B．
【點評】本題主要考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到點P的位置是解題的難點．
10．（3分）如圖，線段AB的一個端點B在直線m上，直線m上存在點C，使△ABC為等腰三角形，這樣的點C有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】分三種情況：當BA＝BC時，當AB＝AC時，當CA＝CB時，即可解答．
【解答】解：如圖：
分三種情況：
當BA＝BC時，以點B為圓心，以BA長為半徑作圓，交直線m于點C1，C2，
當AB＝AC時，以點A為圓心，以AB長為半徑作圓，交直線m于點C3，
當CA＝CB時，作AB的垂直平分線交直線m于點C4，
綜上所述：使△ABC為等腰三角形，這樣的點C有4個，
故選：C．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共8小題，每題3分，共24分）
11．（3分）如圖，D是△ABC的邊CA延長線上一點，∠1＝ 110 °，∠2＝ 70 °．
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠1的度數(shù)，然后根據(jù)平角的定義求出∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠1＝110°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝70°．
故答案為：110°，70°．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和等于180°．
12．（3分）如圖，若∠BAD＝∠CAD，添加條件 AB＝AC ，可使得△ABD≌△ACD．
【分析】利用SAS，添加AB＝AC，進而得出即可．
【解答】解：添加條件：AB＝AC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案為：AB＝AC．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，則∠EAC的度數(shù)為 40° ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根據(jù)∠B＝70°，即可得到∠EAC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的對應(yīng)角相等，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，∠C＝∠E，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝40°，
∵在8字形中，
∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，
∴∠EAC＝∠EDC＝40°，
故答案為：40°．
【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等．
14．（3分）如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5cm和6cm，那么此三角形的周長為 16或17 cm．
【分析】已知等腰三角形的兩邊長，但沒指出哪個是腰哪個是底，故應(yīng)該分兩種情況進行分析．
【解答】解：當腰為6cm時，則三角形的三邊長分別為6cm、6cm、5cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，周長為17cm；
當腰為5時，則三角形的三邊長分別為5cm、5cm、6cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，周長為16cm；
綜上可知，等腰三角形的周長為16cm或17cm．
故答案為：16或17．
【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)的理解及運用，注意分類討論思想的運用．
15．（3分）如果等腰三角形的一個角等于80°，則它的頂角等于 80或20． 度．
【分析】當?shù)妊切蔚囊粋€角等于80°時，分2種情況；①當?shù)妊切蔚囊粋€角等于80°時，等腰三角形的頂角與其相等，②當?shù)妊切蔚捻斀堑扔?0°，時，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．
【解答】解；當?shù)妊切蔚囊粋€角等于80°時，則有2種情況；
①當?shù)妊切蔚囊粋€角等于80°時，等腰三角形的頂角等于80°時，
②當?shù)妊切蔚捻斀堑扔?0°時則它的底角為：（180﹣80﹣80）＝20°
故答案為：80或20．
【點評】此題主要考查三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，此題要采用分類討論的思想，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．要求學生應(yīng)熟練掌握．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，則AC＝ 3 ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形邊角關(guān)系進行計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，
∴∠B＝30°，
∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣60°﹣90°
＝30°；
∴AC＝AB＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)．在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
17．（3分）如圖，∠AOB＝50°，點P是邊OB上一個動點（不與點O重合），當∠A的度數(shù)為 90°或40° 時，△AOP為直角三角形．
【分析】分兩種情況：①∠A為直角；②∠APO為直角．
【解答】解：若△AOP為直角三角形，則
①∠A＝90°時，△AOP為直角三角形；
②當∠APO＝90°時，△AOP為直角三角形，此時∠A＝40°．
故答案為90°或40°．
【點評】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，同時運用分類討論思想解決直角三角形的角度問題是解題的途徑．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點，點E、F分別在邊AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列結(jié)論正確的是 ①②④ （填所有正確答案的序號）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分別表示△ABC和△EDF的面積，則．
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可證△ADE≌△CDF（ASA），△BED≌△AFD（ASA），從而得出△DEF是等腰直角三角形，即可對結(jié)論進行逐一判斷．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠DAE＝∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），故①正確，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+CF，故②正確；
∵EF是變化的，而AD為定值，故③錯誤；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB時，S2最小為×AB×AB＝S1，
當點E與A或B重合時，S2最大為S1，
∴S1≤S2≤S1，故④正確；
故答案為：①②④．
【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與中，三角形的外角的性質(zhì)等知識，熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8小題，第19題6分，第20-22題，每題5分，第23-25題，每題6分，第26題7分，共46分）
19．（6分）請補全證明過程及推理依據(jù)．
如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求證：∠A＝∠D．
證明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+ EC ＝CF+ EC （ ），
即 BC ＝ EF ，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF （ SSS ），
∴∠A＝∠D （ 全等三角形的性質(zhì) ）．
【分析】根據(jù)等式性質(zhì)由BE＝CF推出BC＝EF，根據(jù)SSS證△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
【解答】證明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+EC＝CF+EC（等式的性質(zhì)），
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF （SSS），
∴∠A＝∠D （全等三角形的性質(zhì)）．
故答案為：EC，EC，等式的性質(zhì)，BC，EF，SSS，全等三角形的性質(zhì)．
【點評】本題考查了等式的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分線AD交BC于點D．求∠DAC與∠ADB的度數(shù)．
【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC＝100°，再由角平分線的定義可求得∠DAC＝50°，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠ADB的度數(shù)．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADC＝∠DAC+∠C＝100°．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．
21．（5分）如圖，C是AB的中點，CD∥BE，CD＝BE，連接AD，CE．求證：AD＝CE，AD∥CE．
【分析】根據(jù)題意證明△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，∠A＝∠BCE，借助平行線的判定即可解決問題．
【解答】證明：∵點C是AB的中點，
∴AC＝BC，
∵CD∥BE，
∠ACD＝∠B，
在△ADC與△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE，∠A＝∠BCE，
∴AD∥CE．
【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，牢固掌握平行線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識點是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求證：BC＝CD．
【分析】連接AC，證明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），即可得出結(jié)論．
【解答】證明：如圖，連接AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC＝CD，
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明Rt△ABC≌Rt△ADC是解此題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A'B'C'；
（2）寫出A'、B'、C'的坐標（直接寫出答案）A' （3，4） ；B' （3，1） ；C' （﹣1，2） ；
（3）直接寫出△A'B'C'的面積 6 ．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可在圖中畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；
（2）結(jié)合（1）即可寫出A'、B'、C'的坐標；
（3）根據(jù)直角三角形的面積去計算△A'B'C'的面積．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）A'（3，4）；B'（3，1）；C'（﹣1，2）；
故答案為：（3，4）；（3，1）；（﹣1，2）；
（3）△A'B'C'的面積＝，
故答案為：6．
【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．
24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：BE＝CF．
【分析】欲證明BE＝CF，只要證明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【解答】證明：∵AB＝AC，AD為∠BAC的平分線
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明Rt△BDE≌Rt△CDF．
25．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．請用等式表示線段AB，BC，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】在BC上截取BF＝BA，連接EF，證△ABE≌△FBE（SAS），得∠BFE＝∠BAC＝108°，則∠CFE＝72°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝72°，則∠CFE＝∠CEF，然后證CE＝CF，即可得出結(jié)論．
【解答】解：AB+CE＝BC，證明如下：
如圖，在BC上截取BF＝BA，連接EF，
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠BFE＝∠BAC＝108°，
∴∠CFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝108°﹣36°＝72°，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵BF+CF＝BC，
∴AB+CE＝BC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）如圖，在等邊△ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，以P為頂點作∠APP'＝60°，且PP'＝AP，連接AP'，BP'．
（1）如圖1，用等式表示BP'與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當∠BPC＝120°時，
①直接寫出∠P'BP的度數(shù)為 60° ；
②若D為BC的中點，連接PD，請用等式表示PD與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）利用SAS證明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；
（2）①由三角形內(nèi)角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之間的轉(zhuǎn)化對∠P'BP進行轉(zhuǎn)化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，從而解決問題；
②延長PD到N，使PD＝DN，連接BN，CN，得出四邊形PBNC為平行四邊形，則BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS證明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PD．
【解答】解：（1）結(jié)論：BP'＝CP，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①當∠BPC＝120°時，
則∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案為：60°；
②結(jié)論：AP＝2PD，理由如下：
延長PD到N，使PD＝DN，連接BN，CN，
∵D為BC的中點，
∴BD＝CD，
∴四邊形PBNC為平行四邊形，
∴BN∥CP，且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PD，
又∵△APP'為正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PD．
【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，利用倍長中線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/10 12:20:25；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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