1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．4cm，4cm，8cm
C．4cm，5cm，9cmD．5cm，6cm，9cm
3．（3分）三角形的下列四種線段中一定能將三角形分成面積相等的兩部分的是（ ）
A．角平分線B．中位線C．高D．中線
4．（3分）點A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標為（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
5．（3分）如圖，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，則∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC分別交AB，AC于M，N，則△AMN的周長為（ ）
A．8B．9C．10D．不確定
8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y軸于點M．若C點坐標為（﹣3，﹣4），則B點坐標為（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）多邊形的每個外角的度數(shù)都等于45°，則這個多邊形的邊數(shù)為 ．
10．（3分）如果一個等腰三角形的一角為80°，那么它的頂角是 ．
11．（3分）如圖，已知D是BC的中點，E是AD的中點，若△ABC的面積為12，則△CDE的面積為 ．
12．（3分）如圖，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的平分線，若∠BPC＝130°，則∠A＝ ．
13．（3分）如圖，AB∥DC，請你添加一個條件使得△ABD≌△CDB，可添條件是 ．（添一個即可）
14．（3分）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，則DE＝ cm．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，EF為AC的中垂線，若EC＝8，則BE的長為 ．
16．（3分）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是 ．
三、解答題（共52分）
17．（6分）求下列圖中x的值．
18．（5分）兩個村莊M，N與兩條公路AC，AB的位置如圖所示，現(xiàn)打算在O處建一個垃圾回收站，要求回收站到兩個村莊M，N的距離必須相等，到兩條公路AC，AB的距離也必須相等，那么點O應(yīng)選在何處？請在圖中用尺規(guī)作圖中找出點O．
19．（6分）如圖，在單位長度為1的方格紙中畫有一個△ABC．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；
（2）寫出點A'、B'的坐標；
（3）求△ABC的面積．
20．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．
21．（5分）已知：如圖，AB∥CD，OA＝OC．求證：OB＝OD．
22．（5分）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE與CD相交于點O，且∠1＝∠2，求證：OB＝OC．
23．（6分）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（點D不與點B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）∠BCE和∠BAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．
24．（7分）【原題再現(xiàn)】課本第42頁有這樣一道題：
如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置．試探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
小明提出一種正確的解題思路：
連接AA'，則∠1、∠2分別為△AEA'、△ADA'的外角，…
請你按照小明的思路解決上述問題．
【變式探究】如圖2，若將原題中“點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置”變?yōu)椤包cA落在四邊形BCDE外點A'的位置”，試猜想此時∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【結(jié)論運用】將四邊形紙片ABCD（∠C＝90°，AB與CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀，若∠1＝110°，∠2＝40°，請直接寫出∠ABC的度數(shù)．
25．（7分）如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點，∠CAO＝∠DBO．
（1）求證：AC＝BC；
（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長；
（3）在（1）中，過D作DF⊥AC于F點，點H為FC上一動點，點G為OC上一動點，（如圖3），當H在FC上移動，點G在OC上移動時，始終滿足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．
二、第二部分
26．（3分）若x、y滿足|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，則x2﹣y2＝ ．
27．（3分）規(guī)定：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．請計算i2022＝ ．
28．（6分）如圖是三個5×5的正方形網(wǎng)格，請你用三種不同的方法分別把每幅圖中的一個白色小正方形涂上陰影，使每幅圖中的陰影部分成為一個軸對稱圖形．
29．（8分）在學習平方根的過程中，同學們總結(jié)出：在ax＝N中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運算是乘方運算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運算是開方運算，小明提出一個問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)x是否也對應(yīng)著一種運算呢？”老師首先肯定了小明善于思考，繼而告訴大家這是同學們進入高中將繼續(xù)學習的對數(shù)，感興趣的同學可以課下自主探究．小明課后借助網(wǎng)絡(luò)查到了對數(shù)的定義：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（lgarithm），記作：x＝lgaN，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．小明根據(jù)對數(shù)的定義，嘗試進行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴l(xiāng)g22＝1；∵22＝4，∴l(xiāng)g24＝2；∵23＝8，∴l(xiāng)g28＝3；∵24＝16，∴l(xiāng)g216＝ ；計算：lg232＝ ；
（2）計算后小明觀察（1）中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對數(shù)之間有關(guān)系，例如：lg24+lg28＝ ；（用對數(shù)表示結(jié)果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），請你將小明的探究過程補充完整，并證明他的猜想．
（4）根據(jù)之前的探究，直接寫出lgaM﹣lgaN＝ ．
2022-2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（每題3分，共24分）
1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．
【解答】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項D能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：D．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（3分）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．4cm，4cm，8cm
C．4cm，5cm，9cmD．5cm，6cm，9cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，
A、1+2＝3，不能組成三角形，故該選項不符合題意；
B、4+4＝8，不能夠組成三角形，故該選項不符合題意；
C、4+5＝9，不能組成三角形，故該選項不符合題意；
D、5+6＝11＞9，能組成三角形，故該選項符合題意．
故選：D．
【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．
3．（3分）三角形的下列四種線段中一定能將三角形分成面積相等的兩部分的是（ ）
A．角平分線B．中位線C．高D．中線
【分析】三角形的角平分線與中線重合時才能將三角形分成面積相等的兩部分，三角形的中位線將三角形分成面積為1：3，三角形的高只有與中線重合時才能將三角形分成面積相等的兩部分，三角形的中線將三角形的一條邊平均分成2部分，以這2部分分別為底，分別求新三角形的面積，面積相等．
【解答】解：
（1）
三角形的角平分線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（2）
三角形的中位線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積經(jīng)計算得：
三角形面積為梯形面積的；
（3）
三角形的高把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（4）
三角形的中線AD把三角形分成兩部分，△ABD的面積為?BD?AE，△ACD面積為?CD?AE；
因為AD為中線，所以D為BC中點，所以BD＝CD，
所以△ABD的面積等于△ACD的面積．
∴三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．
故選：D．
【點評】考查中線，高，中位線，角平分線的定義，及中線，高，中位線在實際運算中的應(yīng)用．
4．（3分）點A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標為（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出符合題意的答案．
【解答】解：點A（﹣3，2）關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標為：（﹣3，﹣2）．
故選：D．
【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，則∠2＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，再利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠3＝60°．
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】利用三角形全等的判定證明．
【解答】解：從角平分線的作法得出，
△AFD與△AED的三邊全部相等，
則△AFD≌△AED．
故選：D．
【點評】考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）這一判定定理．
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC分別交AB，AC于M，N，則△AMN的周長為（ ）
A．8B．9C．10D．不確定
【分析】利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可得出∠AMN＝2∠MBE，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出∠MBE＝∠MEB，即MB＝ME，同理可得出NC＝NE，再利用三角形的周長公式即可求出△AMN的周長．
【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠MBE，
∴∠AMN＝2∠MBE．
∵∠AMN＝∠MBE+∠MEB，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴MB＝ME．
同理，NC＝NE，
∴C△AMN＝AM+ME+EN+AN＝AB+AC＝9．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形的周長，利用等腰三角形的性質(zhì)找出MB＝ME、NC＝NE是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y軸于點M．若C點坐標為（﹣3，﹣4），則B點坐標為（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）
【分析】證明△AMC≌△BOA（AAS），得出CM＝AO＝3，AM＝BO，求出OB的長，則可得出答案．
【解答】解：∵C點坐標為（﹣3，﹣4），
∴CM＝3，OM＝4，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM；
∵CM⊥y軸，
∴∠AMC＝∠BOA＝90°，
∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，
∴△AMC≌△BOA（AAS），
∴CM＝AO＝3，AM＝BO，
∴AM＝OA+OM＝3+4＝7，
∴OB＝7，
∴B（7，0）．
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共24分）
9．（3分）多邊形的每個外角的度數(shù)都等于45°，則這個多邊形的邊數(shù)為 8 ．
【分析】多邊形的外角和是360°，又有多邊形的每個外角都等于45°，所以可以求出多邊形外角的個數(shù)，進而得到多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：這個多邊形的邊數(shù)是：＝8，
故答案為：8．
【點評】本題考查多邊形的外角和，以及多邊形外角的個數(shù)與其邊數(shù)之間的相等關(guān)系．
10．（3分）如果一個等腰三角形的一角為80°，那么它的頂角是 80°或20° ．
【分析】先分情況討論：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的頂角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進行計算．
【解答】解：當80°是等腰三角形的頂角時，則頂角就是80°；
當80°是等腰三角形的底角時，則頂角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案為：80°或20°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，已知D是BC的中點，E是AD的中點，若△ABC的面積為12，則△CDE的面積為 3 ．
【分析】根據(jù)中線將三角形面積分為相等的兩部分可知：△CDE是△ACDE的面積的，△ACD的面積是△ABC的面積的，依此即可求解．
【解答】解：∵D是BC的中點，E是AD的中點，
∴S△CDE＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△CDE＝S△ABC＝×12＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了三角形的面積和中線的性質(zhì)，熟記三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的平分線，若∠BPC＝130°，則∠A＝ 80° ．
【分析】要求出∠A的值，只需求出（∠ABC+∠ACB）的值，BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的平分線，可得∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，而∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，進而求出∠A的值．
【解答】解：∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠PBC+2∠PCB＝2（∠PBC+∠PCB），
∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣2×50°，
∴∠A＝80°．
故答案為：80°．
【點評】本題考查了內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強，難度適中．
13．（3分）如圖，AB∥DC，請你添加一個條件使得△ABD≌△CDB，可添條件是 AB＝CD等（答案不唯一） ．（添一個即可）
【分析】由已知二線平行，得到一對角對應(yīng)相等，圖形中又有公共邊，具備了一組邊和一組角對應(yīng)相等，還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件，結(jié)合判定方法及圖形進行選擇即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，又BD＝BD，
①若添加AB＝CD，利用SAS可證兩三角形全等；
②若添加AD∥BC，利用ASA可證兩三角形全等．（答案不唯一）
故答案為：AB＝CD等（答案不唯一）
【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，則DE＝ 3 cm．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，代入DE＝BD﹣BE求出即可．
【解答】解：∵△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，
∴BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm，
故答案為：3．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，EF為AC的中垂線，若EC＝8，則BE的長為 4 ．
【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝8，做差后得到BE的長度．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12，EF為AC的中垂線
∴EC＝EA＝8，BE＝12﹣8＝4．
BE的長為4．
故填4．
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識；進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是 ASA ．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．
【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊．
∴根據(jù)三角形的判定方法ASA可解決此題．
故答案為：ASA．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共52分）
17．（6分）求下列圖中x的值．
【分析】根據(jù)直角三角形的銳角互余即可求出x的值；
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求出x的值；
根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出x的值．
【解答】解：因為直角三角形的兩個銳角互余，
所以x°+50°＝90°，
解得x＝40；
因為四邊形的內(nèi)角和為360°，
所以x°+（x+10）°+60°+90°＝360°，
解得x＝100；
因為外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和，
所以x°+（x+10）°＝（x+70）°，
解得x＝60．
【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)以及定理并靈活運用．
18．（5分）兩個村莊M，N與兩條公路AC，AB的位置如圖所示，現(xiàn)打算在O處建一個垃圾回收站，要求回收站到兩個村莊M，N的距離必須相等，到兩條公路AC，AB的距離也必須相等，那么點O應(yīng)選在何處？請在圖中用尺規(guī)作圖中找出點O．
【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，即可得到點O的位置．
【解答】解：如圖，點O即為所求．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題時注意：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
19．（6分）如圖，在單位長度為1的方格紙中畫有一個△ABC．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'；
（2）寫出點A'、B'的坐標；
（3）求△ABC的面積．
【分析】（1）分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可；
（2）根據(jù)圖形即可寫出點A'、B'的坐標；
（2）用矩形的面積減去四周三個三角形的面積．
【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．
（2）由圖可知點A'的坐標為（3，2），點B'的坐標為（4，﹣3）；
（3）△ABC的面積為3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝．
【點評】本題主要考查作圖—軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的定義與性質(zhì)．
20．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC＝2∠ABE，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據(jù)∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD計算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）已知：如圖，AB∥CD，OA＝OC．求證：OB＝OD．
【分析】欲證明OB＝OD，只要證明△ABO≌△CDO即可．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OB＝OD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE與CD相交于點O，且∠1＝∠2，求證：OB＝OC．
【分析】先由角平分線的性質(zhì)得OD＝OE，再證△OBD≌△OCE（ASA），即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，且∠1＝∠2，
∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在△OBD和△OCE中，
，
∴△OBD≌△OCE（ASA），
∴OB＝OC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（點D不與點B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）∠BCE和∠BAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．
【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得出∠B＝∠ACE，由三角形內(nèi)角和定理可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∠BCE+∠BAC＝180°．
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BCE＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝180°．
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定及其性質(zhì)，證明△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．
24．（7分）【原題再現(xiàn)】課本第42頁有這樣一道題：
如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置．試探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
小明提出一種正確的解題思路：
連接AA'，則∠1、∠2分別為△AEA'、△ADA'的外角，…
請你按照小明的思路解決上述問題．
【變式探究】如圖2，若將原題中“點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置”變?yōu)椤包cA落在四邊形BCDE外點A'的位置”，試猜想此時∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【結(jié)論運用】將四邊形紙片ABCD（∠C＝90°，AB與CD不平行）沿EF折疊成圖3的形狀，若∠1＝110°，∠2＝40°，請直接寫出∠ABC的度數(shù)．
【分析】【原題再現(xiàn)】結(jié)論：2∠BAC＝∠1+∠2．利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可．
【變式探究】如圖2，結(jié)論：2∠A＝∠1﹣∠2．利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．
【結(jié)論運用】如圖3中，延長BA交CD的延長線于M．利用圖2中的結(jié)論求出∠M即可解決問題．
【解答】解：【原題再現(xiàn)】圖1中，結(jié)論：2∠BAC＝∠1+∠2，
理由是：連接AA′．
∵沿DE折疊A和A′重合，
∴∠DAE＝∠DA′E，
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝2∠BAC，
【變式探究】如圖2，結(jié)論：2∠A＝∠1﹣∠2．
理由：設(shè)EA′交AC于J．
∵∠1＝∠EJA+∠A，∠EJA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
【結(jié)論運用】如圖3中，延長BA交CD的延長線于M．
由上面結(jié)論可知：∠1﹣∠2＝2∠M，
∴2∠M＝110°﹣40°，
∴∠M＝35°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°．
【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和的應(yīng)用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．
25．（7分）如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點，∠CAO＝∠DBO．
（1）求證：AC＝BC；
（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長；
（3）在（1）中，過D作DF⊥AC于F點，點H為FC上一動點，點G為OC上一動點，（如圖3），當H在FC上移動，點G在OC上移動時，始終滿足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．
【分析】（1）根據(jù)角平分線得出∠ACD＝∠BCD，進而判斷出△ACD≌△BCD，即可得出結(jié)論；
（2）過點D作DM⊥AC于M，根據(jù)角平分線得出DO＝DM，進而判斷出△BOD≌△AMD，得出OB＝AM，進而判斷出Rt△DOC≌Rt△DMC，得出OC＝MC，再判斷出OB＝EM，即可得出結(jié)論；
（3）在GO的延長線上取一點N，使ON＝FH，再判斷出DO＝DF，進而判斷出△DON≌△DFH，得出DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，進而判斷出∠GDH＝∠GDN，進而判斷出△DGN≌△DGH，得出GH＝GN，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（AAS），
∴AC＝BC；
（2）如圖2，
過點D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO＝DM，
在△BOD和△AMD中，
，
∴△BOD≌△AMD（AAS），
∴OB＝AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），
∴OC＝MC，
∵∠CAO＝∠DBO，∠DEA＝∠DBO，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DM⊥AC，
∴AM＝EM，
∴OB＝EM，
∵C（4，0），
∴OC＝4，
∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8；
（3）GH＝OG+FH；
證明：如圖3，
在GO的延長線上取一點N，使ON＝FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO＝DF，
在△DON和△DFH中，
，
∴△DON≌△DFH（SAS），
∴DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，
∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH＝∠GDO+∠ODN＝∠GDN，
在△DGN和△DGH中，
，
∴△DGN≌△DGH（SAS），
∴GH＝GN，
∵ON＝FH，
∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH．
【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理，等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
二、第二部分
26．（3分）若x、y滿足|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，則x2﹣y2＝ 1 ．
【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，代入計算即可求出值．
【解答】解：∵|x﹣y+1|+（x+y+1）2＝0，
∴，
則原式＝（x+y）（x﹣y）＝1，
故答案為：1
【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
27．（3分）規(guī)定：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．請計算i2022＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用新定義將原式變形，進而計算得出答案．
【解答】解：i2022＝（i2）1011＝（﹣1）1011＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確將原數(shù)變形是解題關(guān)鍵．
28．（6分）如圖是三個5×5的正方形網(wǎng)格，請你用三種不同的方法分別把每幅圖中的一個白色小正方形涂上陰影，使每幅圖中的陰影部分成為一個軸對稱圖形．
【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的圖形即可．
【解答】解：如圖所示：
．
【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．
29．（8分）在學習平方根的過程中，同學們總結(jié)出：在ax＝N中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運算是乘方運算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運算是開方運算，小明提出一個問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)x是否也對應(yīng)著一種運算呢？”老師首先肯定了小明善于思考，繼而告訴大家這是同學們進入高中將繼續(xù)學習的對數(shù)，感興趣的同學可以課下自主探究．小明課后借助網(wǎng)絡(luò)查到了對數(shù)的定義：如果N＝ax（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（lgarithm），記作：x＝lgaN，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．小明根據(jù)對數(shù)的定義，嘗試進行了下列探究：
（1）∵21＝2，∴l(xiāng)g22＝1；∵22＝4，∴l(xiāng)g24＝2；∵23＝8，∴l(xiāng)g28＝3；∵24＝16，∴l(xiāng)g216＝ 4 ；計算：lg232＝ 5 ；
（2）計算后小明觀察（1）中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對數(shù)之間有關(guān)系，例如：lg24+lg28＝ lg232 ；（用對數(shù)表示結(jié)果）
（3）于是他猜想：lgaM+lgaN＝ lgaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），請你將小明的探究過程補充完整，并證明他的猜想．
（4）根據(jù)之前的探究，直接寫出lgaM﹣lgaN＝ ．
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)與乘方之間的關(guān)系求解可得結(jié)論；
（2）利用對數(shù)的定義求解可得結(jié)論；
（3）根據(jù)所得結(jié)論進行推導可得結(jié)論；
（4）根據(jù)之前的探究，可得lgaM﹣lgaN＝．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴l(xiāng)g216＝4；
∵25＝32，
∴l(xiāng)g232＝5；
故答案為：4，5；
（2）lg24+lg28＝2+3＝5＝lg232，
故答案為：lg232；
（3）lgaM+lgaN＝lgaMN，
驗證：設(shè)lgaM＝x，lgaN＝y(tǒng)，則ax＝M，ay＝N，
∴ax?ay＝ax+y＝MN，
∴＝lgaMN＝x+y，
∴l(xiāng)gaMN＝lgaM+lgaN，
故答案為：lgaMN；
（4）根據(jù)之前的探究，可得lgaM﹣lgaN＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是弄清對數(shù)與乘方之間的關(guān)系，并熟練運用．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/7/10 12:23:27；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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