2021-2022學(xué)年北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．三角形B．平行四邊形C．梯形D．五邊形
2．（3分）下列圖形中與已知圖形全等的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
4．（3分）能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的（）
A．角平分線B．中線C．高線D．重心
5．（3分）下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
7．（3分）下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）
A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
8．（3分）如圖所示，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB于R點(diǎn)，作PS⊥AC于S點(diǎn)，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正確的是（）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
二、填空題（共8小題.每小題3分，共24分）
9．（3分）如圖，已知AD＝AE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ADC≌△AEB，你添加的條件是．（不添加任何字母和輔助線）
10．（3分）已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為37°，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為度．
11．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和跟它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是邊形．
12．（3分）如圖是由6個(gè)邊長相等的正方形組合成的圖形，∠1+∠2+∠3＝．
13．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為E，AB＝10，AC＝6，則BE的長為．
14．（3分）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝5，AD是BC邊上的中線，則AD取值范圍是．
15．（3分）如圖，△AOD≌△BOC，∠C＝50°，∠COD＝40°，AD與BC相交于點(diǎn)E，則∠DEC＝ °．
16．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為54°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為．
三、解答題（共6小題，17、18每小題4分，19、20、21、22每小題4分，共32分）
17．（4分）求出下列圖形中x的值．
18．（4分）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求作圖．
（1）利用尺規(guī)作圖在AC邊上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到AB、BC的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在網(wǎng)格中，△ABC的下方，直接畫出△EBC，使△EBC與△ABC全等．
19．（6分）看對(duì)話答題：小梅說：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1125°．小紅說：不對(duì)，你少加了一個(gè)角．
問題：
（1）他們?cè)谇髱走呅蔚膬?nèi)角和？
（2）少加的那個(gè)內(nèi)角是多少度？
20．（6分）已知：如圖，CB＝CD，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)D作AB⊥BC，AD⊥DC，兩垂線相交于點(diǎn)A．求證：AB＝AD．
21．（6分）如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
（2）請(qǐng)你猜想△ADE滿足什么條件時(shí)，DE∥BC，并證明．
22．（6分）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．
（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；
（2）當(dāng)AD＝AB＝4cm，則AE的長度為 cm．
（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．
四．能力展示題（共3小題，第23、24每小題6分，25題8分，共20分）
23．（6分）在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，則∠BOC＝ °；
（2）如圖2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)O'，則∠BO'C＝ °；
（3）探究如圖3，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與其外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)O，設(shè)∠A＝n°，則∠BOC的度數(shù)是．（用n的代數(shù)式表示）
24．（6分）若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?﹣5＞5﹣4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．
（1）以下4組長度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為（填序號(hào)）．
①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6，直接寫出x的整數(shù)值為．
25．（8分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延長CB到點(diǎn)D，∠DBE＝45°，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接AF，作FE⊥AF，交BE于點(diǎn) E．
（1）求證：∠CAF＝∠DFE；
（2）求證：AF＝EF．
經(jīng)過獨(dú)立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說出了對(duì)于第二問的想法：“我想通過構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形，因此我過點(diǎn)E作EG⊥CD于G（如圖2所示），如果能證明Rt△ACF和Rt△FGE全等，問題就解決了．但是這兩個(gè)三角形證不出來相等的邊，好像這樣作輔助線行不通．”小亮同學(xué)說：“既然這樣作輔助線證不出來，再考慮有沒有其他添加輔助線的方法．”請(qǐng)你順著小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問的證明．
2021-2022學(xué)年北京市海淀外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）
A．三角形B．平行四邊形C．梯形D．五邊形
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可得出答案．
【解答】解：A．三角形具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)符合題意；
B．平行四邊形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．梯形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．五邊形不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的穩(wěn)定性和平行四邊形、梯形、五邊形不具有穩(wěn)定性．
2．（3分）下列圖形中與已知圖形全等的是（）
A．B．C．D．
【分析】認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)全等形的定義，能夠重合的圖形是全等形，可得答案是B．
【解答】解：A、圓里面的正方形與已知圖形不能重合，錯(cuò)；
B、與已知圖形能完全重合，正確；
C、中間是長方形，與已知圖形不重合，錯(cuò)；
D、中間是長方形，與已知圖形不重合，錯(cuò)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等形的性質(zhì)；屬于較容易的基礎(chǔ)題，做題時(shí)要認(rèn)真觀察圖形，同時(shí)還要想到是否能夠重合．
3．（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，10
【分析】由于三角形三邊滿足兩短邊的和大于最長的邊，只要不滿足這個(gè)關(guān)系就不能構(gòu)成三角形．根據(jù)這個(gè)關(guān)系即可確定選擇項(xiàng)．
【解答】解：A、∵1+1＝2＜3，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
B、∵2+3＝5，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
C、∵3+4＝7＜9，
∴無法構(gòu)成三角形，不合題意；
D、∵5+6＝11＞10，
∴可以構(gòu)成三角形，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構(gòu)成三角形．
4．（3分）能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的（）
A．角平分線B．中線C．高線D．重心
【分析】利用三角形面積公式進(jìn)行判斷．
【解答】解：能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是三角形的中線．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高．三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．也考查了三角形的高、中線和角平分線．
5．（3分）下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點(diǎn)B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷．
【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項(xiàng)D．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．
【解答】解：作圖的步驟：
①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、C；
②任意作一點(diǎn)O′，作射線O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′B′于點(diǎn)C′；
③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)D′；
④過點(diǎn)D′作射線O′A′．
所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；
作圖完畢．
在△OCD與△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）
A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理判斷即可．
【解答】解：A、根據(jù)SAS定理可知，兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)AAS定理可知，斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；
C、根據(jù)HL定理可知，斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意；
D、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖所示，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB于R點(diǎn)，作PS⊥AC于S點(diǎn)，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個(gè)結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正確的是（）
A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③
【分析】根據(jù)角平分線的判定，先證AP是∠BAC的平分線，再證△APR≌△APS（HL），可證得AS＝AR，QP∥AR成立．
【解答】解：連接AP，
∵PR＝PS，
∴AP是∠BAC的平分線，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS＝AR，①正確．
∵AQ＝PQ
∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA
∴QP∥AR，②正確．
BC只是過點(diǎn)P，并沒有固定，明顯△BRP≌△CSP③不成立．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分線的判定和平行線的判定，難度適中．
二、填空題（共8小題.每小題3分，共24分）
9．（3分）如圖，已知AD＝AE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ADC≌△AEB，你添加的條件是 AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD ．（不添加任何字母和輔助線）
【分析】根據(jù)圖形可知證明△ADC≌△AEB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用ASA、SAS、AAS證明兩三角形全等．
【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，
∴可以添加AB＝AC，此時(shí)滿足SAS；
添加條件∠ADC＝∠AEB，此時(shí)滿足ASA；
添加條件∠ABE＝∠ACD，此時(shí)滿足AAS，
故答案為AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的判定方法．
10．（3分）已知直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為37°，則其另一個(gè)銳角的度數(shù)為 53 度．
【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列式計(jì)算即可．
【解答】解：∵直角三角形的一個(gè)銳角的度數(shù)為37°，
∴其另一個(gè)銳角的度數(shù)＝90°﹣37°＝53°，
故答案為：53．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和跟它的外角和相等，則這個(gè)多邊形是 4 邊形．
【分析】利用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意
（n﹣2）?180°＝360°，
解得n＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與多邊形的外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．
12．（3分）如圖是由6個(gè)邊長相等的正方形組合成的圖形，∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
【分析】如圖，根據(jù)題意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，先判斷△CGF為等腰直角三角形得到∠2＝45°，再證明△ABC≌△CED得到∠1＝∠DCE，則∠1+∠3＝90°，從而求出∠1+∠2+∠3的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
根據(jù)題意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴△CGF為等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠1＝∠DCE，
∵∠DCE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案為135°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．也考查了正方形的性質(zhì)．
13．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為E，AB＝10，AC＝6，則BE的長為 4 ．
【分析】先證明△ACD和△AED全等，得出AC＝AE，即可得出BE的長度．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠C＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
故答案為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是要牢記全等三角形的判定定理．
14．（3分）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝5，AD是BC邊上的中線，則AD取值范圍是＜AD＜．
【分析】延長AD到E使DE＝AD，連接BE，如圖，證明△BDE≌△CDA得到BE＝AC＝5，再利用三角形三邊的關(guān)系得到AB﹣BE＜AE∠AB+BE，從而得到AD的范圍．
【解答】解：延長AD到E使DE＝AD，連接BE，如圖，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝5，
∵AB﹣BE＜AE∠AB+BE，
即6﹣5＜2AD＜6+5，
∴＜AD＜．
故答案為＜AD＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了三角形三邊的關(guān)系．
15．（3分）如圖，△AOD≌△BOC，∠C＝50°，∠COD＝40°，AD與BC相交于點(diǎn)E，則∠DEC＝ 40 °．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠D＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D+∠DEC+∠DFE＝180°，∠C+∠DOC+∠OFC＝180°，根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠DFE＝∠OFC，求出∠DEC＝∠COD，再求出答案即可．
【解答】解：設(shè)DO交BC于F，
∵△AOD≌△BOC，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C，
∵∠D+∠DEC+∠DFE＝180°，∠C+∠DOC+∠OFC＝180°，
又∵∠DFE＝∠OFC，
∴∠DEC＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠DEC＝40°，
故答案為：40．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
16．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為54°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為 54°或84°或108° ．
【分析】分54°角是α、β和既不是α也不是β三種情況，根據(jù)希望角的定義以及三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：①54°角是α，則友好角度數(shù)為54°；
②54°角是β，則α＝β＝54°，
所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
則α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，
解得α＝84°，
綜上所述，友好角度數(shù)為54°或84°或108°．
故答案為：54°或84°或108°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，讀懂題目信息，理解希望角的定義是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．
三、解答題（共6小題，17、18每小題4分，19、20、21、22每小題4分，共32分）
17．（4分）求出下列圖形中x的值．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)計(jì)算可得到結(jié)論
【解答】解：（1）x＝180°?90°?50°＝40°；
（2）∵x+x+40＝180°，
∴x＝70；
（3）∵x+70＝x+x+10，
解得x＝60．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求作圖．
（1）利用尺規(guī)作圖在AC邊上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到AB、BC的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在網(wǎng)格中，△ABC的下方，直接畫出△EBC，使△EBC與△ABC全等．
【分析】（1）作∠ABC的平分線即可；
（2）利用翻折變換，或構(gòu)造平行四邊形可得結(jié)論；
【解答】解：（1）如圖點(diǎn)D即為所求；
（2）△EBC或△E′BC即為所求；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
19．（6分）看對(duì)話答題：小梅說：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1125°．小紅說：不對(duì)，你少加了一個(gè)角．
問題：
（1）他們?cè)谇髱走呅蔚膬?nèi)角和？
（2）少加的那個(gè)內(nèi)角是多少度？
【分析】設(shè)少加這個(gè)內(nèi)角為x度，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列出算式，根據(jù)多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)大于0度，且小于180度可求得n的值．
【解答】解：（1）設(shè)少加這個(gè)內(nèi)角為x°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n
則1125+x＝（n﹣2）180，
x＝（n﹣2）180﹣1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜（n﹣2）180﹣1125＜180，
∵n為整數(shù)，
∴n＝9．
（2）x＝（9﹣2）×180﹣1125＝135，
∴少加這個(gè)內(nèi)角為135度．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)大于0度，且小于180度求得多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）已知：如圖，CB＝CD，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)D作AB⊥BC，AD⊥DC，兩垂線相交于點(diǎn)A．求證：AB＝AD．
【分析】連接AC，由HL可證Rt△ABC≌Rt△ADC，可得AB＝AD．
【解答】證明：連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴AB＝AD
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明Rt△ABC≌Rt△ADC是本題的關(guān)鍵．
21．（6分）如圖，A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC≌△DAE．
（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
（2）請(qǐng)你猜想△ADE滿足什么條件時(shí)，DE∥BC，并證明．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，DE∥BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根據(jù)平行線的判定得出即可．即可．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三點(diǎn)在同一直線上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時(shí)，DE∥BC，
證明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．
∴DE∥BC，
即當(dāng)△ADE滿足∠AED＝90°時(shí)，DE∥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
22．（6分）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．
（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；
（2）當(dāng)AD＝AB＝4cm，則AE的長度為 8 cm．
（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CBD≌△CAE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可．
【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD與△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案為：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
AE與CD相交于點(diǎn)O，在△AOD與△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS得出△CBD與△CAE全等解答．
四．能力展示題（共3小題，第23、24每小題6分，25題8分，共20分）
23．（6分）在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，則∠BOC＝ 125 °；
（2）如圖2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)O'，則∠BO'C＝ 55° °；
（3）探究如圖3，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與其外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)O，設(shè)∠A＝n°，則∠BOC的度數(shù)是．（用n的代數(shù)式表示）
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，由∠A＝70°，得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．根據(jù)角平分線的定義，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得∠OBC＝，∠OCB＝，那么∠OBC+∠OCB＝＝＝55°，從而推斷出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，故∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝250°．根據(jù)角平分線的定義，由BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，得∠O′BC＝，∠O′CB＝，故∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°，那么∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝55°．
（3）根據(jù)角平分線的定義，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，得∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠A＝∠ACE﹣∠ABC，故∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC，那么∠BOC＝＝．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝，∠OCB＝．
∴∠OBC+∠OCB＝＝＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案為：125°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+70°＝250°．
∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，
∴∠O′BC＝，∠O′CB＝．
∴∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°．
∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝180°﹣125°＝55°．
故答案為：55°．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．
∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC．
∴∠BOC＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
24．（6分）若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?﹣5＞5﹣4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．
（1）以下4組長度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為 ② （填序號(hào)）．
①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6，直接寫出x的整數(shù)值為 10或12或13或14 ．
【分析】（1）根據(jù)“不均衡三角形”的定義即可求解；
（2）分三種情況對(duì)16進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能組成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能組成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能組成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能組成“不均衡三角形”．
故答案為：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合題意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x為整數(shù)，
∴x＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝10時(shí)，22，16，14可構(gòu)成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x為整數(shù)，
∴x＝12或13或14，都可以構(gòu)成三角形．
綜上所述，x的整數(shù)值為10或12或13或14．
故答案為：10或12或13或14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握“不均衡三角形”的定義、以及分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
25．（8分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延長CB到點(diǎn)D，∠DBE＝45°，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接AF，作FE⊥AF，交BE于點(diǎn) E．
（1）求證：∠CAF＝∠DFE；
（2）求證：AF＝EF．
經(jīng)過獨(dú)立思考后，老師讓同學(xué)們小組交流．小輝同學(xué)說出了對(duì)于第二問的想法：“我想通過構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形，因此我過點(diǎn)E作EG⊥CD于G（如圖2所示），如果能證明Rt△ACF和Rt△FGE全等，問題就解決了．但是這兩個(gè)三角形證不出來相等的邊，好像這樣作輔助線行不通．”小亮同學(xué)說：“既然這樣作輔助線證不出來，再考慮有沒有其他添加輔助線的方法．”請(qǐng)你順著小亮同學(xué)的思路在圖3中繼續(xù)嘗試，并完成（1）、（2）問的證明．
【分析】（1）依據(jù)“同角的余角相等”，即可得到∠CAF＝∠DFE；
（2）在AC 上截取AG＝BF，連接FG，依據(jù)ASA即可判定△AGF≌△FBE，進(jìn)而得出AF＝EF．
【解答】證明：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°．
∵FE⊥AF，
∴∠DFE+∠AFC＝90°．
∴∠CAF＝∠DFE．
（2）如圖3，在AC 上截取AG＝BF，連接FG，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即 CG＝CF．
∵∠C＝90°，
∴∠CGF＝∠CFG＝45°．
∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°．
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°．
∴∠AGF＝∠FBE．
由（1）可得：∠CAF＝∠DFE．
∴△AGF≌△FBE（ASA）．
∴AF＝EF．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造含有邊AF和EF的全等三角形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:48:34；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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