1．（3分）下列式子中，為最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行
B．一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等
C．兩組鄰邊相等
D．對(duì)角線互相垂直
3．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）若以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，可以組成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，6D．6，8，10
5．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
6．（3分）如圖所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD長(zhǎng)度為單位1，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，測(cè)量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)M、N，測(cè)量得MN＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．BO＝DOB．∠BAD＝∠BCDC．CD＝ABD．AC＝BD
9．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．4D．10
10．（3分）如圖，在直角△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△DBE，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥DE于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q．下面結(jié)論中正確的有（ ）個(gè)．
①△ABD≌△CBE；
②∠CDE＝∠ABD；
③AD2+CQ2＝DQ2；
④當(dāng)AD：DC＝1：2時(shí)，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；
⑤當(dāng)CD＝BC時(shí)，BD：EF＝+1．
A．5B．4C．3D．2
二、填空題（本題共8小題，共16分）
11．（2分）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
12．（2分）寫(xiě)出一個(gè)在2和3之間的無(wú)理數(shù) ．
13．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，兩條對(duì)角線的和為18，AD的長(zhǎng)為5，則△OBC的周長(zhǎng)為 ．
14．（2分）計(jì)算：（3+2）（3﹣2）＝ ．
15．（2分）“趙爽弦圖”是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢(mèng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)規(guī)劃出一塊活動(dòng)場(chǎng)地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，則EF的長(zhǎng)是 m．
16．（2分）如圖．四邊形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么圖中陰影部分的面積的和為 ．
17．（2分）平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角平分線將對(duì)邊分成3cm和5cm兩個(gè)部分，則該平行四邊形的周長(zhǎng)是 cm．
18．（2分）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．
以下為小桃桃的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，
特例1：
特例2：
特例3：
（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為： ；
（2）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)：＝ ．
三、解答題（本題共54分，19題10分，20-24題每小題10分，25-26題每題7分）
19．（10分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
20．（6分）如圖，已知點(diǎn)P、Q是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上的兩個(gè)點(diǎn)，且BP＝DQ．求證：四邊形APCQ是平行四邊形．
21．（6分）已知，如圖，等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的長(zhǎng)．
22．（6分）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程
已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖，
①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線AP，以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AP的
延長(zhǎng)線于點(diǎn)B；
②以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接BC；
③以點(diǎn)B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)Q；
④作直線PQ．
所以直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明
證明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依據(jù)）．
23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；
（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形的三邊長(zhǎng)分別為 2，，，并求這個(gè)三角形的面積．
24．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC與BD相交于O，且AC⊥BD，則a，b，c，d之間一定有關(guān)系式：a2+c2＝b2+d2，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（7分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF＝CD；
（2）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
26．（7分）小明在學(xué)習(xí)了“二次根式”后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的代數(shù)式可以寫(xiě)成另一個(gè)根號(hào)的代數(shù)式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了把類似a+b的代數(shù)式化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代數(shù)式分別表示a、b，則：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的結(jié)論找一組正整數(shù)a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．
2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)育英中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
參考答案與試題解析
一、選擇題（單選，本題共10小題，共30分）
1．（3分）下列式子中，為最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：A、＝，故原式不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；
B、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；
C、＝2，故原式不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；
D、＝2，故原式不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
2．（3分）在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行
B．一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等
C．兩組鄰邊相等
D．對(duì)角線互相垂直
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形是等腰梯形，不是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、兩組鄰邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、對(duì)角線互相平分的四邊形才是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定定理，能熟記平行四邊形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：平行四邊形的判定定理有：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對(duì)角分別平行的四邊形是平行四邊形，④一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
3．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝3，故A不符合題意．
B、原式＝＝5，故B不符合題意．
C、原式＝＝，故C不符合題意．
D、原式＝＝6，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
4．（3分）若以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，可以組成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，6D．6，8，10
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定即可．
【解答】解：A、12+12≠22，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、32+22≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
5．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
∴∠D＝110°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖所示，Rt△BCD中，∠BDC＝90°，CD長(zhǎng)度為單位1，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先運(yùn)用勾股定理求得線段BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，即可得出a的值．
【解答】解：由題意得，BC＝＝，
∴數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a為：﹣1，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意并列式、計(jì)算．
7．（3分）如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，測(cè)量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)M、N，測(cè)量得MN＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．30米B．32米C．36米D．48米
【分析】根據(jù)三角形中位線的定義推知MN是三角形ABC的中位線，然后利用三角形中位線定理求得AB的長(zhǎng)度即可．
【解答】解：∵點(diǎn)M、N是分別是AC和BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，MN＝16米，
∴MN＝AB＝16米，
∴AB＝32米．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．BO＝DOB．∠BAD＝∠BCDC．CD＝ABD．AC＝BD
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，②平行四邊形的對(duì)角相等，③平行四邊形的對(duì)角線互相平分）判斷即可．
【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），正確，不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，正確，不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，正確，不符合題意；
D、根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形不能推出AC＝BD，錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行四邊形的性質(zhì)是：①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，②平行四邊形的對(duì)角相等，③平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
9．（3分）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為（ ）
A．8B．6C．4D．10
【分析】設(shè)BN＝x，則由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD＝6，在Rt△BND中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．
10．（3分）如圖，在直角△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△DBE，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥DE于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q．下面結(jié)論中正確的有（ ）個(gè)．
①△ABD≌△CBE；
②∠CDE＝∠ABD；
③AD2+CQ2＝DQ2；
④當(dāng)AD：DC＝1：2時(shí)，S△BEC+S△DCE＝S△DBE；
⑤當(dāng)CD＝BC時(shí)，BD：EF＝+1．
A．5B．4C．3D．2
【分析】由“SAS”可證△ABD≌△CBE，故①正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠ABD＝∠CDE，故②正確；由等腰三角形的性質(zhì)可得BQ是DE的中垂線，可得DQ＝QE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，由勾股定理可得AD2+CQ2＝DQ2；故③正確；分別求出△BEC，△DCE，△DBE的面積，可得S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④錯(cuò)誤；分別求出EF2，BD2，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），故①正確；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵∠DBE＝90°，DB＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠CDE，
∴∠ABD＝∠CDE，故②正確；
如圖，連接QE，
∵∠DBE＝90°，DB＝BE，BQ⊥DE，
∴BQ是DE的中垂線，
∴DQ＝QE，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠QCE＝90°，
∴QC2+CE2＝QE2，
∴AD2+CQ2＝DQ2；故③正確；
∵AD：DC＝1：2，
∴設(shè)AD＝a，DC＝2a，
∴AC＝3a，
∴BC＝AB＝a，
∴DE＝＝a，
∴BP＝DE＝a，
∴S△BDE＝×a×a＝a2，
∵S△BEC+S△DCE＝×a×a+×a×2a＝a2，
∴S△BEC+S△DCE≠S△BDE，故④錯(cuò)誤；
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于N，
設(shè)AB＝BC＝x＝CD，則AC＝x，
∴AD＝（﹣1）x，
∵CB＝CD，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝∠CDB＝67.5°，
∴∠ABD＝22.5°＝∠CDE，
∴∠CED＝67.5°，
∵△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE＝（﹣1）x，∠BCE＝∠A＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝67.5°，
∴CF＝CE＝（﹣1）x，
∵∠BCE＝45°，EN⊥BC，
∴∠CEN＝∠BCE＝45°，
∴CN＝NE＝（﹣1）x＝（1﹣）x，
∴FN＝（﹣2）x，BN＝x，
∴EF2＝EN2+FN2＝（﹣）x2+（﹣6）x2＝（10﹣7）x2，BD2＝BE2＝EN2+BN2＝（﹣）x2+x2＝（2﹣）x2，
∴＝，
∴＝+1，故⑤正確，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用參數(shù)表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共8小題，共16分）
11．（2分）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥5 ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案為：x≥5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）寫(xiě)出一個(gè)在2和3之間的無(wú)理數(shù) （答案不唯一） ．
【分析】估算無(wú)理數(shù)的大小，寫(xiě)出一個(gè)答案即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，兩條對(duì)角線的和為18，AD的長(zhǎng)為5，則△OBC的周長(zhǎng)為 14 ．
【分析】根據(jù)兩對(duì)角線之和為18，可得出OB+OC的值，再由AD＝BC，可得出△OBC的周長(zhǎng)．
【解答】解：由題意得，OB+OC＝（AC+BD）＝9，
又∵AD＝BC＝5，
∴△OBC的周長(zhǎng)＝9+5＝14．
故答案為：14．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題需要掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等的性質(zhì)．
14．（2分）計(jì)算：（3+2）（3﹣2）＝ 6 ．
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算．
【解答】解：原式＝（3）2﹣（2）2
＝18﹣12
＝6．
故答案為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．
15．（2分）“趙爽弦圖”是2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢(mèng)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)規(guī)劃出一塊活動(dòng)場(chǎng)地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，則EF的長(zhǎng)是 14 m．
【分析】先根據(jù)線段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如圖，由題意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，
∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，
由勾股定理得：EF＝＝＝14（m）．
故答案為：14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．
16．（2分）如圖．四邊形ABCD，ECGF，IHGB都是正方形，如果AB＝12，BG＝13，那么圖中陰影部分的面積的和為 60 ．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△IDM≌△BEN（SAS），進(jìn)而即可解決問(wèn)題．
【解答】解：四邊形ABCD，BIHG，ECGF都是正方形，
∴AB＝BC＝12，BI＝BG＝13，
∴在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理得AI＝CG＝5，
∴ID＝BE，
在△IDM和△BEN中，
，
∴△IDM≌△BEN（SAS），
∵∠ABI＝90°﹣∠IBC＝∠CBG，
在△ABI和△CBG中，
，
∴△ABI≌△CBG（ASA），
∴△ABI和△CBG的面積相等，
∴陰影部分的面積＝S△BAI+S△BCG＝2×5×12×＝60．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是利用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積也是證明公式的一種常用方法．
17．（2分）平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角平分線將對(duì)邊分成3cm和5cm兩個(gè)部分，則該平行四邊形的周長(zhǎng)是 22或26 cm．
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由平行四邊形得出對(duì)邊平行，又由角平分線可以得出△ABE為等腰三角形，可以求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE為角平分線，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴①當(dāng)BE＝3cm時(shí)，CE＝5cm，AB＝3cm，
則周長(zhǎng)為22cm；
②當(dāng)BE＝5cm時(shí)，CE＝3cm，AB＝5cm，
則周長(zhǎng)為26cm．
故答案為：22或26．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的判定．注意有兩種情況，要進(jìn)行分類討論．
18．（2分）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．
以下為小桃桃的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，
特例1：
特例2：
特例3：
（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為： ＝（n+1） ；
（2）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)：＝ 2023 ．
【分析】（1）從數(shù)字找規(guī)律，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：
＝（n+1），
故答案為為：＝（n+1）；
（2）
＝2023×
＝2023×
＝2023，
故答案為：2023．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共54分，19題10分，20-24題每小題10分，25-26題每題7分）
19．（10分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化簡(jiǎn)再計(jì)算即可求出值；
（2）先化簡(jiǎn)再計(jì)算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2+
＝2+
＝2；
（2）原式＝﹣1+2
＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
20．（6分）如圖，已知點(diǎn)P、Q是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上的兩個(gè)點(diǎn)，且BP＝DQ．求證：四邊形APCQ是平行四邊形．
【分析】連接AC，交BD于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，由BP＝DQ，得出OP＝OQ，即可得出四邊形APCQ為平行四邊形．
【解答】證明：連接AC，交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BP＝DQ，
∴OP＝OQ，
∴四邊形APCQ為平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，熟記對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
21．（6分）已知，如圖，等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【解答】解：設(shè)AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此題的關(guān)鍵．
22．（6分）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程
已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖，
①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線AP，以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AP的
延長(zhǎng)線于點(diǎn)B；
②以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接BC；
③以點(diǎn)B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)Q；
④作直線PQ．
所以直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明
證明：∵PB＝PA，BC＝ BA ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ QC ．
∴PQ∥l（ 三角形的中位線定理 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形．
（2）利用三角形的中位線定理證明即可．
【解答】解：（1）直線PQ即為所求．
（2）證明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝QC．
∴PQ∥l（三角形的中位線定理）．
故答案為：BA，QC，三角形的中位線定理
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
23．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；
（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形的三邊長(zhǎng)分別為 2，，，并求這個(gè)三角形的面積．
【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖形即可；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可．
【解答】解：（1）如圖，正方形ABCD即為所求；
（2）如圖，△DEF即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
24．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，AC與BD相交于O，且AC⊥BD，則a，b，c，d之間一定有關(guān)系式：a2+c2＝b2+d2，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】由于AC⊥BD，在四個(gè)直角三角形中，可分別用兩邊的平方和表示另一邊，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AC⊥BD，∴a2＝OA2+OB2，b2＝OB2+OC2，
c2＝OD2+OC2，d2＝OA2+OD2
∴a2+c2＝OA2+OB2+OC2+OD2
b2+d2＝OA2+OB2+OC2+OD2
∴a2+c2＝b2+d2
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，能夠運(yùn)用勾股定理求證一些線段相等的問(wèn)題．
25．（7分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF＝CD；
（2）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；
（2）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB＝60°，得出∠ACF＝∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED＝CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF＝DC．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，且∠BAD＝∠BAC＝30°，
∵△AED是等邊三角形，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∵ED∥CF，
∴∠FCB＝∠EDB＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝30°，
∴∠ACF＝∠BAD＝30°，
在△ABD和△CAF中，，
∴△ABD≌△CAF（ASA），
∴AD＝CF，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形，
∴EF＝CD．
（2）解：成立；理由如下：
理由如下：∵ED∥FC，
∴∠EDB＝∠FCB，
∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝60°+∠BCF，∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB
∴∠AFC＝∠BDA，
在△ABD和△CAF中，，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD＝FC，
∵AD＝ED，
∴ED＝CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形，
∴EF＝CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．
26．（7分）小明在學(xué)習(xí)了“二次根式”后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的代數(shù)式可以寫(xiě)成另一個(gè)根號(hào)的代數(shù)式的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2mn+2n2，a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了把類似a+b的代數(shù)式化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的代數(shù)式分別表示a、b，則：a＝ m2+5n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的結(jié)論找一組正整數(shù)a、b、m、n填空： 21 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．
【分析】（1）仔細(xì)閱讀材料根據(jù)探索得問(wèn)題，通過(guò)完全平方公式去掉括號(hào)表示出a、b；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出a＝m2+5n2，b＝2mn，根據(jù)a，b，m，n均為正整數(shù)，給m和n賦值即可；
（3）在（1）的基礎(chǔ)上，求出a＝m2+5n2，b＝2mn，根據(jù)a，b，m，n均為正整數(shù)，可求出m，n．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2＝a+b，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案為：m2+5n2；2mn；
（2）由（1）知a＝m2+5n2，b＝2mn，
令m＝1，n＝2，
則a＝12+5×22＝21，b＝2×1×2＝4．
故答案為：21；4；1；2；
（3）由（1）知a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均為正整數(shù)，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
當(dāng)m＝1，n＝3時(shí)，a＝12+5×32＝46．
當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，a＝32+5×12＝14．
綜上，a的值為14或46．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、整式的加減、完全平方式，熟練掌握完全平方式的應(yīng)用，讀懂材料明確題意是解題關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:18:17；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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