2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．
C．D．
2．（3分）下列計算正確的是（）
A．a(chǎn)+2a2＝3a3B．a(chǎn)3?a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于點D，則∠CDB等于（）
A．65°B．70°C．75°D．85°
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，則m的值為（）
A．6B．±6C．3D．±3
5．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的周長為（）
A．13 cmB．17 cm
C．7 cm或13 cmD．不確定
6．（3分）設(shè)am＝16，an＝8，則am﹣n的值是（）
A．2B．8C．24D．128
7．（3分）如圖，已知直線PC是線段AB的垂直平分線，∠APC＝50°，則∠B＝（）
A．40°B．50°C．55°D．60°
8．（3分）在下列各式中，能運用平方差公式計算的是（）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
9．（3分）如圖1，在邊長為a的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗證的等式為（）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
10．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A，B是兩個格點，如果點C也是圖形中的格點，且△ABC為等腰三角形，所有符合條件的點C有（）
A．3個B．4個C．5個D．6個
二.填空題（本大題共16分，每小題2分）
11．（2分）若（a﹣2）0＝1，則a需要滿足的條件是．
12．（2分）一個等腰三角形，它的頂角的度數(shù)是一個底角的4倍，它的底角是度．
13．（2分）已知xa＝7，xb＝3，則xa+b＝．
14．（2分）如圖，在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若BE＝3，CF＝4，則線段EF的長為．
15．（2分）求值：20222022×（）2021×（π﹣3.14）0＝．
16．（2分）點M（a，5）與點N（﹣3，b）關(guān)于y軸對稱，則2a﹣b＝．
17．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B關(guān)于CD對稱點是E，則∠ACE＝ °．
18．（2分）若關(guān)于x的多項式2x+m與x+3相乘所得的多項式中不含x的一次項，則m＝．
三.解答題（本大題共54分，第19題16分，第20-21題每題4分，第22-23題每題5分，第24、25題每題6分，第26題8分）
19．（16分）計算．
（1）2x2（x2﹣3x﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
20．（4分）如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，
求證：AB＝CD．
21．（4分）先化簡，再求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2），其中x＝5．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面積是；
（2）已知△ABC與△A1B1C1關(guān)于y軸對稱，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于x軸對稱，請在坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y軸有一點P，使得△PA1B2周長最短，請畫出點P的位置（保留畫圖的痕跡）．
23．（5分）已知x2+y2＝34，x+y＝2，求xy和x﹣y的值．
24．（6分）在等邊△ABC中，D為直線BC上一動點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連CE．
（1）如圖1，若點D在線段BC上，求證：BD＝CE；
（2）若AC＝7，CE＝3，直接寫出CD的長度．
25．（6分）先閱讀下面材料，再解決問題：
已知x2+bx+c＝0．在求關(guān)于x的代數(shù)式的值時，可將x2+bx+c＝0變形為x2＝﹣bx﹣c．就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次代換法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代數(shù)式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
請用“降次代換法”，完成下列各小題：
（1）若x2+x﹣15＝0，則代數(shù)式（x+4）（x﹣3）的值為．
（2）若x2+5x+1＝0，則代數(shù)式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值為．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代數(shù)式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
26．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，延長BC至D，使DC＝BC，在AB的右側(cè)作線段AE，使AE＝AB，連接DE交AC于點P．
（1）如圖1，在線段PE上取點Q，使QE＝PD，連接AQ，求證：AP＝AQ；
（2）若∠BAE＝60°，依題意補全圖2，用等式表示線段PA，PD，PE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
四、附加題（本題共20分，第27、28題每題3分，第29、30題每題4分，第31題6分）
27．（3分）20222﹣2023×2021＝．
28．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E是AD上的一動點，以CE為邊向上作等邊△CEF，連接BF．則∠CBF＝ °．
29．（4分）定義一種新運算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），則x的值為．
30．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．
31．（6分）對于△ABC及其內(nèi)部任意一點P，給出如下定義：若點P滿足PA＜PB且PA＜PC，則稱點P為點A關(guān)于△ABC的“鄰近點”，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M坐標(biāo)為（4，0）．
（1）如圖1，點N在x軸上方，若△OMN為等邊三角形．
①在點Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，點O關(guān)于△OMN的“鄰近點”是；
②已知點Q是點O關(guān)于△OMN的“鄰近點”，若點Q的橫坐標(biāo)為1，則線段OQ長度的取值范圍是；
（2）已知點N的坐標(biāo)為（n，4），
①若n＝4，在圖2中畫出所有點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”組成的圖形；
②規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，當(dāng)﹣1＜n＜9時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”中有m個整點，請直接寫出m所有可能取值的和為．
2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（本大題共30分，每小題3分）
1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會徽的圖案設(shè)計中，設(shè)計者常常利用對稱性進行設(shè)計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上的一部分圖形，其中不是軸對稱圖形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故此選項正確；
故選：D．
【點評】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．
2．（3分）下列計算正確的是（）
A．a(chǎn)+2a2＝3a3B．a(chǎn)3?a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】利用合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項進行運算即可．
【解答】解：A、a與2a2不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；
B、a3?a2＝a5，故B不符合題意；
C、（a3）2＝a6，故C符合題意；
D、（﹣2a）2＝4a2，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于點D，則∠CDB等于（）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC，再利用角平分線的定義求出∠CBD，可得結(jié)論．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故選：C．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，則m的值為（）
A．6B．±6C．3D．±3
【分析】根據(jù)完全平方公式的形式，可得答案．
【解答】解：已知x2+2mx+9是完全平方式，
∴m＝3或m＝﹣3，
故選：D．
【點評】本題考查了完全平方公式，注意符合條件的答案有兩個，以防漏掉．
5．（3分）一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的周長為（）
A．13 cmB．17 cm
C．7 cm或13 cmD．不確定
【分析】題中沒有指出哪個底哪個是腰，故應(yīng)該分情況進行分析，注意應(yīng)用三角形三邊關(guān)系進行驗證能否組成三角形．
【解答】解：當(dāng)3cm是腰時，3+3＜7，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去；
當(dāng)7cm是腰時，周長＝7+7+3＝17cm．
故它的周長為17cm．
故選：B．
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的運用；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）設(shè)am＝16，an＝8，則am﹣n的值是（）
A．2B．8C．24D．128
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可．
【解答】解：am﹣n＝am÷an
＝16÷8
＝2，
故選A．
【點評】本題考查同底數(shù)冪的除法，掌握同底數(shù)冪的除法法則是求解本題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，已知直線PC是線段AB的垂直平分線，∠APC＝50°，則∠B＝（）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可．
【解答】解：∵直線PC是線段AB的垂直平分線，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故選：A．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
8．（3分）在下列各式中，能運用平方差公式計算的是（）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
【分析】運用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．
【解答】解：A．（a﹣b）（b﹣a）中兩項的符號都相反，故不能用平方差公式計算；
B．（a﹣1）（﹣a+1）中兩項的符號都相反，故不能用平方差公式計算；
C．（2a﹣b）（a+2b）中不存在相同和相反的項，故不能用平方差公式計算；
D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）符合平方差公式．
故選：D．
【點評】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖1，在邊長為a的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗證的等式為（）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】用代數(shù)式分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可．
【解答】解：圖1中，陰影部分的面積可以看作是兩個正方形的面積差，即a2﹣32＝a2﹣9，
圖2是長為a+3，寬為a﹣3的長方形，因此面積為（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故選：D．
【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．
10．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A，B是兩個格點，如果點C也是圖形中的格點，且△ABC為等腰三角形，所有符合條件的點C有（）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】先利用勾股定理求出線段的長，再結(jié)合等腰三角形的定義，在網(wǎng)格中畫出圖形即可．
【解答】解：如圖，點C1，C2，C3，C4，C5即為所求．
故選：C．
【點評】本題主要考查等腰三角形的定義及網(wǎng)格中利用勾股定理求線段的長，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出線段長，要求學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
二.填空題（本大題共16分，每小題2分）
11．（2分）若（a﹣2）0＝1，則a需要滿足的條件是 a≠2 ．
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：若（a﹣2）0＝1，則a需要滿足的條件是：a≠2．
故答案為：a≠2．
【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
12．（2分）一個等腰三角形，它的頂角的度數(shù)是一個底角的4倍，它的底角是 30 度．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，等腰三角形的兩個底角相等，所以設(shè)底角為x，則頂角就是4x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180度，即可列出方程求出x的值，即可得出這個等腰三角形的底角的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)等腰三角形的底角為x°，則頂角就是4x°，則：
x+x+4x＝180，
∴x＝30，
故答案為：30．
【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答此題應(yīng)明確三角形的內(nèi)角度數(shù)的和是180°，求出最大的角的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的分類判定類型．
13．（2分）已知xa＝7，xb＝3，則xa+b＝ 21 ．
【分析】根據(jù)逆用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可求解．
【解答】解：當(dāng)xa＝7，xb＝3時，
xa+b
＝xa?xb
＝7×3
＝21．
故答案為：21．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，在△ABC中，BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若BE＝3，CF＝4，則線段EF的長為 7 ．
【分析】根據(jù)BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可證BE＝ED，同理可證DF＝CF，即可證明BE+CF＝EF．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴EF＝BE+CF＝3+4＝7，
故答案為：7．
【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定．
15．（2分）求值：20222022×（）2021×（π﹣3.14）0＝ 2022 ．
【分析】直接利用積的乘方運算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：原式＝2022×[20222021×（）2021]×1
＝2022×1×1
＝2022．
故答案為：2022．
【點評】此題主要考查了積的乘方運算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
16．（2分）點M（a，5）與點N（﹣3，b）關(guān)于y軸對稱，則2a﹣b＝．．
【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出a，b的值，再利用有理數(shù)的乘方運算法則求出答案．
【解答】解：∵點M（a，5），點N（﹣3，b）關(guān)于y軸對稱，
∴a＝3，b＝5，
∴2a﹣b＝2×3﹣5＝1．
故答案為：1．
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．
17．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B關(guān)于CD對稱點是E，則∠ACE＝ 10 °．
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知∠B＝∠E，根據(jù)CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，得∠B，再求出∠DCE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，從而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B關(guān)于CD對稱點是E，
∴∠B＝∠E，∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40，∠B＝∠E＝40°，∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，
在△CDE中，
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDE＝90°，∠E＝40°，
∴∠DCE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°，
故答案為：10°．
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，關(guān)鍵是得到∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA．
18．（2分）若關(guān)于x的多項式2x+m與x+3相乘所得的多項式中不含x的一次項，則m＝ ﹣6 ．
【分析】根據(jù)多項式與多項式相乘的法則計算，再根據(jù)相乘所得的多項式中不含x的一次項，列出等式計算即可．
【解答】解：（2x+m）（x+3）
＝2x2+6x+mx+3m
＝2x2+（6+m）x+3m，
∵相乘所得的多項式中不含x的一次項，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣6，
故答案為：﹣6．
【點評】本題主要考查了多項式乘多項式，掌握多項式與多項式相乘的法則，要求多項式中不含有哪一項時，應(yīng)讓這一項的系數(shù)為0是解題關(guān)鍵．
三.解答題（本大題共54分，第19題16分，第20-21題每題4分，第22-23題每題5分，第24、25題每題6分，第26題8分）
19．（16分）計算．
（1）2x2（x2﹣3x﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式計算即可；
（2）根據(jù)多項式乘多項式計算即可；
（3）根據(jù)多項式除以單項式計算即可；
（4）根據(jù)完全平方公式和平方差公式計算即可．
【解答】解：（1）2x2（x2﹣3x﹣2）＝2x4﹣6x3﹣4x2；
（2）（x﹣2）（x﹣5）
＝x2﹣5x﹣2x+10
＝x2﹣7x+10；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）
＝[3a+（b﹣2）][3a﹣（b﹣2）]
＝9a2﹣（b﹣2）2
＝9a2﹣b2+4b﹣4．
【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的運算法則和運算順序．
20．（4分）如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，
求證：AB＝CD．
【分析】由“AAS”可證△ABC≌△DCB，可得AB＝CD．
【解答】證明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴AB＝CD．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21．（4分）先化簡，再求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2），其中x＝5．
【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式和單項式乘多項式，可以將題目中的式子展開，然后合并同類項即可化簡題目中的式子，最后將x的值代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2）
＝x2﹣4x+4﹣4x2+9+3x2+6x
＝2x+13，
當(dāng)x＝15時，原式＝2×15+13＝43．
【點評】本題考查整式的混合運算—化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的運算法則和運算順序．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面積是 4 ；
（2）已知△ABC與△A1B1C1關(guān)于y軸對稱，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于x軸對稱，請在坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y軸有一點P，使得△PA1B2周長最短，請畫出點P的位置（保留畫圖的痕跡）．
【分析】（1）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△ABC的面積；
（2）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，再描點得到△A1B1C1；然后利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，再描點得到△A2B2C2；
（3）由于A1B2為定值，則PA1+PB2的值最小時，△PA1B2周長最短，利用點A與點A1關(guān)于y軸對稱得到PA＝PA1，所以PA1+PB2＝PA+PB2＝AB2，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時PA1+PB2的值最?。?br>【解答】解：（1）△ABC的面積＝3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×1＝4；
故答案為：4；
（2）如圖，△A1B1C1和△A2B2C2為所作；
（3）如圖，點P為所作．
【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．也考查了最短路徑問題．
23．（5分）已知x2+y2＝34，x+y＝2，求xy和x﹣y的值．
【分析】先根據(jù)完全平方公式求出xy的值，再根據(jù)完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵x2+y2＝34，x+y＝2，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴34＝22﹣2xy，
∴xy＝﹣15，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝34﹣2×（﹣15）＝64，
∴x﹣y＝±8．
【點評】本題考查了完全平方公式，能靈活運用完全平方公式進行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
24．（6分）在等邊△ABC中，D為直線BC上一動點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連CE．
（1）如圖1，若點D在線段BC上，求證：BD＝CE；
（2）若AC＝7，CE＝3，直接寫出CD的長度．
【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），可得結(jié)論；
（2）分兩種情況畫出圖形，結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案．
【解答】（1）證明：如圖1中，∵△ABC，△ADE為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①D在邊BC上，如圖：
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AC＝7，
由（1）知BD＝CE＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
②D在B左側(cè)時，如圖：
同理可證△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC+BD＝7+3＝10，
綜上所述，CD的長為4或10．
【點評】本題考查等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)問題，涉及全等三角形的判定與旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是證明△ABD≌△ACE．
25．（6分）先閱讀下面材料，再解決問題：
已知x2+bx+c＝0．在求關(guān)于x的代數(shù)式的值時，可將x2+bx+c＝0變形為x2＝﹣bx﹣c．就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次代換法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代數(shù)式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
請用“降次代換法”，完成下列各小題：
（1）若x2+x﹣15＝0，則代數(shù)式（x+4）（x﹣3）的值為 3 ．
（2）若x2+5x+1＝0，則代數(shù)式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值為 ﹣8 ．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代數(shù)式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
【分析】（1）對代數(shù)式展開計算，再用“降次代換法”求值即可；
（2）對代數(shù)式展開合并計算，再用“降次代換法”求值即可；
（3）用“降次代換法”對式子進行逐一降次，再進行運算求值即可．
【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代數(shù)式（x+4）（x﹣3）的值為3．
故答案為：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代數(shù)式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值為﹣8．
故答案為：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值為9．
【點評】本題考查了因式分解的引用以及閱讀材料的能力，能正確把握閱讀材料信息并應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
26．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，延長BC至D，使DC＝BC，在AB的右側(cè)作線段AE，使AE＝AB，連接DE交AC于點P．
（1）如圖1，在線段PE上取點Q，使QE＝PD，連接AQ，求證：AP＝AQ；
（2）若∠BAE＝60°，依題意補全圖2，用等式表示線段PA，PD，PE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）證出AD＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADP＝∠E，證明△ADP≌△AEQ（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AP＝AQ；
（2）在DE是截取QE＝DP，連接AQ，由（1）可知△AEQ≌△ADP，得出AQ＝AP，∠EAQ＝∠DAP，證明△APQ是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出PA＝PQ，則可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DB，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADP＝∠E，
又∵QE＝PD，
∴△ADP≌△AEQ（SAS），
∴AP＝AQ；
（2）解：PE＝PA+PD．
理由如下：
在DE是截取QE＝DP，連接AQ，
由（1）可知△AEQ≌△ADP，
∴AQ＝AP，∠EAQ＝∠DAP，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAQ，
∵∠BAE＝∠BAQ+∠EAQ＝60°，
∴∠BAQ+∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴PA＝PQ，
∴PE＝PQ+EQ＝PA+PD．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADP≌△AEQ是解題的關(guān)鍵．
四、附加題（本題共20分，第27、28題每題3分，第29、30題每題4分，第31題6分）
27．（3分）20222﹣2023×2021＝ 1 ．
【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．
【解答】解：原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
28．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點E是AD上的一動點，以CE為邊向上作等邊△CEF，連接BF．則∠CBF＝ 30 °．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC且BD＝CD，進一步可得BE＝CE，所以∠EBC＝∠ECB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BE＝FE，所以∠EBF＝∠EFB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠CBF的度數(shù)．
【解答】解：連接BE，如圖所示：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC且BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∵點E是AD上的一動點，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵△CEF是等邊三角形，
∴EC＝EF，∠EFC＝∠ECF＝60°，
∴BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠ECB+∠EFB＝∠CBF，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFC＝180°，
∴2∠CBF+60°+60°＝180°，
∴∠CBF＝30°，
故答案為：30．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．（4分）定義一種新運算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），則x的值為 35 ．
【分析】設(shè)3m＝5，3n＝7，根據(jù)新運算定義用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值．
【解答】解：設(shè)3m＝5，3n＝7，
依題意（3，5）＝m，（3，7）＝n，
∴（3，5）+（3，7）＝m+n．
∴（3，x）＝m+n，
∴x＝3m+n
＝3m×3n
＝5×7
＝35．
故答案為：35．
【點評】本題考查了冪的乘方、積的乘方等知識點，理解并運用新運算的定義是解決本題的關(guān)鍵．
30．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為．
【分析】要使BF最大，則AF需要最小，而AF＝FD，從而通過圓與BC相切來解決問題．
【解答】解：方法一、∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
若要使BF最大，則AF需要最小，
∴以F為圓心，AF為半徑的圓與BC相切即可，
∴FD⊥BD，
∴AB＝AF+2AF＝4，
∴AF＝，
∴BF的最大值為4﹣＝，
方法二：過點F作FH⊥BC于H，連接DF，
設(shè)AF＝x，則BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，
∴FH＝BF＝2﹣x，
∴x≥2﹣x，
解得x≥，
∴AF最小值為，BF的最大值為4﹣＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所對直角邊是斜邊的一半以及圓與直線的位置關(guān)系，將BF的最大值轉(zhuǎn)化為AF最小是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題．
31．（6分）對于△ABC及其內(nèi)部任意一點P，給出如下定義：若點P滿足PA＜PB且PA＜PC，則稱點P為點A關(guān)于△ABC的“鄰近點”，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M坐標(biāo)為（4，0）．
（1）如圖1，點N在x軸上方，若△OMN為等邊三角形．
①在點Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，點O關(guān)于△OMN的“鄰近點”是 Q2 ；
②已知點Q是點O關(guān)于△OMN的“鄰近點”，若點Q的橫坐標(biāo)為1，則線段OQ長度的取值范圍是 1≤OQ＜2 ；
（2）已知點N的坐標(biāo)為（n，4），
①若n＝4，在圖2中畫出所有點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”組成的圖形；
②規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，當(dāng)﹣1＜n＜9時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”中有m個整點，請直接寫出m所有可能取值的和為 13 ．
【分析】（1）①利用勾股定理以及點P為點A關(guān)于△ABC的“鄰近點”的定義判斷即可；
②判斷出兩個特殊位置OQ的值，可得結(jié)論；
（2）①根據(jù)點P為點A關(guān)于△ABC的“鄰近點”，畫出圖形即可；
②分6種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)﹣1＜n≤1時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，不存在整數(shù)點．如圖3﹣2中，當(dāng)1＜n≤4時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在1個整數(shù)點．如圖3﹣3中，當(dāng)4＜n＜6時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在4個整數(shù)點．如圖3﹣4中，當(dāng)n＝6時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在3個整數(shù)點．如圖3﹣5中，當(dāng)6＜n≤8時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在4個整數(shù)點．如圖3﹣6中，當(dāng)8＜n＜9時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在5個整數(shù)點．由此可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵△OMN為等邊三角形，M（4，0），
∴N（2，2），
∵OQ2＝＝，OQ3＝＝2，
MQ2＝＝，MQ3＝＝2，
NQ2＝＝，NQ3＝2﹣2，
OQ2＜MQ2且OQ2＜NQ2，OQ3＝MQ3且OQ3＞NQ3，
點Q1在三角形的外面，不符合題意．
∴點O關(guān)于△OMN的“鄰近點”是Q2，
故答案為：Q2；
②當(dāng)點Q在OM邊上即x軸上時，Q（1，0），如圖1，
此時OQ＝1，MQ＝3，NQ＝，
當(dāng)點Q在ON邊上時，Q（1，），
此時，OQ＝2，MQ＝＝2，NQ＝2，
∴線段OQ長度的取值范圍是1≤OQ＜2，
故答案為：1≤OQ＜2；
（2）①當(dāng)n＝4時，N（4，4），
分別取OM、MN、ON的中點C、A、B，所有點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”組成的圖形為正方形ABCM（不包括邊）如圖2；
②如圖3﹣1中，當(dāng)﹣1＜n≤1時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，不存在整數(shù)點．
如圖3﹣2中，當(dāng)1＜n≤4時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在1個整數(shù)點．
如圖3﹣3中，當(dāng)4＜n＜6時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在4個整數(shù)點．
如圖3﹣4中，當(dāng)n＝6時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在4個整數(shù)點．
如圖3﹣5中，當(dāng)6＜n≤8時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在4個整數(shù)點．
如圖3﹣6中，當(dāng)8＜n＜9時，點M關(guān)于△OMN的“鄰近點”的圖形是圖紙陰影部分，存在5個整數(shù)點．
綜上所述，m的值為1或4或5，
∴m所有可能取值的和為1+4+5＝10．
故答案為：10．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，點P為點A關(guān)于△ABC的“鄰近點”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．
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