1．（3分）“致中和，天地位焉，萬(wàn)物育焉．”對(duì)稱美是我國(guó)古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫(huà)、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，使對(duì)稱之美驚艷了千年的時(shí)光．在下列與揚(yáng)州有關(guān)的標(biāo)識(shí)或簡(jiǎn)圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如圖，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，則AD的長(zhǎng)是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
3．（3分）計(jì)算x5÷x2的結(jié)果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2?2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a(chǎn)2+a3＝a5
5．（3分）在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與3cm，8cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝70°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∠ACD＝150°，則∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
7．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．若△ABD的周長(zhǎng)為13，BE＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為（ ）
A．14B．18C．23D．28
8．（3分）如圖，A、B是兩個(gè)居民小區(qū)，快遞公司準(zhǔn)備在公路l上選取點(diǎn)P處建一個(gè)服務(wù)中心，使PA+PB最短．下面四種選址方案符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，在長(zhǎng)為3a+2，寬為2b﹣1的長(zhǎng)方形鐵片上，挖去長(zhǎng)為2a+4，寬為b的小長(zhǎng)方形鐵片，則剩余部分面積是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
10．（3分）如圖1，△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，把△ABC紙片沿AD對(duì)折得到△ADC，如圖2，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點(diǎn)A落在△ADC的外部，如圖3所示．設(shè)∠1﹣∠2＝α，則下列等式成立的是（ ）
A．∠BAC＝αB．2∠BAC＝αC．∠BAC＝2αD．3∠BAC＝2α
二、填空題：本大題共8小題，共24分.
11．（3分）計(jì)算：x（x﹣3）＝ ．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，則∠A＝ ．
13．（3分）已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則這個(gè)正多邊形是 邊形．
14．（3分）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是 ．
15．（3分）如圖，BE與CD交于點(diǎn)A，且∠B＝∠E．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得△ABC≌△AED，這個(gè)條件是： （寫出一個(gè)即可）．
16．（3分）由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開(kāi)即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是 cm．
17．（3分）若表示一種新的運(yùn)算，其運(yùn)算法則為＝a2+bc﹣d，則的結(jié)果為 ．
18．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，且與BE交于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，且與CD交于點(diǎn)G．則下面的結(jié)論：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：（本大題共8小題，共46分.第19、20、22、23題，每題5分；第21、24題，每題6分；第25、26題，每題7分）
19．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
20．（5分）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
21．（6分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：∠O（如圖1），求作：一個(gè)角，使它等于∠O．
作法：如圖2：
①在∠O的兩邊上分別任取一點(diǎn)A，B；
②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫(huà)??；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑畫(huà)??；兩弧交于點(diǎn)C；
③連接AC，BC．
所以∠C即為所求作的角．
請(qǐng)根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下列證明．
證明：連接AB，
∵OA＝AC，OB＝ ， ，
∴△OAB≌△CAB （ ）（填推理依據(jù)）．
∴∠C＝∠O．
22．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．
23．（5分）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．
（1）作關(guān)于△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△DEF，（其中A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)分別是D、E、F），并寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）P為x軸上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出使△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
24．（6分）【知識(shí)回顧】
我們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值．
通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)．因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．
具體解題過(guò)程是：原式＝（a+3）x﹣6y+5，
∵代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，
∴a+3＝0，解得a＝﹣3．
【理解應(yīng)用】
（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式m（2x﹣3）+2m2﹣4x的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m），B＝﹣x2+mx﹣1，且A+2B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m的值；
【能力提升】
（3）7張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長(zhǎng)方形．設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
25．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，連結(jié)AE，BE，CE，其中AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）試判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由．
26．（7分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B在第一象限，△OAB為等邊三角形．
（1）直接寫出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；
（2）如圖2，OC⊥AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 ；連接AD交OB于E，則OE的長(zhǎng)為 ．
（3）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為邊作等邊△PAQ，當(dāng)OQ最短時(shí)，求Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（請(qǐng)先在答題紙的備用圖中畫(huà)出示意圖，再進(jìn)行求解）
2021-2022學(xué)年北京市101中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，共30分.
1．（3分）“致中和，天地位焉，萬(wàn)物育焉．”對(duì)稱美是我國(guó)古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫(huà)、標(biāo)識(shí)等作品的設(shè)計(jì)上，使對(duì)稱之美驚艷了千年的時(shí)光．在下列與揚(yáng)州有關(guān)的標(biāo)識(shí)或簡(jiǎn)圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）如圖，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，則AD的長(zhǎng)是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．
3．（3分）計(jì)算x5÷x2的結(jié)果是（ ）
A．x10B．x7C．x3D．x2
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減，可得答案．
【解答】解：原式＝x5﹣2＝x3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計(jì)算是解題關(guān)鍵．
4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2?2a3＝6a6
C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+aD．a(chǎn)2+a3＝a5
【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝﹣a6，符合題意；
B、原式＝6a5，不符合題意；
C、原式＝a2﹣a，不符合題意；
D、原式不能合并，不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
5．（3分）在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與3cm，8cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．12cm
【分析】首先設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得8﹣3＜x＜8+3，計(jì)算出x的取值范圍，然后可確定答案．
【解答】解：設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C選項(xiàng)7cm符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條線段就能夠組成三角形．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝70°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∠ACD＝150°，則∠A是（ ）
A．70°B．80°C．30°D．100°
【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠A＝∠ACD﹣∠B，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝150°﹣70°＝80°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，能熟記三角形的外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
7．（3分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．若△ABD的周長(zhǎng)為13，BE＝5，則△ABC的周長(zhǎng)為（ ）
A．14B．18C．23D．28
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AC，再求出BC＝2BC解答即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵BE＝5，
∴BC＝10，
∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13，
∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC＝13+10＝23，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
8．（3分）如圖，A、B是兩個(gè)居民小區(qū)，快遞公司準(zhǔn)備在公路l上選取點(diǎn)P處建一個(gè)服務(wù)中心，使PA+PB最短．下面四種選址方案符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得，在公路l上選取點(diǎn)P，使PA+PB最短．
則選項(xiàng)A 符合要求，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，最短路線問(wèn)題數(shù)學(xué)模式的運(yùn)用，綜合考查了學(xué)生的作圖能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
9．（3分）如圖，在長(zhǎng)為3a+2，寬為2b﹣1的長(zhǎng)方形鐵片上，挖去長(zhǎng)為2a+4，寬為b的小長(zhǎng)方形鐵片，則剩余部分面積是（ ）
A．6ab﹣3a+4bB．4ab﹣3a﹣2
C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的面積分別表示大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方形的面積，再進(jìn)行相減即可．
【解答】解：剩余部分面積：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，掌握這兩個(gè)運(yùn)算法則，去括號(hào)時(shí)注意符號(hào)的變化是解題關(guān)鍵．
10．（3分）如圖1，△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，把△ABC紙片沿AD對(duì)折得到△ADC，如圖2，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點(diǎn)A落在△ADC的外部，如圖3所示．設(shè)∠1﹣∠2＝α，則下列等式成立的是（ ）
A．∠BAC＝αB．2∠BAC＝αC．∠BAC＝2αD．3∠BAC＝2α
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°，如圖3，在四邊形MCDE中，∠1+∠C+∠D+∠CME＝360°，可得出∠1﹣∠2＝2∠A，則可得出答案．
【解答】解：如圖1，
∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
如圖3，AC與A'E交于點(diǎn)M，
∵把△ADC紙片沿EF折疊，
∴∠A＝∠A'，
在四邊形MCDE中，∠1+∠C+∠D+∠CME＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠D﹣∠CME＝270°﹣∠CME﹣∠C，
∵∠CME＝∠A′MF，
∴∠1＝270°﹣∠A'MF﹣∠C，
∴∠1＝270°﹣（180°﹣∠2﹣∠A'）﹣（90°﹣∠A），
∴∠1﹣∠2＝2∠A，
由圖1可知2∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝α．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共8小題，共24分.
11．（3分）計(jì)算：x（x﹣3）＝ x2﹣3x ．
【分析】直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣3x．
故答案為：x2﹣3x．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
12．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，則∠A＝ 60° ．
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程組，解方程組得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
則∠A+∠B＝90°，
由題意得，
解得：∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案為：60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則這個(gè)正多邊形是 六 邊形．
【分析】多邊形的外角和等于360°，因?yàn)樗o多邊形的每個(gè)外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．
【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，
則60°?n＝360°，
解得n＝6．
故正多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：六．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．
14．（3分）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是 10或11 ．
【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．
【解答】解：①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，
∵此時(shí)能組成三角形，
∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；
②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，
此時(shí)能組成三角形，
所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．
綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．
故答案為：10或11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．
15．（3分）如圖，BE與CD交于點(diǎn)A，且∠B＝∠E．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得△ABC≌△AED，這個(gè)條件是： AC＝AD（答案不唯一） （寫出一個(gè)即可）．
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法填空．
【解答】解：已知∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD（對(duì)頂角相等），則添加一組對(duì)應(yīng)邊相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必須是一組對(duì)應(yīng)邊，如：AC＝AD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故答案為：AC＝AD（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
16．（3分）由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開(kāi)即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是 18 cm．
【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故答案為：18
【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形的等邊三角形進(jìn)行分析．
17．（3分）若表示一種新的運(yùn)算，其運(yùn)算法則為＝a2+bc﹣d，則的結(jié)果為 m2+m2n3 ．
【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則進(jìn)行列式，然后先算乘方，再算乘法，最后算加減．
【解答】解：原式＝（﹣2m）2+n2?m2n﹣3m2
＝4m2+m2n3﹣3m2
＝m2+m2n3，
故答案為：m2+m2n3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握冪的乘方（am）n＝amn，積的乘方（ab）n＝anbn運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，且與BE交于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，且與CD交于點(diǎn)G．則下面的結(jié)論：①BE＝CE；②AD＝CG；③CH＝2BD；④CE＝AE+BH．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④ ．
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得①是正確的，利用△ABE≌△HCE可判定③④的正確；利用△ABE≌△HCE可得CH＝AB，根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AB＝2AD，顯然CH≠2CG，由此可得②不正確．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∴①正確；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠DCA+∠A＝90°，∠ABE+∠A＝90°．
∴∠DCA＝∠ABE．
在△ABE和△HCE中，
，
∴△ABE≌△HCE（ASA）．
∴AB＝CH，AE＝EH．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（ASA）．
∴AD＝BD，
∴AB＝2BD，
∴CH＝2BD．
∴③正確；
∵BE＝BH+EH，
∴BE＝BH+AE．
∴EC＝AE+BH．
∴④正確；
∵EF⊥BC，BE＝EC，
∴EF是∠BEC的平分線，
∵EH＜EC，
∴G不是CH的中點(diǎn)，
即CH≠2CG，
∵CH＝2BD，
∴BD≠CG．
∴②不正確．
綜上，正確的結(jié)論為：①③④．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形是性質(zhì)，角平分線的定義，證明△ABE≌△HCE是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共8小題，共46分.第19、20、22、23題，每題5分；第21、24題，每題6分；第25、26題，每題7分）
19．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+3）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝2．
【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入求出答案．
【解答】解：原式＝x2+3x﹣2x﹣6+4x﹣x2
＝5x﹣6，
當(dāng)x＝2時(shí)，
原式＝5×2﹣6
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用整式乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求證：∠C＝∠D．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB與△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C＝∠D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：∠O（如圖1），求作：一個(gè)角，使它等于∠O．
作法：如圖2：
①在∠O的兩邊上分別任取一點(diǎn)A，B；
②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫(huà)?。灰渣c(diǎn)B為圓心，OB為半徑畫(huà)?。粌苫〗挥邳c(diǎn)C；
③連接AC，BC．
所以∠C即為所求作的角．
請(qǐng)根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下列證明．
證明：連接AB，
∵OA＝AC，OB＝ BC ， AB＝AB ，
∴△OAB≌△CAB （ SSS ）（填推理依據(jù)）．
∴∠C＝∠O．
【分析】（1）利用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可完成證明．
【解答】解：（1）如圖2，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）證明：連接AB，
∵OA＝AC，OB＝BC，AB＝AB，
∴△OAB≌△CAB （SSS）．
∴∠C＝∠O．
故答案為：BC，AB＝AB，邊邊邊．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
22．（5分）如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAE＝144°，求∠ADB與∠ACD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)角平分線的定義，由AD平分∠CAE，得∠EAD＝＝72°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠EAD＝∠B+∠ADB，故∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝42°．根據(jù)平角的定義，得∠CAE＝144°，那么∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【解答】解：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝＝＝72°．
∵∠EAD＝∠B+∠ADB，
∴∠ADB＝∠EAD﹣∠B＝72°﹣30°＝42°．
∵∠CAE＝144°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAE＝36°．
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+36°＝66°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
23．（5分）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．
（1）作關(guān)于△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△DEF，（其中A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)分別是D、E、F），并寫出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）P為x軸上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出使△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得；
（2）由AB是定值知△PAB的周長(zhǎng)最小即PA+PB最小，據(jù)此連接BD，與x軸的交點(diǎn)即為所求．
【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求，其中點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．
（2）如圖所示，點(diǎn)P即為所求，其坐標(biāo)為（2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要作圖﹣軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置及軸對(duì)稱變換的性質(zhì)．
24．（6分）【知識(shí)回顧】
我們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值．
通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)．因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．
具體解題過(guò)程是：原式＝（a+3）x﹣6y+5，
∵代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，
∴a+3＝0，解得a＝﹣3．
【理解應(yīng)用】
（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式m（2x﹣3）+2m2﹣4x的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m），B＝﹣x2+mx﹣1，且A+2B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m的值；
【能力提升】
（3）7張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長(zhǎng)方形．設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．
【分析】（1）由題可知代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，故將多項(xiàng)式整理為（2m﹣4）x+2m2﹣3m，令x系數(shù)為0，即可求出m；
（2）根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和法則化簡(jiǎn)A+2B可得（5m﹣4）x﹣4，根據(jù)其值與x無(wú)關(guān)得出5m﹣4＝0，即可得出答案；
（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)取值與x可得a＝2b．
【解答】解：（1）m（2x﹣3）+2m2﹣4x
＝2mx﹣3m+2m2﹣4x
＝（2m﹣4）x+2m2﹣3m，
∵其值與x的取值無(wú)關(guān)，
∴2m﹣4＝0，
解得，m＝2；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣2）﹣x（1﹣3m）＝2x2﹣3x﹣2﹣x+3mx＝2x2+（3m﹣4）x﹣2，B＝﹣x2+mx﹣1，
∴A+2B＝2x2+（3m﹣4）x﹣2+2（﹣x2+mx﹣1）
＝2x2+（3m﹣4）x﹣2﹣2x2+2mx﹣2
＝（5m﹣4）x﹣4，
∵A+2B的值與x無(wú)關(guān)，
∴5m﹣4＝0，即m＝；
（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變．
∴S1﹣S2取值與x無(wú)關(guān)，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和法則及由題意得出關(guān)于y的方程是解題的關(guān)鍵．
25．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，連結(jié)AE，BE，CE，其中AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）試判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得∠ABD+∠BAD＝90°，根據(jù)角平分線的定義得∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）延長(zhǎng)AE交BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AF⊥BC，BF＝CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE＝CE，可得∠EBC＝∠ECB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，則∠ABE＝∠ACE，可得∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠AEC＝135°，根據(jù)周角的定義可得∠BEC＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AE，BE分別平分∠BAD，∠ABD．
∴∠ABE+∠BAE＝（∠ABD+∠BAD）＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝135°；
（2）△BEC是等腰直角三角形，理由如下：
延長(zhǎng)AE交BC于F，
∵AB＝AC，AE平分∠BAD，
∴AF⊥BC，BF＝CF，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴∠ACE+∠CAE＝∠ABE+∠BAE＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣（∠ACE+∠CAE）＝135°，
∴∠BEC＝360°﹣∠AEB﹣∠AEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B在第一象限，△OAB為等邊三角形．
（1）直接寫出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；
（2）如圖2，OC⊥AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 ﹣6 ；連接AD交OB于E，則OE的長(zhǎng)為 2 ．
（3）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為邊作等邊△PAQ，當(dāng)OQ最短時(shí)，求Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（請(qǐng)先在答題紙的備用圖中畫(huà)出示意圖，再進(jìn)行求解）
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AH＝OH＝4，即可求解；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AC＝CH，由等腰三角形的性質(zhì)可得AG＝GH＝2，可求OG＝6，可得點(diǎn)C縱坐標(biāo)，即可求點(diǎn)D縱坐標(biāo)，由“AAS”可證△AEO≌△DEN，可得OE＝EN＝ON＝2；
（3）由“SAS”可證△AOP≌△ABQ，可得∠AOB＝∠ABQ＝90°，即點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)B且垂直AB的直線BM上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OQ'⊥BM時(shí)，OQ'有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求OQ'＝4，Q'K＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），
∴OA＝8，
∵△OAB為等邊三角形，BH⊥AO，
∴AO＝BO＝AB＝8，AH＝OH＝4，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AO于G，連接CH，連接CD交BO于N，
∵OC⊥AB，△OAB是等邊三角形，
∴AC＝BC，
∵BH⊥AO，
∴CH＝AC＝BC＝4，
又∵CG⊥AH，
∴AG＝GH＝2，
∴OG＝6，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，
∵點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)﹣6，CD⊥x軸，
∴CD＝12，CD∥AO，
∴∠D＝∠OAE，∠BCN＝∠BAO＝60°，∠BNC＝∠AOB＝60°，
∴△CNB是等邊三角形，
∴CN＝BC＝4＝BN＝ON，
∴ND＝8＝AO，
又∵∠AEO＝∠DEN，
∴△AEO≌△DEN（AAS），
∴OE＝EN＝ON＝2，
故答案為：﹣6，2；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在AP的右側(cè)時(shí)，連接BQ，延長(zhǎng)QB交x軸于M，
∵△PAQ是等邊三角形，
∴PA＝AQ，∠PAQ＝∠BAO＝60°，
∴∠PAO＝∠QAB，
又∵AO＝AB，
∴△AOP≌△ABQ（SAS），
∴∠AOB＝∠ABQ＝90°，
∴點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)B且垂直AB的直線BM上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)OQ'⊥BM時(shí)，OQ'有最小值，
過(guò)點(diǎn)Q'作Q'K⊥OM于K，
∵∠OBQ'＝180°﹣90°﹣60°＝30°，OQ'⊥BM，
∴OQ'＝OB＝4，∠BOQ'＝60°，
∴∠MOQ'＝30°，
∵Q'K⊥OM，
∴Q'K＝OQ'＝2，
∴Q'的縱坐標(biāo)為﹣2，
則當(dāng)OQ最短時(shí)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2．
當(dāng)點(diǎn)Q''在AP的左側(cè)時(shí)，同理可求Q''點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2．
綜上所述：當(dāng)OQ最短時(shí)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:47:49；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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