1．（2分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．趙爽弦圖B．費(fèi)馬螺線
C．科克曲線D．斐波那契螺旋線
2．（2分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a2＝a5B．a(chǎn)3?a2＝a5C．（a2）3＝a5D．a(chǎn)8÷a2＝a4
3．（2分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD等于（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
4．（2分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
5．（2分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（ ）
A．△ABC的三條中線的交點(diǎn)
B．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)
C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)
D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)
6．（2分）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫出的一個(gè)正確的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7．（2分）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B＝65°，則∠BDF等于（ ）
A．65°B．50°C．60°D．57.5°
8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：
①AD是∠BAC的平分線；
②∠ADC＝60°；
③點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正確的有（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）計(jì)算：28x4y2÷7x3y＝ ．
10．（2分）隨著人們物質(zhì)生活的提高，手機(jī)成為一種生活中不可缺少的東西，手機(jī)很方便攜帶，但唯一的缺點(diǎn)就是沒(méi)有固定的支點(diǎn)．為了解決這一問(wèn)題，某工廠研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機(jī)支架．把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的 ．
11．（2分）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度 ．
12．（2分）已知點(diǎn)P（3，﹣1），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
13．（2分）若等腰三角形的頂角為30°，腰長(zhǎng)為6，則此等腰三角形的面積為 ．
14．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，
∠DAC＝16°，則∠DGB＝ ．
15．（2分）如圖，是某課題學(xué)習(xí)小組對(duì)地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析．在討論中得到了∠B＝∠C＝60°，F(xiàn)、H都在線段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正確結(jié)論．接著，小聰又提出了如下結(jié)論線路B→A→C與線路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．請(qǐng)判斷小聰提出的結(jié)論正確嗎？ （填“正確”或“錯(cuò)誤”）．
16．（2分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．
三、解答題（本題共有68分，第17—22題每題5分，第23—26題每題6分，第27—28題每題7分）
17．計(jì)算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．
18．計(jì)算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．
19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．
20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．
21．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
22．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度數(shù)．
23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
24．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P為BC上一點(diǎn)（不與B，C重合）．在AB上找一點(diǎn)M，在AC上找一點(diǎn)N，使得△AMN與△PMN全等，以下是甲，乙兩位同學(xué)的作法．
甲：連接AP，作線投AP的垂直平分線，分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)即為所求；
乙：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，交AC于點(diǎn)N，則M，N兩點(diǎn)即為所求．
（1）對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是 ；
A．兩人都正確
B．甲正確，乙錯(cuò)誤
C．甲錯(cuò)誤，乙正確
（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，補(bǔ)全圖形并證明．
25．如圖，在等邊三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．
求證：（1）△ABE≌△CAD；
（2）BP＝2PQ．
26．閱讀理解：
①32+42＞2×3×4
②32+32＝2×3×3；
③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；
④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）
（1）觀察以上各式，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)用含有a、b的式子表示上述規(guī)律；
（2）運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．
27．在等邊三角形ABC外側(cè)作射線AP，∠BAP＝α，點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交AP于點(diǎn)E．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求∠AEC的度數(shù)；
（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，用等式表示線段AE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝…＝PMn，那么稱點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PM1，PM2，PM3，…，PMn，為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)．
①點(diǎn)B，C △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PA，PB △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)M1，M2分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí)，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）如圖2，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC＝1，求線段DC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．若BC＝a，直接寫出PC＝ ．（用含a的式子表示）
2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)分校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）
1．（2分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．趙爽弦圖B．費(fèi)馬螺線
C．科克曲線D．斐波那契螺旋線
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（2分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a2＝a5B．a(chǎn)3?a2＝a5C．（a2）3＝a5D．a(chǎn)8÷a2＝a4
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，逐一進(jìn)行計(jì)算即可判斷．
【解答】解：A．因?yàn)閍3+a2≠a5，故A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B．因?yàn)閍3?a2＝a5，故B選項(xiàng)計(jì)算正確；
C．因?yàn)椋╝2）3＝a6，故C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
D．因?yàn)閍8÷a2＝a6，故D選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)，解決本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方法則．
3．（2分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD等于（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，根據(jù)角平分線定義求出即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和三角形外角性質(zhì)，能熟記三角形外角性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
4．（2分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（ ）
A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）
【分析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．
【解答】解：作圖的步驟：
①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、C；
②任意作一點(diǎn)O′，作射線O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′B′于點(diǎn)C′；
③以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)D′；
④過(guò)點(diǎn)D′作射線O′A′．
所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；
作圖完畢．
在△OCD與△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（ ）
A．△ABC的三條中線的交點(diǎn)
B．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)
C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)
D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)
【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．由此即可確定涼亭位置．
【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角的平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．主要利用了到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
6．（2分）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫出的一個(gè)正確的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根據(jù)面積相等，列出關(guān)系式即可．
【解答】解：由題意這兩個(gè)圖形的面積相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平方差公式的知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形是解此題的關(guān)鍵．
7．（2分）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B＝65°，則∠BDF等于（ ）
A．65°B．50°C．60°D．57.5°
【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)可得AD＝DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來(lái)，
∴AD＝DF，
∵D是AB邊的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：
①AD是∠BAC的平分線；
②∠ADC＝60°；
③點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正確的有（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④
【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及各內(nèi)角度數(shù)和三角形面積求法分別得出即可．
【解答】解：根據(jù)作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝60°，故②正確；
∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∵AD＝DB，
∴CD＝DB，
∴CD＝CB，
S△ACD＝CD?AC，S△ACB＝CB?AC，
∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DAB＝30°是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）計(jì)算：28x4y2÷7x3y＝ 4xy ．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．
【解答】解：28x4y2÷7x3y＝4xy，
故答案為：4xy．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的除法，用到的知識(shí)點(diǎn)是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，在計(jì)算時(shí)要注意系數(shù)和指數(shù)的變化．
10．（2分）隨著人們物質(zhì)生活的提高，手機(jī)成為一種生活中不可缺少的東西，手機(jī)很方便攜帶，但唯一的缺點(diǎn)就是沒(méi)有固定的支點(diǎn)．為了解決這一問(wèn)題，某工廠研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機(jī)支架．把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的 三角形的穩(wěn)定性 ．
【分析】利用三角形的穩(wěn)定性的性質(zhì)直接回答即可．
【解答】解：把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的穩(wěn)定性，
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是掌握三角形具有穩(wěn)定性．
11．（2分）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度 16米 ．
【分析】由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相鄰兩平行線間的距離相等，
∴PD＝PB，
在△ABP與△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16（米），
故答案為：16米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．
12．（2分）已知點(diǎn)P（3，﹣1），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等的特征解決問(wèn)題即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（3，﹣1），
∴點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1），
故答案為：（﹣3，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．
13．（2分）若等腰三角形的頂角為30°，腰長(zhǎng)為6，則此等腰三角形的面積為 9 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得BD＝3，然后利用三角形面積公式解答即可．
【解答】解：如圖所示，過(guò)B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴S△ABC＝AC×BD＝×6×3＝9，
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
14．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，
∠DAC＝16°，則∠DGB＝ 66° ．
【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACB＝∠E，再求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠E＝105°，
∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，
在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，
即25°+∠DGB＝16°+75°，
解得∠DGB＝66°．
故答案為：66°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，是某課題學(xué)習(xí)小組對(duì)地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析．在討論中得到了∠B＝∠C＝60°，F(xiàn)、H都在線段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正確結(jié)論．接著，小聰又提出了如下結(jié)論線路B→A→C與線路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．請(qǐng)判斷小聰提出的結(jié)論正確嗎？ 正確 （填“正確”或“錯(cuò)誤”）．
【分析】由∠B＝∠C＝60°，即可推出△ABC為等邊三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可推出△BEF、△FGH、△HPC均為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可推出線路B→A→C與線路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．
【解答】解：正確，
理由：∵∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°
∴△ABC是等邊三角形，
又∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C＝60°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等邊三角形．
同理可證△FGH、△HPC是等邊三角形；
∵△BEF、△FGH、△HPC都是等邊三角形，
∴BE+EF＝2BF，F(xiàn)G+GH＝2FH，HP+PC＝2HC，
∴BE+EF+FG+GH+HP+PC＝2（BF+FH+HC）＝2BC，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB+AC＝2BC，
∴AB+AC＝BE+EF+FG+GH+HP+PC，
線路B→A→C與線路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．
故答案為：正確．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 3或 厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．
【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，
此時(shí)，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷＝3厘米/秒；
②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，
此時(shí)，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6÷＝厘米/秒；
故答案為：3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．
三、解答題（本題共有68分，第17—22題每題5分，第23—26題每題6分，第27—28題每題7分）
17．計(jì)算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，再去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可得．
【解答】解：原式＝x2﹣5x﹣2x+10﹣x2+3x
＝﹣4x+10，
故答案為：﹣4x+10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
18．計(jì)算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．
【分析】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
【解答】原式＝（8a3﹣4a2b+5a2）÷4a2
＝8a3÷4a2﹣4a2b÷4a2+5a2÷4a2
＝2a﹣b+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加．
19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．
【分析】原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣6x+9）
＝a（x﹣3）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．
【分析】原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a2（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣1）
＝（x﹣y）（a+1）（a﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
21．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．
【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】（1）證明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC與△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．
22．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度數(shù)．
【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAE＝40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE＝70°，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得∠EDC的度數(shù)．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝70°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．
23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
【分析】首先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后再合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1．
∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．
24．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P為BC上一點(diǎn)（不與B，C重合）．在AB上找一點(diǎn)M，在AC上找一點(diǎn)N，使得△AMN與△PMN全等，以下是甲，乙兩位同學(xué)的作法．
甲：連接AP，作線投AP的垂直平分線，分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)即為所求；
乙：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，交AC于點(diǎn)N，則M，N兩點(diǎn)即為所求．
（1）對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是 A ；
A．兩人都正確
B．甲正確，乙錯(cuò)誤
C．甲錯(cuò)誤，乙正確
（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，補(bǔ)全圖形并證明．
【分析】（1）結(jié)論兩人都是正確的．
（2）根據(jù)全等三角形的判定分別證明即可．
【解答】解：（1）兩人都正確，
故選A．
（2）甲：如圖1中，
∵M(jìn)N垂直平分線段PA，
∴MA＝MP，NA＝NP，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PMN（SSS）．
乙：如圖2中，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四邊形AMPN是平行四邊形，
∴AM＝PN，PM＝AN，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PNM（SSS）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
25．如圖，在等邊三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．
求證：（1）△ABE≌△CAD；
（2）BP＝2PQ．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）先由全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，再由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE與△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）由（1）知，△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2CQ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
26．閱讀理解：
①32+42＞2×3×4
②32+32＝2×3×3；
③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；
④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）
（1）觀察以上各式，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)用含有a、b的式子表示上述規(guī)律；
（2）運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．
【分析】（1）觀察各式，即可得出規(guī)律：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a2+b2≥2ab；
（2）根據(jù)完全平方的計(jì)算結(jié)果是非負(fù)數(shù)證明即可；
（3）根據(jù)規(guī)律可得ab≤（a+b）2．
【解答】解：（1）規(guī)律是：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a2+b2≥2ab；
（2）∵（a﹣b）2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）∵a2+b2≥2ab，
∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，
（a+b）2≥4ab，
ab≤（a+b）2＝×16＝4．
故ab的最大值是4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較以及數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)閱讀題目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律實(shí)質(zhì)上是完全平方公式的變形：因?yàn)椋╝﹣b）2≥0，所以a2+b2≥2ab．
27．在等邊三角形ABC外側(cè)作射線AP，∠BAP＝α，點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交AP于點(diǎn)E．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求∠AEC的度數(shù)；
（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，用等式表示線段AE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADC的度數(shù)，由外角性質(zhì)可求解；
（3）由“AAS”可證△BCG≌△DAE，可得AE＝CG，即可求解．
【解答】（1）解：如圖，補(bǔ)全圖形：
（2）解：如圖，連接AD，
由對(duì)稱可知，∠BAE＝∠DAE＝α，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠ADC＝＝60°﹣α，
∠AEC＝60°，
∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，
∴∠BCE＝α，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝∠BEC；
（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，CD＝2DE+AE，理由如下：
如圖，在CD上截取BG＝BE，
∵∠BEC＝60°，
∴△BGE是等邊三角形，
∴∠BGC＝∠AED＝120°，
∵∠BCE＝∠DAE＝α，
∴△BCG≌△DAE（AAS），
∴AE＝CG，
∵EG＝BE＝DE，
∴CD＝2DE+CG，
即CD＝2DE+AE．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
28．對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝…＝PMn，那么稱點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PM1，PM2，PM3，…，PMn，為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)．
①點(diǎn)B，C 是 △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PA，PB 不是 △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)M1，M2分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí)，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）如圖2，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC＝1，求線段DC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．若BC＝a，直接寫出PC＝ a或a ．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的三線合一、等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
②根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出線段PM1，PM2；
（2）分點(diǎn)D在AC邊上、點(diǎn)D′在BC邊上兩種情況，根據(jù)△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)的定義計(jì)算；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)的定義計(jì)算．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴PB＝PC，
∴點(diǎn)B，C是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，
當(dāng)∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，PA＝PB＝PC，
∵∠A＜90°，
∴PA≠PB，
∴線段PA，PB不是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段，
故答案為：是；不是；
②如圖1所示，線段PM1，PM2即為所求；
（2）顯然，點(diǎn)D不可能在AB邊上，
當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，如圖2所示，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∵點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，
∴PC＝PD，
∴△PCD是等邊三角形，
∴CD＝PC＝1；
當(dāng)點(diǎn)D′在BC邊上時(shí)，∵點(diǎn)C，D′是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，
∴PC＝PD′＝1，
∴CD′＝2，
∴綜上所述，DC＝1或2；
（3）作PE⊥AB于E，
∵∠B＝30°，
∴PE＝PB，
當(dāng)PC＝PE時(shí)，PC＝PB，
∴PC＝BC＝a，
此時(shí)，點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，PC＝PE＝PD，
當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，PC＝PB，在AB上有且只有一點(diǎn)F，使PC＝PB＝PF，此時(shí)，PC＝BC＝a，
綜上所述，點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C，BC＝a，PC＝a或a，
故答案為：a或a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)和△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段的定義、角平分線的性質(zhì)，正確理解△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)和△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段的定義是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:50:01；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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