1．（2分）下列體育運動圖案中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如圖所示，△ABC中AC邊上的高線是（ ）
A．線段HAB．線段BHC．線段BCD．線段BA
3．（2分）下列運算結(jié)果為a6的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2B．a(chǎn)9﹣a3C．（a2）3D．a(chǎn)18÷a3
4．（2分）計算：3x（2x﹣5）的結(jié)果為（ ）
A．6x2﹣15xB．6x2+5C．6x2+15xD．6x2﹣5x
5．（2分）已知xm＝2，xn＝3，則xm+n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．9
6．（2分）若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
7．（2分）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠2＞∠BC．∠1＝∠C+∠BD．∠C＝∠D
8．（2分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
9．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAB＝40°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．70°
10．（2分）如圖，經(jīng)過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．
（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
二、填空題（本題共30分，每小題3分）
11．（3分）計算（π﹣3）0＝ ．
12．（3分）計算：（﹣）2021×1.52022＝ ．
13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（3，b）和點B（a，2）關(guān)于y軸對稱，則ab的值是 ．
14．（3分）如圖中x的值為 ．
15．（3分）如圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，得到四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖（2）所示拼成一個大正方形，則中間空白部分的面積是 ．（用含a，b的式子表示）
16．（3分）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，則∠B的度數(shù)為 ．
17．（3分）學(xué)了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個題目：“已知：如圖，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求證：△ABD≌△ABC．”
老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個已知條件是： ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點．若BD平分∠ABC，則∠A＝ °．
19．（3分）如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC＝6，則PD＝ ．
20．（3分）在等邊△ABC中，M、N、P分別是邊AB、BC、CA上的點（不與端點重合），對于任意等邊△ABC，下面四個結(jié)論中：
①存在無數(shù)個△MNP是等腰三角形；
②存在無數(shù)個△MNP是等邊三角形；
③存在無數(shù)個△MNP是等腰直角三角形；
④存在一個△MNP在所有△MNP中面積最?。?br>所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題（本題共30分，第21題每小題12分，第22、23每題4分，24、25題每題5分）
21．（12分）計算：
（1）5xy2?（﹣xy2）3．
（2）（2a）3?（﹣a）4÷a2．
（3）（5x+2y）（3x﹣y）．
22．（4分）已知：如圖，E是BC上一點，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求證：AC＝ED．
23．（4分）化簡求值：當(dāng)x2﹣2x﹣3＝0時，求代數(shù)式（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．
24．（5分）已知：如圖，點C在∠MON的邊OM上．
求作：射線CD，使CD∥ON，且點D在∠MON的角平分線上．
作法：①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線OM，ON于點A，B；②分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點Q；③畫射線OQ；④以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交射線OQ于點D；⑤畫射線CD．射線CD就是所求作的射線．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ ）（填推理的依據(jù)）．
25．（5分）如圖，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P、Q分別是邊AC，AB上的點，且AP＝PQ＝QC＝BC．求∠PCQ的度數(shù)．
四、解答題：（共3道題，滿分20分，其中26題6分，27題7分，28題7分）
26．（6分）閱讀材料：
我們定義：如果兩個實數(shù)的差等于這兩個實數(shù)的商，那么這兩個實數(shù)就叫做“差商等數(shù)對”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么α與b就叫做“差商等數(shù)對”，記為（a，b）．
例如：4﹣2＝4÷2；﹣3＝÷3；
則稱數(shù)對（4，2），（，3）是“差商等數(shù)對”．
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
（1）下列數(shù)對中，“差商等數(shù)對”是 （填序號）；
①（﹣8.1，﹣9）②（，）③（﹣，﹣1）
（2）如果（a，2）是“差商等數(shù)對”，請求出a的值；
（3）在（2）的條件下，先化簡再求值：[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b．
27．（7分）數(shù)學(xué)老師布置了一道作業(yè)題：
等邊三角形ABC，過點C作直線l∥AB，點D是線段BC上一點，連接AD，作AD的垂直平分線交直線l于點P，在點D運動過程中，探究線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系．
數(shù)學(xué)小組同學(xué)們經(jīng)過思考，交流了自己的想法：
小聰：利用軸對稱知識，以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP（圖2）．
可推得∠CAP＝∠CDP．
小明：D在運動過程中，∠APD始終不變．
小慧：通過證明三角形全等，可得到線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）用等式表示線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）數(shù)學(xué)小組同學(xué)們解決完老師布置的作業(yè)題，進(jìn)一步思考：若點D在點B左側(cè)（如圖3），再探究線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系，畫圖并證明．
（3）同學(xué)們繼續(xù)思考：若點D在直線BC上運動，請直接寫出線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系 ．
28．（7分）給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點P1，P2，P3的“完美間距”．例如：如圖，點P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“完美間距”是1．
（1）點Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5）的“完美間距”是 ；
（2）已知點O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若點O，A，B的“完美間距”是2，則y的值為 ；
②點O，A，B的“完美間距”的最大值為 ；
（3）已知點C（0，4），D（﹣4，0），點P（m，n）為線段CD上一動點，當(dāng)O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“完美間距”取到最大值時，求此時點P的坐標(biāo)．
2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共20分，每小題2分）
1．（2分）下列體育運動圖案中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（2分）如圖所示，△ABC中AC邊上的高線是（ ）
A．線段HAB．線段BHC．線段BCD．線段BA
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
【解答】解：△ABC中AC邊上的高線是線段BH，
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．
3．（2分）下列運算結(jié)果為a6的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2B．a(chǎn)9﹣a3C．（a2）3D．a(chǎn)18÷a3
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項法則，冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．
【解答】解：A．a(chǎn)3?a2＝a5，故本選項不合題意；
B．a(chǎn)9與﹣a3不是同類項，所以不能合并，故本選項不合題意；
C．（a2）3＝a6，故本選項符合題意；
D．a(chǎn)18÷a3＝a15，故本選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2分）計算：3x（2x﹣5）的結(jié)果為（ ）
A．6x2﹣15xB．6x2+5C．6x2+15xD．6x2﹣5x
【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則進(jìn)行解答即可得出答案．
【解答】解：3x（2x﹣5）
＝3x?2x﹣3x×5
＝6x2﹣15x．
故選：A．
【點評】此題考查了單項式乘多項式，熟練掌握單項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）已知xm＝2，xn＝3，則xm+n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．9
【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則化簡求出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴xm+n＝xm×xn＝2×3＝6．
故選：B．
【點評】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
6．（2分）若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍．
【解答】解：第三邊m的取值范圍是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2適合，
故選：B．
【點評】考查了三角形三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
7．（2分）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠2＞∠BC．∠1＝∠C+∠BD．∠C＝∠D
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)逐一判斷即可．
【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，故A正確，不符合題意；
∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠B，故B正確，不符合題意；
∵∠1是△BOC的外角，
∴∠1＝∠B+∠C，故C正確，不符合題意；
∵AD與BC不一定平行，
∴∠C不一定等于∠D，故D錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2分）如圖，△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊．若∠A＝100°，∠F＝47°，則∠DEF等于（ ）
A．100°B．53°C．47°D．33°
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等、三角形的內(nèi)角和是180度來解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對應(yīng)邊，
∴∠A＝∠FDE，
又∵∠A＝100°，
∴∠FDE＝100°；
∵∠F＝47°，∠FDE+∠F+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠F﹣∠FDE＝180°﹣47°﹣100°＝33°；
故選：D．
【點評】本題主要考查的是全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)相等關(guān)系，把已知條件轉(zhuǎn)到同一個三角形中然后利用三角形的內(nèi)角和來求解是解決這類問題常用的方法．
9．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAB＝40°，則∠ACE的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．35°D．70°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝70°，最后根據(jù)角平分線的定義計算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠CAB＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故選：C．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，角平分線以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，經(jīng)過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁．
（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依據(jù)尺規(guī)作圖，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，進(jìn)而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作圖可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故選：A．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．
二、填空題（本題共30分，每小題3分）
11．（3分）計算（π﹣3）0＝ 1 ．
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：（π﹣3）0＝1，
故答案為：1．
【點評】本題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)，比較簡單．
12．（3分）計算：（﹣）2021×1.52022＝ ．
【分析】逆向運算積的乘方運算法則計算即可，冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．
【解答】解：（﹣）2021×1.52022
＝（﹣）2021×1.52021×1.5
＝
＝
＝
＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了積的乘方，掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（3，b）和點B（a，2）關(guān)于y軸對稱，則ab的值是 9 ．
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：∵點A（3，b）和點B（a，2）關(guān)于y軸對稱，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
14．（3分）如圖中x的值為 130 ．
【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是540°列出方程，解方程即可．
【解答】解：因為五邊形的內(nèi)角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
所以x+x+80+90+（x﹣20）＝540，
解得x＝130，
故答案為：130．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和列出方程是解題關(guān)鍵．
15．（3分）如圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，得到四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖（2）所示拼成一個大正方形，則中間空白部分的面積是 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
【分析】由圖（1）得出小長方形的長與寬分別為a，b，然后根據(jù)圖（2）中大正方形的面積減去四個小長方形的面積表示出中空部分面積即可．
【解答】解：中間空白部分的面積是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故答案為：（a﹣b）2．
【點評】本題考查了列代數(shù)式、完全平方公式的運算，能正確列出代數(shù)式是解決問題的前提，熟練掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，則∠B的度數(shù)為 70° ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案為：70°．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此題的關(guān)鍵．
17．（3分）學(xué)了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個題目：“已知：如圖，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，求證：△ABD≌△ABC．”
老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個已知條件是： ∠CAB＝∠DAB或BC＝BD ．
【分析】依據(jù)其中AB為公共邊，依據(jù)SSS可證明△ABD≌△ACE即可．
【解答】解：可以去掉的一個已知條件是：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD，
理由：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS）．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴可去掉的條件是∠CAB＝∠DAB或BC＝BD．
故答案為：∠CAB＝∠DAB或BC＝BD．
【點評】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點．若BD平分∠ABC，則∠A＝ 36 °．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AD＝BD，根據(jù)等邊對等角可得∠A＝∠ABD，然后表示出∠ABC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得∠C＝∠ABC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分線MN交AC于D點．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
設(shè)∠A為x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案為：36
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
19．（3分）如圖，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC＝6，則PD＝ 3 ．
【分析】過點P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOB＝2∠AOP，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠PCE＝∠AOB，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得PE＝PC，最后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD＝PE．
【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×15°＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝×6＝3，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形以及與PD相等的線段是解題的關(guān)鍵．
20．（3分）在等邊△ABC中，M、N、P分別是邊AB、BC、CA上的點（不與端點重合），對于任意等邊△ABC，下面四個結(jié)論中：
①存在無數(shù)個△MNP是等腰三角形；
②存在無數(shù)個△MNP是等邊三角形；
③存在無數(shù)個△MNP是等腰直角三角形；
④存在一個△MNP在所有△MNP中面積最?。?br>所有正確結(jié)論的序號是 ①②③ ．
【分析】利用圖象法，畫出圖形判定即可解決問題．
【解答】解：如圖1中，滿足AM＝BN＝PC，可證△PMN是等邊三角形，這樣的三角形有無數(shù)個．
如圖2中，當(dāng)NM＝NP，∠MNP＝90°時，△MNP是等腰直角三角形，這樣的三角形有無數(shù)個（見圖3）．
故①②③正確，△PNM的面積不存在最小值（面積可以接近O，沒有最小值）．
故答案為①②③．
【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
三、解答題（本題共30分，第21題每小題12分，第22、23每題4分，24、25題每題5分）
21．（12分）計算：
（1）5xy2?（﹣xy2）3．
（2）（2a）3?（﹣a）4÷a2．
（3）（5x+2y）（3x﹣y）．
【分析】（1）原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則，以及單項式乘單項式法則計算即可得到結(jié)果；
（2）原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則，以及單項式乘除單項式法則計算即可得到結(jié)果；
（3）原式利用多項式乘多項式法則計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式＝5xy2?（﹣x3y6）
＝﹣5x4y8；
（2）原式＝8a3?a4÷a2
＝8a7÷a2
＝8a5；
（3）原式＝15x2﹣5xy+6xy﹣2y2
＝15x2+xy﹣2y2．
【點評】此題考查了整式的混合運算，冪的乘方與積的乘方，多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
22．（4分）已知：如圖，E是BC上一點，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求證：AC＝ED．
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“邊角邊”證明△ABC和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC＝ED．
【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，比較簡單，求出∠B＝∠ECD是證明三角形全等的關(guān)鍵．
23．（4分）化簡求值：當(dāng)x2﹣2x﹣3＝0時，求代數(shù)式（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．
【分析】先根據(jù)多項式乘多項式進(jìn)行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）
＝x2﹣3x+x﹣3+x2﹣4x+x2﹣4
＝3x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
當(dāng)x2﹣2x＝3時，原式＝3（x2﹣2x）﹣7＝3×3﹣7＝2．
【點評】本題考查了整式的化簡與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．
24．（5分）已知：如圖，點C在∠MON的邊OM上．
求作：射線CD，使CD∥ON，且點D在∠MON的角平分線上．
作法：①以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交射線OM，ON于點A，B；②分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點Q；③畫射線OQ；④以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交射線OQ于點D；⑤畫射線CD．射線CD就是所求作的射線．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ∠NOD ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ∠CDO ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ 內(nèi)錯角相等兩直線平行 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義證明∠CDO＝∠DON即可．
【解答】解：（1）如圖，射線CD即為所求作．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝∠NOD．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝∠CDO，
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．
故答案為：∠NOD，∠CDO，內(nèi)錯角相等兩直線平行．
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．
25．（5分）如圖，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P、Q分別是邊AC，AB上的點，且AP＝PQ＝QC＝BC．求∠PCQ的度數(shù)．
【分析】設(shè)∠A＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α，∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)∠A＝α，
∵AP＝PQ，
∴∠AQP＝∠A＝α，
∴∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α，
∴PQ＝CQ，
∴∠QPC＝∠PCQ＝2α，
∴∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α，
∵CQ＝BC，
∴∠CQB+∠B＝3α，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝3α，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴α+3α+3α＝180°，
∴α＝，
∴∠PCQ＝2α＝．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
四、解答題：（共3道題，滿分20分，其中26題6分，27題7分，28題7分）
26．（6分）閱讀材料：
我們定義：如果兩個實數(shù)的差等于這兩個實數(shù)的商，那么這兩個實數(shù)就叫做“差商等數(shù)對”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么α與b就叫做“差商等數(shù)對”，記為（a，b）．
例如：4﹣2＝4÷2；﹣3＝÷3；
則稱數(shù)對（4，2），（，3）是“差商等數(shù)對”．
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
（1）下列數(shù)對中，“差商等數(shù)對”是 ①③ （填序號）；
①（﹣8.1，﹣9）②（，）③（﹣，﹣1）
（2）如果（a，2）是“差商等數(shù)對”，請求出a的值；
（3）在（2）的條件下，先化簡再求值：[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b．
【分析】（1）根據(jù)“差商等數(shù)對”的概念逐一計算即可判斷；
（2）根據(jù)“差商等數(shù)對”的定義列出關(guān)于a的方程a﹣2＝，解之即可；
（3）先根據(jù)整式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將a的值代入計算即可．
【解答】解：（1）﹣8.1﹣（﹣9）＝﹣8.1+9＝0.9，＝0.9，即（﹣8.1，﹣9）是“差商等數(shù)對”，
﹣＝0，＝1，即（，）不是“差商等數(shù)對”，
﹣﹣（﹣1）＝﹣+1＝，＝，即（﹣，﹣1）是“差商等數(shù)對”，
故答案為：①③；
（2）∵（a，2）是“差商等數(shù)對”，
∴a﹣2＝，
解得：a＝4；
（3）[（4a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷b
＝（4a2﹣2ab﹣b2﹣4a2+b2）÷b
＝（﹣2ab）b
＝﹣3a，
當(dāng)a＝4時，
原式＝﹣3×4＝﹣12．
【點評】本題考查了整式的化簡與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．
27．（7分）數(shù)學(xué)老師布置了一道作業(yè)題：
等邊三角形ABC，過點C作直線l∥AB，點D是線段BC上一點，連接AD，作AD的垂直平分線交直線l于點P，在點D運動過程中，探究線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系．
數(shù)學(xué)小組同學(xué)們經(jīng)過思考，交流了自己的想法：
小聰：利用軸對稱知識，以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP（圖2）．
可推得∠CAP＝∠CDP．
小明：D在運動過程中，∠APD始終不變．
小慧：通過證明三角形全等，可得到線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）用等式表示線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系是 CA＝CD+CP ．
（2）數(shù)學(xué)小組同學(xué)們解決完老師布置的作業(yè)題，進(jìn)一步思考：若點D在點B左側(cè)（如圖3），再探究線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系，畫圖并證明．
（3）同學(xué)們繼續(xù)思考：若點D在直線BC上運動，請直接寫出線段AC，DC，PC之間的數(shù)量關(guān)系 當(dāng)點D在線段BC上時，結(jié)論：CA＝CD+CP．當(dāng)點D在CB的延長線時，結(jié)論：CD＝CP+CA．當(dāng)點D在BC的延長線上時，結(jié)論：CP＝CA+CD ．
【分析】（1）如圖2中，結(jié)論：CA＝CD+CP．以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP，在CA上取一點M，使得CM＝CD，連接DM，設(shè)DP交AC于點J．證明△ADM≌△PDC（SAS），可得結(jié)論；
（2）如圖3中，結(jié)論：CD＝CP+CA．證明方法類似（1）；
（3）分三種情形，當(dāng)點D在線段BC上時，結(jié)論：CA＝CD+CP．當(dāng)點D在CB的延長線時，結(jié)論：CD＝CP+CA．當(dāng)點D在BC的延長線上時，結(jié)論：CP＝CA+CD．證明方法類似．
【解答】解：（1）如圖2中，結(jié)論：CA＝CD+CP．
理由：以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP，在CA上取一點M，使得CM＝CD，連接DM，設(shè)DP交AC于點J．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CP∥AB，
∴∠ACP＝∠CAB＝60°，
∵∠PCA′＝∠PCA＝60°，
∴∠ACB+∠ACP+∠PCA′＝180°，
∴B，C，A′共線，
∵點P在線段AD的垂直平分線上，
∴PA＝PD，
∵PA＝PA′，
∴PD＝PA′，
∴∠PDA′＝∠A′，
∵∠A′＝∠CAP，
∴∠PDC＝∠PAC，
∵∠AJP＝∠DJC，
∴∠APJ＝∠DCJ＝60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DA＝DP，
∵CD＝CM，∠DCM＝60°，
∴△DCM是等邊三角形，
∴DM＝DC，
∵∠ADB＝∠MDC＝60°，
∴∠ADM＝∠PDC，
∴△ADM≌△PDC（SAS），
∴AM＝PC，
∴CA＝CM+AM＝CD+CP．
故答案為：CA＝CD+CP．
（2）如圖3中，結(jié)論：CD＝CP+CA．
理由：以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP，在CB上取一點N，使得CN＝CP，連接PN，設(shè)DC交AP于點J．
同法可證，B，C，A′共線，
∵PA＝PD＝PA′，
∴∠A′＝∠PDJ＝∠CAJ，
∵∠AJC＝∠DJP，
∴∠APD＝∠ACJ＝60°，
∵CN＝CP，∠PCN＝60°，
∴△PCN是等邊三角形，
∴PC＝PN，
∴∠APD＝∠CPN＝60°，
∴∠DPN＝∠APC，
∴△DPN≌△APC（SAS），
∴DN＝AC，
∴CD＝CN+DN＝CP+CA；
（3）當(dāng)點D在線段BC上時，結(jié)論：CA＝CD+CP（證明見（1））．
當(dāng)點D在CB的延長線時，結(jié)論：CD＝CP+CA．（證明見（2））．
如圖4中，當(dāng)點D在BC的延長線上時，結(jié)論：CP＝CA+CD．
理由：以直線l為對稱軸構(gòu)造△ACP的軸對稱圖形△A'CP，在CP上取一點K，使得CK＝CD．
同法可證，△ADC≌△PDK（SAS），
∴AC＝PK，
∴PC＝CK+PK＝CD+CA．
故答案為：當(dāng)點D在線段BC上時，結(jié)論：CA＝CD+CP．
當(dāng)點D在CB的延長線時，結(jié)論：CD＝CP+CA．
當(dāng)點D在BC的延長線上時，結(jié)論：CP＝CA+CD．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
28．（7分）給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點P1，P2，P3的“完美間距”．例如：如圖，點P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“完美間距”是1．
（1）點Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5）的“完美間距”是 1 ；
（2）已知點O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若點O，A，B的“完美間距”是2，則y的值為 ±2 ；
②點O，A，B的“完美間距”的最大值為 4 ；
（3）已知點C（0，4），D（﹣4，0），點P（m，n）為線段CD上一動點，當(dāng)O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“完美間距”取到最大值時，求此時點P的坐標(biāo)．
【分析】（1）分別計算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的長度，比較得出最小值即可；
（2）①分別計算出OA，AB的長度，由于斜邊大于直角邊，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳間距”為OA或者AB的長度，由于“最佳間距”為1，而OA＝4，故OB＝2，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳間距”為OA或AB的長度，當(dāng)OA≤AB時，“最佳間距”為OA＝4，當(dāng)OA＞AB時，“最佳間距”為AB＜4，比較兩個“最大間距”，即可解決；
（3）同（2），當(dāng)點O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳間距”為OE或者PE的長度，先求出直線CD的解析式，用m表示出線段OE和線段PE的長度，分兩類討論，當(dāng)OE≥PE和OE＜PE時，求出各自條件下的“最佳間距”，比較m的范圍，確定“最佳間距”的最大值，進(jìn)一步求解出P點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，在給出圖形中標(biāo)出點Q1，Q2，Q3，
∵Q1（4，1），Q2（5，1），Q3（5，5），
∴Q1Q2＝1，Q2Q3＝4，
在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3＝，
∵1＜4＜，
“最佳距離”為1，
故答案為：1
（2）①如圖，
∵O（0，0），A（4，0），B（4，y），
∴OA＝4，AB＝|y|，
在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB，
又∵點O，A，B的“最佳間距”是2，
且4＞2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2，
故答案為：±2；
②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，
∴“最佳間距”的值為OA或者是AB的長，
∵OA＝4，AB＝|y|，
當(dāng)AB≥OA時，“最佳間距”為4，
當(dāng)AB＜OA時，“最佳間距”為|y|＜4，
∴點O，A，B的“最佳間距”的最大值為4，
故答案為：4；
（3）設(shè)直線CD為y＝kx+4，代入點D得，如圖，
﹣4k+4＝0，
∴k＝1，
∴直線CD的解析式為：y＝x+4，
∵E（m，0），P（m，n），且P是線段CD上的一個動點，
∴PE∥y軸，
∴OE＝﹣m，PE＝n＝m+4，
①當(dāng)﹣m≥m+4時，即OE≥PE時，m≤﹣2，“最佳間距”為m+4，此時m+4≤2，
②當(dāng)﹣m＜m+4時，即OE＜PE時，﹣2＜m＜0，“最佳間距“為﹣m，此時﹣m＜2，
∴點O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳間距”取到最大值時，m＝﹣2，
∴m＝﹣2，
∴n＝m+4＝2，
∴P（﹣2，2）．
【點評】本題是一次函數(shù)背景下的新定義題目，提煉出新定義的規(guī)則，根據(jù)規(guī)則，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，（2）中OA與AB的長度大小不確定時，需要分類討論，是解決此題的突破口．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:48:44；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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