1．（2分）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
2．（2分）4的算術平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
3．（2分）若將分式中的x，y都擴大10倍，則分式的值（ ）
A．擴大為原來的10倍B．縮小為原來的
C．縮小為原來的D．不改變
4．（2分）下列等式中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列各式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）下列各數(shù)：﹣，，0.31，，0.2020020002…（每兩個2之間依次多一個0），其中無理數(shù)有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
7．（2分）如圖，數(shù)軸上A，B，C，D四點中，與﹣對應的點距離最近的是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
8．（2分）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝，例如f（4）＝，，則f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的結果是（ ）
A．B．4039C．D．4041
二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值為0，那么x的值為 ．
10．（2分）使二次根式有意義的x的取值范圍是 ．
11．（2分）化簡：＝ ．
12．（2分）在公式V＝abc中，所有字母均不等于零，試用代數(shù)式表示a＝ ．
13．（2分）已知m為正整數(shù)，且m＜＜m+1，那么m的值等于 ．
14．（2分）實數(shù)的平方根是 ．
15．（2分）若|x﹣5|+2＝0，則x﹣y的值是 ．
16．（2分）為實現(xiàn)營養(yǎng)的合理搭配，某電商推出適合不同人群的甲、乙兩種袋裝混合粗糧．其中，甲種粗糧每袋裝有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧；乙種粗糧每袋裝有1千克A粗糧，2千克B粗糧，2千克C粗糧．甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本價分別為袋中A，B，C三種粗糧的成本價之和．已知A粗糧每千克成本價為6元，甲種粗糧每袋售價為58.5元，利潤率為30%，乙種粗糧的利潤率為20%，則甲種粗糧中每袋成本價為 元；若這兩種袋裝粗糧的銷售利潤率達到24%，則該電商銷售甲、乙兩種袋裝粗糧的數(shù)量之比是 ．
三、解答題（本題共12道小題，第1722題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：．
18．（5分）計算：．
19．（5分）計算：4﹣+．
20．（5分）計算：．
21．（5分）計算：．
22．（5分）計算：．
23．（6分）解方程：＝2
24．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a2﹣a﹣＝0．
25．（6分）為慶祝建黨100周年，學校組織初二學生乘車前往距學校132千米的某革命根據(jù)地參觀學習．二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2倍，結果和一班同時到達．求一班的平均車速是多少千米/時？
26．（6分）閱讀下列文字，解答問題：
俗話說的好“處處留心皆學問”，生活中處處有數(shù)學，小明為了研究在物價波動時如何買東西最合算，做了一個小調研：某一糧店同一品種糧食在兩個不同時段的糧價不同，假設x，y分別表示兩個時段糧食的單價（單位：元/千克）
（1）李阿姨分別在兩個時段各購買此品種糧食10千克，若用Q1表示李阿姨兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q1；
（2）王奶奶分別在兩個時段各花10元購買此品種糧食，若用Q2表示王奶奶兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q2；
（3）一般地，“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個差是正數(shù)、負數(shù)還是零”．由此可見，要判斷兩個代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以判斷，問誰兩次購糧的平均單價低，并說明理由．
27．（7分）閱讀解題過程：
，
，
．
試求：
（1）的值；
（2）（n為正整數(shù)）的值；
（3）的值．
28．（7分）閱讀下列材料，然后回答問題．
我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)的和的形式．例如：，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．
例如：，
．
解決下列問題：
（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
2021-2022學年北京市昌平區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個
1．（2分）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x≠3D．x≠0
【分析】根據(jù)分母為零分式無意義，可得答案．
【解答】解：由題意，得
x﹣3≠0，
解得x≠3，
故選：C．
【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關鍵．
2．（2分）4的算術平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．16
【分析】根據(jù)乘方運算，可得一個數(shù)的算術平方根．
【解答】解：∵22＝4，
∴＝2，
故選：A．
【點評】本題考查了算術平方根，乘方運算是解題關鍵．
3．（2分）若將分式中的x，y都擴大10倍，則分式的值（ ）
A．擴大為原來的10倍B．縮小為原來的
C．縮小為原來的D．不改變
【分析】根據(jù)分式的基本性質解決此題．
【解答】解：分式中的x，y都擴大10倍后得，
∴分式的值不變．
故選：D．
【點評】本題主要考查分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解決本題的關鍵．
4．（2分）下列等式中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平方根的定義對A、C進行判斷；利用算術平方根的定義對B、D進行判斷．
【解答】解：A．±＝±，所以A選項不符合題意；
B． ＝，所以B選項符合題意；
C．±＝±，所以C選項不符合題意；
D． ＝，所以D選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡：靈活運用二次根式的性質是解決問題的關鍵．
5．（2分）下列各式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結果，從而可以解答本題．
【解答】解：∵，故選項A錯誤，
∵當x≠0時，，故選項B錯誤，
∵，故選項C正確，
∵不能化簡，故選項D錯誤，
故選：C．
【點評】本題考查分式的基本性質，解答本題的關鍵是可以對各個選項中的式子進行化簡．
6．（2分）下列各數(shù)：﹣，，0.31，，0.2020020002…（每兩個2之間依次多一個0），其中無理數(shù)有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．
【解答】解：是分數(shù)，屬于有理數(shù)；
0.31是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；
無理數(shù)有，，0.2020020002…（每兩個2之間依次多一個0），共3個．
故選：B．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
7．（2分）如圖，數(shù)軸上A，B，C，D四點中，與﹣對應的點距離最近的是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
【分析】根據(jù)﹣≈﹣1.732，找到與﹣的差的絕對值最小的點即為所求．
【解答】解：∵|﹣3﹣（﹣）|≈1.268，
|﹣2﹣（﹣）|≈0.268，
|﹣1﹣（﹣）|≈0.732，
|2﹣（﹣）|≈3.732，
其中0.268最小，
∴與表示﹣的點距離最近的點是B．
故選：B．
【點評】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。?br>8．（2分）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝，例如f（4）＝，，則f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的結果是（ ）
A．B．4039C．D．4041
【分析】計算出f（2），f（），f（3），f（）的值，總結出其規(guī)律，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故選：C．
【點評】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，代數(shù)式求值，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答．
二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值為0，那么x的值為 4 ．
【分析】根據(jù)分式的值為0的條件解決此題．
【解答】解：由題得：x﹣4＝0且x﹣1≠0．
∴x＝4．
故答案為：4．
【點評】本題主要考查分式的值為0的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是解決本題的關鍵．
10．（2分）使二次根式有意義的x的取值范圍是 x≤ ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由題意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤．
故答案為：x≤．
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．
11．（2分）化簡：＝ ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質解決此題．
【解答】解：＝＝5a．
故答案為：．
【點評】本題主要考查二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解決本題的關鍵．
12．（2分）在公式V＝abc中，所有字母均不等于零，試用代數(shù)式表示a＝ ．
【分析】根據(jù)分式的除法運算法則即可求出答案．
【解答】解：∵V＝abc，
∴a＝，
故答案為：a＝．
【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用分式的除法運算法則，本題屬于基礎題型．
13．（2分）已知m為正整數(shù)，且m＜＜m+1，那么m的值等于 3 ．
【分析】由32＜11＜42可得，進而得出m的值．
【解答】解：∵32＜11＜42，
∴，
∵m為正整數(shù)，且m＜＜m+1，
∴m＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，屬于基礎題，注意“夾逼法”的運用是關鍵．
14．（2分）實數(shù)的平方根是 ±3 ．
【分析】根據(jù)算術平方根、平方根解決此題．
【解答】解：∵＝9，
∴實數(shù)的平方根是±＝±3．
故答案為：±3．
【點評】本題主要考查算術平方根、平方根，熟練掌握算術平方根、平方根是解決本題的關鍵．
15．（2分）若|x﹣5|+2＝0，則x﹣y的值是 7 ．
【分析】根據(jù)絕對值和算術平方根的非負數(shù)性質可得x與y的值，再代入所求數(shù)軸計算即可．
【解答】解：∵|x﹣5|+2＝0，而|x﹣5≥0，≥0，
∴x﹣5＝0，y+2＝0，
解得x＝5，y＝﹣2，
∴x﹣y＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7．
故答案為：7．
【點評】主要考查非負數(shù)的性質；用到的知識點為：兩個非負數(shù)的和為0，這兩個非負數(shù)均為0．
16．（2分）為實現(xiàn)營養(yǎng)的合理搭配，某電商推出適合不同人群的甲、乙兩種袋裝混合粗糧．其中，甲種粗糧每袋裝有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧；乙種粗糧每袋裝有1千克A粗糧，2千克B粗糧，2千克C粗糧．甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本價分別為袋中A，B，C三種粗糧的成本價之和．已知A粗糧每千克成本價為6元，甲種粗糧每袋售價為58.5元，利潤率為30%，乙種粗糧的利潤率為20%，則甲種粗糧中每袋成本價為 45 元；若這兩種袋裝粗糧的銷售利潤率達到24%，則該電商銷售甲、乙兩種袋裝粗糧的數(shù)量之比是 ．
【分析】甲種粗糧每袋成本＝58.5÷（1+30%）＝45（元），設B粗糧每千克成本a元，C粗糧每千克成本b元，根據(jù)題意得6×3+a+b＝45，解得：a+b＝27，即可求出乙種粗糧每袋成本為60元，再設該電商銷售甲種粗糧x袋，乙種粗糧y袋，根據(jù)題意得：45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），整理化簡即可求解．
【解答】解：甲種粗糧每袋成本＝58.5÷（1+30%）＝45（元），
設B粗糧每千克成本a元，C粗糧每千克成本b元，
根據(jù)甲袋每袋裝有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧，得
6×3+a+b＝45，
解得：a+b＝27，
∴乙種粗糧每袋成本為：6×1+2a+2b＝6+2×27＝60（元），
設該電商銷售甲種粗糧x袋，乙種粗糧y袋，
根據(jù)題意得：45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
整理化簡得：9x＝8y，
∴＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了三元一次方程組的應用，解題關鍵是設出相關量，分析題意，列出方程組，解出未知量之間的關系．
三、解答題（本題共12道小題，第1722題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：．
【分析】原式先計算乘方，再計算乘除即可得到結果．
【解答】解：原式＝??
＝．
【點評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
18．（5分）計算：．
【分析】先通分，再進行同分母的減法運算法則進行計算即可得出答案．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝．
【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
19．（5分）計算：4﹣+．
【分析】直接化簡二次根式，進而合并求出即可．
【解答】解：原式＝4×﹣3+2
＝2﹣3+2
＝．
【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．
20．（5分）計算：．
【分析】直接利用絕對值的性質和二次根式的性質、立方根的性質分別化簡，進而利用實數(shù)的加減運算法則計算得出答案．
【解答】解：原式＝+3﹣3+12
＝+12．
【點評】此題主要考查了絕對值的性質和二次根式的性質、立方根的性質，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
21．（5分）計算：．
【分析】先利用完全平方公式和二次根式的乘除法則運算，然后化簡后合并即可．
【解答】解：原式＝2+2+1﹣
＝3+2﹣
＝3+．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．
22．（5分）計算：．
【分析】先把除法轉化為乘法，再通分后求差，最后約分．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝﹣．
【點評】本題考查了分式的混合運算，掌握分式的運算法則和運算順序是解決本題的關鍵．
23．（6分）解方程：＝2
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母，得2x﹣（x﹣1）＝4（x﹣5），
去括號，得2x﹣x+1＝4x﹣20，
移項并合并同類項，得﹣3x＝﹣21，
系數(shù)化為 1，得 x＝7，
經(jīng)檢驗，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是 x＝7．
【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
24．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a2﹣a﹣＝0．
【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將a2﹣a的值代入計算即可．
【解答】解：
＝?
＝?
＝a2﹣a，
∵，
∴，
則原式＝．
【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
25．（6分）為慶祝建黨100周年，學校組織初二學生乘車前往距學校132千米的某革命根據(jù)地參觀學習．二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2倍，結果和一班同時到達．求一班的平均車速是多少千米/時？
【分析】設一班的平均車速是x千米/時，則二班的平均車速是1.2x千米/時，利用時間＝路程÷速度，結合二班比一班少用半小時，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出一班的平均車速．
【解答】解：設一班的平均車速是x千米/時，則二班的平均車速是1.2x千米/時，
依題意得：﹣＝，
解得：x＝44，
經(jīng)檢驗，x＝44是原方程的解，且符合題意．
答：一班的平均車速是44千米/時．
【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
26．（6分）閱讀下列文字，解答問題：
俗話說的好“處處留心皆學問”，生活中處處有數(shù)學，小明為了研究在物價波動時如何買東西最合算，做了一個小調研：某一糧店同一品種糧食在兩個不同時段的糧價不同，假設x，y分別表示兩個時段糧食的單價（單位：元/千克）
（1）李阿姨分別在兩個時段各購買此品種糧食10千克，若用Q1表示李阿姨兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q1；
（2）王奶奶分別在兩個時段各花10元購買此品種糧食，若用Q2表示王奶奶兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數(shù)式表示Q2；
（3）一般地，“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個差是正數(shù)、負數(shù)還是零”．由此可見，要判斷兩個代數(shù)式值的大小，只要考慮它們的差就可以判斷，問誰兩次購糧的平均單價低，并說明理由．
【分析】（1）利用平均單價＝共付錢數(shù)÷購買糧食的總數(shù)進行解答即可；
（2）利用平均單價＝共付錢數(shù)÷購買糧食的總數(shù)進行解答即可；
（3）計算Q1﹣Q2，利用計算結果進行判定．
【解答】解：（1）Q1＝＝；
∴李阿姨兩次購糧的平均單價為元．
（2）Q2＝＝；
∴王奶奶兩次購糧的平均單價為元．
（3）王奶奶兩次購糧的平均單價低．理由：
∵Q1﹣Q2＝＝＝，
又∵x2+y2＞0，2（x+y）＞0，
∴Q1﹣Q2＞0．
即Q1＞Q2．
∴王奶奶兩次購糧的平均單價低．
【點評】本題主要考查了列代數(shù)式，利用題干中的方法比較大小是解題的關鍵．
27．（7分）閱讀解題過程：
，
，
．
試求：
（1）的值；
（2）（n為正整數(shù)）的值；
（3）的值．
【分析】（1）分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式計算；
（2）分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式計算；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝＝﹣；
（3）原式＝﹣1+﹣+???+﹣+﹣
＝﹣1．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、分母有理化和平方差公式是解決問題的關鍵．
28．（7分）閱讀下列材料，然后回答問題．
我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)的和的形式．例如：，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．
例如：，
．
解決下列問題：
（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
【分析】（1）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和即可；
（2）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和，根據(jù)原式的值為整數(shù)，得到真分式為整數(shù)0，即可確定出x的整數(shù)值．
【解答】解：（1）原式＝＝1﹣；
（2）原式＝
＝x﹣
＝x﹣
＝x﹣1+，
∵原式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴為整數(shù)，即x+3＝±1或x+3＝±3，
則x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．
【點評】此題考查了分式的加減法，整式的加減，分式的定義以及分式的值，弄清閱讀材料中的方法是解本題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/9/28 17:49:35；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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