山東省聊城市陽谷縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. －的立方根是（）
A. -2B. 4C. -4D. ﹣8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平方根的意義可得，然后根據(jù)立方根的意義可得到問題解答．
【詳解】解：∵，且，
∴的立方根是-2，
故選A ．
【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根綜合運(yùn)用，熟練掌握平方根、立方根的意義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2. 下列運(yùn)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方，同底數(shù)冪乘法以及完全平方公式，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A、不是同類項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)B計(jì)算正確；
C、，故選項(xiàng)C計(jì)算錯(cuò)誤；
D、，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查合了并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法和積的乘方、以及完全平方公式，解題關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則和公式．
3. 如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cs∠APC的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cs∠APC＝cs∠EDC即可得答案．
【詳解】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．
則DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．
4. 小明去爬山，在山腳A看山頂D的仰角，小明在坡比為的山坡上走1300米到達(dá)B處，此時(shí)小明看山頂?shù)难鼋?，則山高為（）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，可得，從而得到米，米，設(shè)米，則米，由，可得米，再由，可得，從而得到，求出x，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵米，
∴米，米，
設(shè)米，則米，
∵，
∴米，
又∵，
∴，
即：，
解得，
∴米，
∴米．
即山高為米．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
5. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：
（1）（2）（3）（4）（5）其中正確的結(jié)論有（）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線與軸交點(diǎn)的各數(shù)對（1）進(jìn)行判斷；由拋物線開口方向得到，由拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方得到，由拋物線的對稱軸為直線，得到，于是可對（2）進(jìn)行判斷；利用可對（3）進(jìn)行判斷；根據(jù)自變量為1時(shí)函數(shù)值為正數(shù)可對（4）進(jìn)行判斷；根據(jù)自變量為時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)可對（5）進(jìn)行判斷．
【詳解】解：拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，
，即，所以（1）正確；
拋物線開口向上，
，
拋物線與軸交于，
，
拋物線的對稱軸為直線，
，
，所以（2）錯(cuò)誤；
，即，所以（3）錯(cuò)誤；
時(shí)，，
，所以（4）正確；
時(shí)，，
，所以（5）正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對稱軸的位置，當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即，對稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即，對稱軸在軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)，拋物線與軸交于．當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．
6. 如圖，若是的直徑，是的弦，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直徑所對圓周角為直角即得出，從而由直角三角形兩個(gè)銳角互余求出，最后由同弧所對圓周角相等即得出．
【詳解】解：是的直徑，
．
，
又，
．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，直角三角形兩個(gè)銳角互余．掌握直徑所對圓周角為直角和同弧所對圓周角相等是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，點(diǎn)E是的邊上的一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，若，則的周長為（）
A. 21B. 28C. 34D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴的周長為：（8+9）×2=34．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答．
8. 已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A. m＜2B. m≤2C. m＜2且m≠1D. m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因?yàn)?m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．綜合知，m的取值范圍是m≤2且m≠1，因此本題選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△≥0，找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
9. 將拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線為（）
A y=3（x+2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+1C. y=3（x﹣2）2﹣1D. y=3（x+2）2+1
【答案】A
【解析】
【詳解】函數(shù)圖象的平移法則為：左加右減，上加下減；根據(jù)這個(gè)平移法則，拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線為y=3（x+2）2﹣1.故選A.
考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象的平移法則.
10. 若不等式組無解，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到可得關(guān)于m的不等式，解之可得．
【詳解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式組無解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
11. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，則的值為( )
A. B. C. D. 23
【答案】B
【解析】
【詳解】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故選B．
12. 求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計(jì)算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．
【詳解】解：設(shè)S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①
則2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②
由②－①得：
2019S＝20202021－1
∴．
故答案為：C．
【點(diǎn)晴】本題主要考查探索數(shù)與式的規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．
二、填空題（本大題共6小題，共24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分．）
13. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解．先提公因式后，再用平方差公式進(jìn)行分解即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
14. 若，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】等式左邊為算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù)，即1-x≥0．
【詳解】解：由于二次根式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題利用了二次根式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)求x的取值范圍．
15. 如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，且．若點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則的大小為___________．

【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，得出，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，

∵分別與相切于兩點(diǎn)
∴，
∵．
∴
∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
16. 若二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，據(jù)此利用判別式和一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
∴且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟知二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)即對應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
17. 若關(guān)于x的分式方程有增根，則____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，利用增根求字母的值，增根就是使最簡公分母為零的未知數(shù)的值；解決此類問題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值．
先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計(jì)算即可求出m的值．
【詳解】解：去分母得：，整理得：，
∵關(guān)于x的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，
解得：；
故答案為：3．
18. 如圖，在長方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把三角形AE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若三角形ABF的面積為24，那么CE長度為__________cm.
【答案】
【解析】
【分析】由折疊可得∠D=∠AFE=90°，結(jié)合已知條件不難證明△ABF∽△FCE，由三角形相似的性質(zhì)可以得出EC與CF的比值，根據(jù)比值分別設(shè)出EC、CF的長度，進(jìn)而表示出EF、DE的長度，列方程解出x，進(jìn)而求出CE的長度.
【詳解】∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，
∵S△ABF=AB·BF=×6BF=24，
∴BF=8，
由折疊可得∠AFE=∠D=90°，DE=EF，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
∵△ABF與△FCE中，
，
∴△ABF∽△FCE，
∴=，
∴=43，
設(shè)CE=4xcm，CF=3xcm，則EF=ED=5xcm，
∴6=5x+4x，
∴x=23，
∴CE=cm.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用.
三、解答題（本大題共8小題，共78分．）
19. （1）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．
（2）解不等式組：，并把解集表示在數(shù)軸上．
【答案】（1），；（2），數(shù)軸表示見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，求特殊角三角函數(shù)值：
（1）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，接著計(jì)算出x的值，最后代值計(jì)算即可；
（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）
，
∵，
∴原式；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為
數(shù)軸表示如下所示：
20. 某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無人機(jī)輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長度．
【答案】
【解析】
【分析】過C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，根據(jù)橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函數(shù)求解即可．
【詳解】解：如圖示：過C地點(diǎn)作交AB于D點(diǎn)，
則有：，，
∴，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
21. 2024年哈爾濱冰雪旅游火爆全國，吸引了大量游客前來旅游．“當(dāng)好東道主，熱情迎嘉賓”，哈爾濱某知名小吃店計(jì)劃購買A，B兩種食材制作小吃．已知購買1千克A種食材和1千克B種食材共需68元，購買5千克A種食材和3千克B種食材共需280元．
（1）求A，B兩種食材的單價(jià)；
（2）該小吃店計(jì)劃購買兩種食材共36千克，其中購買A種食材千克數(shù)不少于B種食材千克數(shù)的2倍，當(dāng)A，B兩種食材分別購買多少千克時(shí)，總費(fèi)用最少？并求出最少總費(fèi)用．
【答案】（1）A種食材的單價(jià)為38元，B種食材的單價(jià)為30元
（2）當(dāng)A，B兩種食材分別購買24，12千克時(shí)，總費(fèi)用最少為1272元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)A種食材的單價(jià)為a元，B種食材的單價(jià)為b元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)A種食材購買x千克，則B種食材購買千克，根據(jù)題意列出不等式，得出，進(jìn)而設(shè)總費(fèi)用為y元，根據(jù)題意，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)A種食材的單價(jià)為a元，B種食材的單價(jià)為b元，
根據(jù)題意得，，
解得：，
答：A種食材的單價(jià)為38元，B種食材的單價(jià)為30元；
【小問2詳解】
解：設(shè)A種食材購買x千克，則B種食材購買千克，
根據(jù)題意，，
解得：，
設(shè)總費(fèi)用為y元，根據(jù)題意，，
∵，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，y最小，
∴最少總費(fèi)用為（元），
答：當(dāng)A，B兩種食材分別購買24，12千克時(shí)，總費(fèi)用最少為1272元．
22. 如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)F，點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，垂足為E，連接．

（1）求證：是的切線；
（2）若，求陰影部分的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）連接BF，證明BF//CE，連接OC，證明OC⊥CE即可得到結(jié)論；
（2）連接OF，求出扇形FOC的面積即可得到陰影部分的面積．
【詳解】（1）連接，

是的直徑，
，即，
，
連接，
∵點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，
，
∵，
∵OC是的半徑，
∴CE是的切線；
（2）連接
，，
∵點(diǎn)C為劣弧的中點(diǎn)，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即陰影部分的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求的面積；
（3）請根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）9；（3）或．
【解析】
【分析】（1）把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)，即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)一次函數(shù)即可求得a、b的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；
（2）的面積是和的面積之和，利用面積公式求解即可；
（3）利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對應(yīng)的x的范圍，直接得出結(jié)論．
【小問1詳解】
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
∵點(diǎn)A，B在一次函數(shù)的圖象上，
把點(diǎn)，分別代入，得，
解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
∵點(diǎn)C為直線AB與y軸的交點(diǎn)，
∴把代入函數(shù)，得
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為
∴，
∴
．
【小問3詳解】
由圖象可得，不等式的解集是或．
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，函數(shù)與不等式的關(guān)系，求出兩個(gè)函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．
24. 某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會(huì)為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價(jià)為每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求出每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)每月獲得的利潤為W（元）．這種文化衫銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月的銷售利潤最大，最大利潤是9000元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意用待定系數(shù)法求出每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【小問1詳解】
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），
將（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1000；
【小問2詳解】
由題意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，W有最大值為9000，
答：這種文化衫銷售單價(jià)定為70元時(shí)，每月的銷售利潤最大，最大利潤是9000元．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式．

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