山東省濟(jì)寧市汶上縣第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共6頁，滿分100分．考試用時(shí)120分鐘．
第I卷（選擇題共30分）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．）
1. 將一元二次方程配方后，可化為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．
詳解】
．
故選：B．
2. 從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，作為三角形的邊長，能組成三角形的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了概率計(jì)算以及三角形三邊關(guān)系，用到的知識點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；組成三角形的兩條小邊之和大于最大的邊．
由4條線段中任意取3條，是一個(gè)列舉法求概率問題，是無放回的問題，共有4種可能結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會相同，滿足兩邊之和大于第三邊構(gòu)成三角形的有3個(gè)結(jié)果．因而就可以求出概率．
【詳解】解：由4條線段中任意取3條，共有4種可能結(jié)果，
分別為：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5；
每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會相同，滿足兩邊之和大于第三邊構(gòu)成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3個(gè)結(jié)果，
所以P（能組成三角形）．
故選：A．
3. 如圖所示的幾何體是由6個(gè)大小相同的小正方體組成的，它的左視圖是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖．根據(jù)左視圖是從物體的側(cè)面看所得到的圖形，即可求解．
【詳解】解：它的左視圖是
故選：B
4. 已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，，開口向下，若點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，下列正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
由于，的縱坐標(biāo)相等，所以點(diǎn)與點(diǎn)是拋物線上的對稱點(diǎn)，所以拋物線的對稱軸為直線，然后通過比較點(diǎn)到直線的距離的大小來判斷的大?。?br>【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，
注意到，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是，
∴二次函數(shù)的圖象是開口向下，且對稱軸為直線，即的拋物線，
點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，
，
，
故選：D．
5. 如圖所示，在圓O中，如果（均小于），那么正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．
【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，
，
，
∵，
，
，
∵，
∴，故C正確；
故選：C．
6. 如圖，為圓O的直徑，弦與交于點(diǎn)E，為等腰三角形，為底，，求圓弧所對的圓心角（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)．連接，，根據(jù)圓周角定理可得，再由，可得，從而得到，再由圓周角定理可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，，
∵為等腰三角形，為底，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圓弧所對的圓心角為．
故選：A
7. 二次函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；
分和討論二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象所在的象限，然后選擇答案即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，二次函數(shù)，圖象開口向下，且對稱軸，反比例函數(shù)在第一，三象限且為減函數(shù)，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)不正確；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸，反比例函數(shù)在第一，三象限且為減函數(shù)，故C選項(xiàng)不正確，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，二次函數(shù)圖象開口向下，且對稱軸，反比例函數(shù)在第二，四象限且上升趨勢，故D選項(xiàng)不正確，
故選：A．
8. 如圖，，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)定理，熟練掌握相似三角形的周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：∵，
，
，
，
，
∴，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D正確；
故選：B．
9. 比較，，的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵，
根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個(gè)角之間的關(guān)系即可作出判斷．
【詳解】，
，
，，
，，
，
故選：D．
10. 將二次函數(shù)y＝x2﹣5x﹣6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，若直線y＝2x+b與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）
A. ﹣或﹣12B. ﹣或2C. ﹣12或2D. ﹣或﹣12
【答案】A
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)B作直線y=2x+b，將直線向下平移到恰在點(diǎn)C處相切，則一次函數(shù)y=2x+b在這兩個(gè)位置時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即可求解．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)B的直線y＝2x+b與新拋物線有三個(gè)公共點(diǎn)，將直線向下平移到恰在點(diǎn)C處相切，此時(shí)與新拋物線也有三個(gè)公共點(diǎn)，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即點(diǎn)B坐標(biāo)（6，0），
將一次函數(shù)與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
當(dāng)一次函數(shù)過點(diǎn)B時(shí)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
綜上，直線y＝2x+b與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為﹣12或﹣；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，涉及到一次函數(shù)、根的判別式、翻折的性質(zhì)等知識點(diǎn)，本題的關(guān)鍵通過畫圖，確定臨界點(diǎn)圖象的位置關(guān)系．
第Ⅱ卷（非選擇題共70分）
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11. 已知是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的定義和解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一元二次方程的定義．
根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，注意二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，
，且，
解得：．
故答案為：．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)在第三象限，則關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在第_______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)點(diǎn)所在象限得出x，y的取值范圍，然后利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【詳解】點(diǎn)在第三象限，
，，即，，
，，
在第二象限，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為，
，，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)在第四象限．
故答案為：四．
13. 雙曲線，在第二象限的圖象如圖所示，，過上一點(diǎn)A作x軸的垂線交于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，若，則的解析式為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．
設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，由得到，然后解方程即可．
【詳解】解：設(shè)，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式為．
故答案為：．
14. 如圖，在一筆直的海岸線l上有相距2km的A、B兩個(gè)觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60°的方向上，從B站測得船C在北偏東30°的方向上，則船C到海岸線l的距離是__km．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可證得△ABC為等腰三角形，即可求出BC的長，然后再解直角三角形CBD即可求得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
根據(jù)題意得：∠CAD=90°?60°=30°，∠CBD=90°?30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD?∠CAD=60°-30°=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CBD中，(km)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是證出△ABC是等腰三角形．
15. 如圖，在扇形中，，在上有一點(diǎn)C，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于D點(diǎn)，過D作交圓弧于點(diǎn)E，若，，求陰影部分的面積為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求扇形的面積，銳角三角函數(shù)．連接交于點(diǎn)F，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，從而得到，再由陰影部分的面積，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)F，
根據(jù)題意得：，，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴陰影部分的面積
．
故答案為：
三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共55分，解答時(shí)應(yīng)寫出證明過程或解題步驟．）
16. 計(jì)算題
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)次冪、去絕對值：
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，計(jì)算二次根式、負(fù)整數(shù)次冪，化簡絕對值，最后進(jìn)行加減計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：
∵，
∴，
∴，
即；
【小問2詳解】
解：
．
17. 如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度
（1）將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出的圖形；
（2）以O(shè)為位似中心，將放大為原來的二倍，得到，畫出三角形，并寫出的坐標(biāo)
【答案】（1）見解析（2）見解析；或
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換——旋轉(zhuǎn)和位似圖形：
（1）分別確定A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，分別確定A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接即可．
小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求．
的坐標(biāo)為或．
18. 已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍
（2）如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，求k的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的定義．
（1）由根的情況，根據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于k的不等式，則可求得k的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出兩根之和、兩根之積，由條件可得到關(guān)于k的方程，則可求得k的值．
【小問1詳解】
一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
解得∶ ．
故k的取值范圍是；
【小問2詳解】
一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，
，，
，
，
解得：，
由（1）可得，
．
19. 如圖，已知是的中線，，，．
（1）求的長；
（2）求值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查利用三角函數(shù)和勾股定理結(jié)合解直角三角形：
（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，在中，可得，在中，可得，即可求解；
（2）求出，可得，在中，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵是的中線，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
20. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，，AG分別交線段DE、BC于點(diǎn)F、G，且AD：：，
求證：（1）AG平分；
（2）EF·CG=DF·BG．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】
【分析】（1）由三角形的內(nèi)和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等證明△ADF∽△ACG，其性質(zhì)和角平分線的定義得AG平分∠BAC；
（2）由兩對應(yīng)角相等證明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性質(zhì)得，，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出EF?CG＝DF?BG．
【詳解】（1）證明：，，，
，
在和中，

∽，
，
平分；
（2）證明：在和中，
，
∽，
，
在和中，
，
∽ ，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角的和差，等量代換，等式的性質(zhì)等相關(guān)知識點(diǎn)，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)是利用等式的性質(zhì)將比例式轉(zhuǎn)換成乘積式．
21. 如圖，在中，，點(diǎn)O是邊上的一點(diǎn)，以為半徑的交邊于點(diǎn)E，，過E作于點(diǎn)M，交于F，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑；
（3）若，的半徑為4，求的長度．
【答案】（1）見解析（2）
（3）2
【解析】
【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)：
（1）連接，證明，得，即可求證；
（2）設(shè)圓的半徑為r，利用勾股定理求出的長，利用兩角相等的三角形相似得到，由相似得比例求出r的值即可；
（3）利用同弧所對的圓周角相等，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，根據(jù)，確定出，從而得到，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：設(shè)半徑為r，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
即，解得：，
即半徑為；
【小問3詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半徑為4，即，
∴．
22. 已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P使的周長最小，如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng)是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）由對稱性可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)得的周長最小，求出直線與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）設(shè)，而，
可得，再由直角三角形的邊的關(guān)系分類討論即可．
【小問1詳解】
解：將，B4,0，代入，
，
解得，
；
【小問2詳解】
解：存在點(diǎn)P，使得的周長最小，
理由如下：如圖，連接，交對稱軸于，
令，則，
，
，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵關(guān)于對稱軸對稱，
，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，CE長度固定不變，此時(shí)得的周長最小，
設(shè)直線的解析式為，
則，解得，
，
∴當(dāng)時(shí)，，
．
【小問3詳解】
解：存在點(diǎn)，使得為直角三角形，
理由如下：設(shè)，而，
，
當(dāng)時(shí)，，解得，
或；
當(dāng)時(shí)，，解得，
；
當(dāng)時(shí)，，解得，
；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

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