四川省自貢市田家炳中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分）
1. 下面四個(gè)圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義（在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形.而這個(gè)中心點(diǎn)，就叫做中心對(duì)稱點(diǎn).），進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：觀察圖形，只有選項(xiàng)B的圖形，繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后，能與自身完全重合，是中心對(duì)稱圖形；
故選：B．
2. 已知的半徑為5，點(diǎn)到圓心的距離為6，那么點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）
A. 點(diǎn)在上B. 點(diǎn)在內(nèi)C. 點(diǎn)在外D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外；點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，點(diǎn)在圓上；點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：
點(diǎn)在外．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是比較好點(diǎn)和圓心距離與半徑大?。?br>3. 下利事件中，是必然事件的是（）
A. 將油滴在水中，油會(huì)浮在水面上
B. 車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈
C. 如果，那么
D. 擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定正面向上
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：選項(xiàng)A，將油滴在水中，油會(huì)浮在水面上，是必然事件；選項(xiàng)B，車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；選項(xiàng)C，如果，那么，是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定正面向上，是隨機(jī)事件，故選A.
考點(diǎn)：必然事件；隨機(jī)事件.
4. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可以得到答案．
【詳解】解：由拋物線的頂點(diǎn)式可以得到y(tǒng)=2(x?1)2+3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．
5. 已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是-1，則的值是（）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程得，然后解關(guān)于的方程．
【詳解】解：把代入方程，得：，
解得：．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，熟知方程的解即為能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．
6. 將一元二次方程配方，其正確的結(jié)果是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】?jī)蛇叾技由?，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．
【詳解】解：，
配方得：，即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步驟是解答本題的關(guān)鍵．
7. 從，0，，3.14，這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到有理數(shù)的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】從所列五個(gè)實(shí)數(shù)中找到有理數(shù)的個(gè)數(shù)，利用概率公式求解即可．
【詳解】解：在所列的5個(gè)實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的有0，3.14，這3個(gè)數(shù)，
所以隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到有理數(shù)的概率是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的定義以及簡(jiǎn)單的概率計(jì)算．根據(jù)有理數(shù)的定義找出五個(gè)數(shù)中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，則的度數(shù)是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，，
∴；
故選A．
9. 如圖，是⊙O的切線，切點(diǎn)為，，，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系求出OA即可.
【詳解】解：連接OA，如圖，
∵是的切線，切點(diǎn)為A，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的半徑長(zhǎng)為2．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．連接常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，已知中，，，，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，且、、三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)經(jīng)過的路線的長(zhǎng)度是（）
A. 8B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)A經(jīng)過的路線是弧長(zhǎng)，計(jì)算出半徑和圓心角即可．
【詳解】解：中，，
∵，，
∴，，
∵A、、三點(diǎn)在同一條直線上，
∴，
由弧長(zhǎng)公式可知：
點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為：.
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)A經(jīng)過的弧的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．
11. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則代數(shù)式的最小值是（）
A. -8B. -5C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)Δ≥0得到的范圍，再將所求式子變形，用根與系數(shù)關(guān)系把它表示成的代數(shù)式，最后根據(jù)k的范圍得到所求代數(shù)式的最小值．
【詳解】解：∵有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴Δ≥0即，
整理得，
解得；
∵、是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
，
，
，
，
∵1，關(guān)于k的二次函數(shù)開口向上，
又∵對(duì)稱軸為k=-5，在對(duì)稱軸的右側(cè)關(guān)于k的二次函數(shù)隨著k的增大而增大，
又∵，
∴時(shí)，的值最小為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查元二次方程的根與判別式，利用根與系數(shù)關(guān)系，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用函數(shù)增減性求代數(shù)式的最小值是解題關(guān)鍵．
12. 二次函數(shù)的部分圖像如圖，圖像過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大．其中正確的結(jié)論有（）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由拋物線的對(duì)稱軸方程得到，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；由于時(shí)，，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為得，把代入可得，則，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)而此函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)④進(jìn)行判斷．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，
∴，即，故結(jié)論①正確；
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；
∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
∴，
∴，即，
∴，
∵拋物線開口向下，
∴，
∴，故結(jié)論③正確；
∵對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，故結(jié)論④錯(cuò)誤，
∴正確的結(jié)論有個(gè)．
故選：B．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
13. 如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠C＝120°，則∠A＝_____．
【答案】60°
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A+∠C＝180°，然后把∠C的度數(shù)代入計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得∠A+∠C＝180°，
所以∠A＝180°﹣120°＝60°．
故答案為：60°
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)、圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則______．
【答案】####
【解析】
【分析】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，負(fù)整數(shù)冪，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵．
根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系：橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即可求出a和b的值，從而求出結(jié)論．
【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，，
∴，
故答案為：．
15. 拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的拋物線的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的平移．熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移規(guī)律：左加右減，上加下減進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的拋物線的解析式是：；
故答案為：．
16. 已知△ABC三邊長(zhǎng)a=3，b=4，c=5，則它的內(nèi)切圓半徑是________
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切AC于E，切AB于F，切BC于D，連接OE、OF、OD、OA、OC、OB，內(nèi)切圓的半徑為R，則OE=OF=OD=R，根據(jù)S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
【詳解】解：如圖：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切AC于E，切AB于F，切BC于D，連接OE、OF、OD、OA、OC、OB，內(nèi)切圓的半徑為R，則OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×OE+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1.
故答案為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于R的方程，題目比較典型，難度適中．
17. 一個(gè)小組新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共______人.
【答案】9
【解析】
【分析】每個(gè)人都要送給他自己以外的其余人，等量關(guān)系為：人數(shù)×（人數(shù)﹣1）=72，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)這小組有x人．由題意得：
x（x﹣1）=72
解得：x1=9，x2=﹣8（不合題意，舍去）．
即這個(gè)小組有9人．
故答案為9．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到互送賀卡總張數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意理解答本題中互送的含義，這不同于直線上點(diǎn)與線段的數(shù)量關(guān)系．
18. 如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值是 ________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與軌跡圓綜合，中位線定理以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)與軌跡圓最值問題是解題的關(guān)鍵．連接、，利用勾股定理可得，可知是的中位線，則，當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在之間時(shí)，最大，則此時(shí)最大，求解即可．
【詳解】解：如圖，連接、，
令，則，
故點(diǎn)，
∵，
∴，
設(shè)圓的半徑為，則，

∵點(diǎn)Q、O分別為、的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在之間時(shí)，最大，
則此時(shí)最大，
此時(shí)，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共78分）
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：移項(xiàng)得：，
提公因式x-1得：，
∴或，
解得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．掌握利用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m為負(fù)整數(shù)時(shí)，求方程的兩個(gè)根．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，代入系數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)（1）中m的取值范圍得到m的取值，代入方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根
∴
解得：
（2）∵，m為負(fù)整數(shù)
∴
∴方程為
∴，
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，以及一元二次方程的解法，熟記Δ≥0時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，正方形網(wǎng)格中，為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)都是格點(diǎn)），將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到
（1）在正方形網(wǎng)格中，作出；（不要求寫作法）
（2）設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，求線段所掃過的圖形的面積．（結(jié)果保留π）
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格圖知：分別將對(duì)應(yīng)點(diǎn)按要求旋轉(zhuǎn)，再順次連接即可；
（2），旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形是為半徑的扇形，根據(jù)扇形公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
作圖如下：
【小問2詳解】
根據(jù)網(wǎng)格圖知：，
線段所掃過的圖形為圓心角為，半徑為4的扇形，
其面積為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖以及扇形面積公式；正確按要求作圖形是解題的關(guān)鍵．
22. 某校要求八年級(jí)同學(xué)在課外活動(dòng)中，必須在五項(xiàng)球類(籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活動(dòng)中任選一項(xiàng)(只能選一項(xiàng))參加訓(xùn)練，為了了解八年級(jí)學(xué)生參加球類活動(dòng)的整體情況，現(xiàn)以八年級(jí)(2)班作為樣本，對(duì)該班學(xué)生參加球類活動(dòng)的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖：
八年級(jí)(2)班參加球類活動(dòng)人數(shù)情況統(tǒng)計(jì)表
八年級(jí)(2)班學(xué)生參加球類活動(dòng)人數(shù)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)a＝，b＝．
(2)該校八年級(jí)學(xué)生共有600人，則該年級(jí)參加足球活動(dòng)的人數(shù)約人；
(3)該班參加乒乓球活動(dòng)的5位同學(xué)中，有3位男同學(xué)(A，B，C)和2位女同學(xué)(D，E)，現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成雙打組合，用樹狀圖或列表法求恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率．
【答案】(1)a＝16，b＝17.5(2)90(3)
【解析】
【分析】（1）首先求得總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比的定義求解；
（2）利用總數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的百分比即可求解；
（3）利用列舉法，根據(jù)概率公式即可求解．
【詳解】（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，
∴b=17.5，
故答案為16，17.5；
（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），
故答案為90；
（3）如圖，∵共有20種等可能的結(jié)果，兩名主持人恰為一男一女的有12種情況，
∴則P（恰好選到一男一女）==．
23. 有一種螃蟹，從河里捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購了這種活蟹千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克元，據(jù)測(cè)算，以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升元，但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出元，且平均每天還有千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克元．
（1）設(shè)天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為元，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果放養(yǎng)天后將活蟹一次性出售，并記千克蟹的銷售額為元，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（3）該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)（利潤(rùn)銷售總額收購成本費(fèi)用），最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）當(dāng)時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握運(yùn)用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升元”即可求解；
（2）根據(jù)題意可得銷售的活蟹的數(shù)量為：千克，由（1）可知市場(chǎng)價(jià)格為：元，由此即可求解；
（3）設(shè)總利潤(rùn)為，結(jié)合（2）的計(jì)算結(jié)果，運(yùn)用配方法即可求解．
【小問1詳解】
解：每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升元，
∴．
【小問2詳解】
解：由題意知，平均每天還有千克蟹死去，則銷售的活蟹的數(shù)量為：千克，由（1）可知市場(chǎng)價(jià)格為：元，
∴活蟹的銷售額為元，死蟹的銷售額為（元），
∴，
∴．
【小問3詳解】
解：設(shè)總利潤(rùn)為：
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
24. 函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．請(qǐng)結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫出函數(shù)的圖象，并探究其性質(zhì)．
列表如下：
（1）直接寫出表中a、b的值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；
（2）觀察函數(shù)的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
②時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為；
③時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小．
其中正確的是_________．（請(qǐng)寫出所有正確命題的序號(hào)）
（3）結(jié)合圖象，請(qǐng)直接寫出不等式的解集_________．
【答案】（1）2，；圖見解析（2）②③；（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)解析式分別求出和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；然后利用描點(diǎn)法畫出圖象即可；
（2）觀察圖象可知當(dāng)時(shí)，隨值的增大而增大；
（3）利用圖象即可解決問題．
【詳解】解：（1）把代入得，，
把代入得，，
，，
函數(shù)的圖象如圖所示：
（2）觀察函數(shù)的圖象，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象原點(diǎn)對(duì)稱；錯(cuò)誤；
②時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為；正確；
③時(shí)，函數(shù)的值隨的增大而減小，正確．
故答案②③；
（3）由圖象可知，函數(shù)與直線的交點(diǎn)為、、
不等式的解集為或．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠從表格中獲取信息，利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象解題．
25. 如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF，DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的長(zhǎng).
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）①連接OC，易證OC⊥AB，即可判定直線AB是⊙O的切線；
②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOC,再由圓周角定理可得，所以∠FDC=∠EDC；
（2）連接EF交OC于G，連接EC，先求得EF=8，根據(jù)垂徑定理得EG=FG=4,再求得OG=3，GC=2，在Rt△EGC中，根據(jù)勾股定理可得CE=，在Rt△ECD中，再由勾股定理可得CD=.
【詳解】解：（1）證明：①連接⊙O，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴直線AB是⊙O的切線．
②
（2）連接EF交OC于G，連接EC．
∵DE是直徑，
∴∠DFE=∠DCE=90°
在Rt△EGC中，CE=
在Rt△ECD中，CD=
【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：圓的切線的判定;勾股定理;等腰三角形性質(zhì)定理.
26. 如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸l與直線相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說明理由；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）的為直角三角形，理由見解析；（3）存在使與直線的夾角等于的2倍的點(diǎn)，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)，即可確定B、C的坐標(biāo)，然后用帶定系數(shù)法解答即可；
（2）先求出A、B的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，說明三角形APB為等腰三角形；再結(jié)合OB=OC得到∠ABP=45°，進(jìn)一步說明∠APB=90°，則∠APC=90°即可判定的形狀；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E；然后說明△ANB為等腰直角三角形，進(jìn)而確定N的坐標(biāo)；再求出AC的解析式，進(jìn)而確定M1E的解析式；然后聯(lián)立直線BC和M1E的解析式即可求得M1的坐標(biāo)；在直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可確定點(diǎn)M2的坐標(biāo)
【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)
∴當(dāng)x=0時(shí)，可得y=5，即C的坐標(biāo)為（0,5）
當(dāng)y=0時(shí)，可得x=5，即B的坐標(biāo)為（5,0）
∴解得
∴該拋物線的解析式為
（2）為直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，則x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵拋物線的對(duì)稱軸l為x=3
∴△APB為等腰三角形
∵C的坐標(biāo)為（5,0）, B的坐標(biāo)為（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的為直角三角形；
（3）如圖：作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E，
∵M(jìn)1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB為等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
設(shè)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函數(shù)解析式為y=-5x+5
設(shè)EM1的函數(shù)解析式為y=x+n
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函數(shù)解析式為y=x+
∵ 解得
∴M1的坐標(biāo)為（）；
在直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2
設(shè)M2（a，-a+5）
則有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐標(biāo)為（，）．
綜上，存在使與直線的夾角等于的2倍的點(diǎn)，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖像、三角形外角等知識(shí)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
項(xiàng)目
籃球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人數(shù)
a
6
5
7
6
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
…

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