專題8.3期末復(fù)習(xí)之選填壓軸題十五大題型總結(jié)-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc26071" 【題型1 利用勾股定理求面積】 PAGEREF _Tc26071 \h 1
\l "_Tc13021" 【題型2 網(wǎng)格中勾股定理的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc13021 \h 7
\l "_Tc30813" 【題型3 由勾股定理求立體幾何圖形中的最短路徑】 PAGEREF _Tc30813 \h 10
\l "_Tc20500" 【題型4 一次函數(shù)中面積有關(guān)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc20500 \h 14
\l "_Tc1655" 【題型5 利用一次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值范圍】 PAGEREF _Tc1655 \h 20
\l "_Tc18468" 【題型6 利用一次函數(shù)的性質(zhì)求值】 PAGEREF _Tc18468 \h 25
\l "_Tc15435" 【題型7 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象】 PAGEREF _Tc15435 \h 28
\l "_Tc15679" 【題型8 判斷直角三角形】 PAGEREF _Tc15679 \h 33
\l "_Tc18266" 【題型9 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc18266 \h 38
\l "_Tc21134" 【題型10 一次函數(shù)的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc21134 \h 42
\l "_Tc792" 【題型11 平行線在翻折中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc792 \h 46
\l "_Tc20221" 【題型12 平行線中的分類討論思想的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc20221 \h 52
\l "_Tc5876" 【題型13 數(shù)式或圖形中新定義問(wèn)題】 PAGEREF _Tc5876 \h 59
\l "_Tc12173" 【題型14 數(shù)式或圖形中多結(jié)論問(wèn)題】 PAGEREF _Tc12173 \h 63
\l "_Tc31224" 【題型15 數(shù)式或圖形中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc31224 \h 69
【題型1 利用勾股定理求面積】
【例1】（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，分別以Rt△ACB的直角邊AB和斜邊AC為邊向外作正方形ABGF和正方形ACDE，連結(jié)EF．已知CB=6，EF=10，則△AEF的面積為（）
A．63B．83C．24D．12
【答案】D
【分析】連接CE,CF,BE,BF，設(shè)BE,CF交于點(diǎn)M，AC,BE交于點(diǎn)N，證明△ABE≌△AFC SAS，進(jìn)而證明CF⊥BE，根據(jù)勾股定理得出AB2=16，AC2=52，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥EF于點(diǎn)T，勾股定理求得AT，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：如圖，
連接CE,CF,BE,BF，設(shè)BE,CF交于點(diǎn)M，AC,BE交于點(diǎn)N，
∵四邊形ACDE,ABGF是正方形，
∴AC=AE,AB=AF，∠EAC=∠FAB=90°
∴∠EAC+∠CAB=∠BAF+∠CAB
即∠EAB=∠CAF，
∴△ABE≌△AFC SAS，
∴∠ACF=∠AEB，
∵∠CNE=∠CMN+∠ACF=∠NAE+∠AEB，
∴∠CMN=∠NAE=90°，
即CF⊥BE，
∴CM2+BM2=CB2,EM2+FM2=EF2，BM2+MF2=BF2,CM2+EM2=EC2，
∴CM2+BM2+EM2+FM2=CB2+EF2
∴BF2+CE2=CB2+EF2=62+102=136
又∵EC=2AC,BF=2AB，
∴2AB2+2AC2=136
又∵AC2?AB2=BC2=36，
解得：AB2=16，AC2=52，
∴AF=AB=4,AE=AC=213，
過(guò)點(diǎn)A作AT⊥EF于點(diǎn)T，
設(shè)ET=x
∴AT2=AE2?ET2=AF2?10?ET2
即52?x2=16?10?x2，
解得：x=345=6.8
∴AT=52?6.82=5.76=2.4
∴S△AEF=12×10×2.4=12，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明CF⊥BE是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023上·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長(zhǎng)方形紙板的邊長(zhǎng)DE=10，EF=11，在紙板內(nèi)部畫Rt△ABC，并分別以三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，當(dāng)邊HI、LM和點(diǎn)K、J都恰好在長(zhǎng)方形紙板的邊上時(shí)，則△ABC的面積為（）
A．6B．112C．254D．35
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)CA與GF交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)CB與EF交于點(diǎn)P，設(shè)AC=b，BC=a，則AB=a2+b2，證明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用長(zhǎng)方形DEFG的面積=十個(gè)小圖形的面積和進(jìn)而求得ab=12，即可求解．
【詳解】解：延長(zhǎng)CA與GF交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)CB與EF交于點(diǎn)P，
設(shè)AC=b，BC=a，則AB=a2+b2，
∵四邊形ABJK是正方形，四邊形ACML是正方形，四邊形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，
∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11，
∴a+b=7，
∴a2+b2=49-2ab，
∵長(zhǎng)方形DEFG的面積=十個(gè)小圖形的面積和，
∴10×11=3ab+12ab×4+a2+b2+(a2+b2)2，
整理得：5ab+2(a2+b2)=110，
把a(bǔ)2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，
∴ab=12，
∴△ABC的面積為12ab=6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和直角三角形．
【變式1-2】（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，已知∠ADB=∠ACB=90°，∠CAB=45°，CD=2，BC=5，則四邊形ABCD的面積為（）
A．22B．3C．72D．4
【答案】B
【分析】如圖，延長(zhǎng)BC，AD，二線交于點(diǎn)E，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C分別作CG⊥DE，垂足為G，CF⊥DB，垂足為F，證明△AGC≌△BFC即可．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)BC，AD，二線交于點(diǎn)E，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，
∵∠ACB=∠ADB=90°，∠ADM=∠BCM，∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠BCM=90°，∠EAC=∠MBC，AC=BC，
∴△ACE≌△BCM，
∴∠AEC=∠BMC，CM=CE，
過(guò)點(diǎn)C分別作CG⊥DE，垂足為G，CF⊥DB，垂足為F，
∵∠AEC=∠BMC，CM=CE，
∴△GEC≌△FMC，
∴GC=FC，
∴DC平分∠BDE，∠GDC=∠FDC=45°，四邊形CGDF是正方形，
∵CD=2，
∴CG=GD=DF=FC=1，
∵BC=5，
∴BF=(5)2?1=2，
∵∠GAC=∠FBC，GC=FC，
∴△AGC≌△BFC，
∴AG=BF=2，AD=AG-DG=1，BD=BF+DF=3，
∴S四邊形ABCD=12BD·CF+12BD·AD
=12BD·(DG+AD)=12BD·AG
=12×3×2=3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的判定定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等，勾股定理，靈活運(yùn)用角的平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023下·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面積為52，則點(diǎn)F到BC的距離為（）
A．55B．255C．455D．433
【答案】B
【分析】首先求出△ABD的面積．根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，根據(jù)12?BD?h＝12?BF?DF，求出BD即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝52，
∴S△ADE＝5，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴12?(AF+DF)?BF＝5，
∴12?(4+DF)?2＝5，
∴DF＝1，
∴DB＝BF2+DF2＝12+22＝5，
設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，
則12?BD?h＝12?BF?DF，
即：12×5?=12×2×1，
∴h＝255，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
【題型2 網(wǎng)格中勾股定理的運(yùn)用】
【例2】（2023下·安徽亳州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有a，b，c，d四條線段，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【分析】由圖形和勾股定理可得a，b，c，d四條線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得到構(gòu)成直角三角形的個(gè)數(shù)．
【詳解】解：由圖可得：a=12+12=2，b=32+32=32，c=22+22=22，d=12+32=10，
∵22+222=2+8=10=102，102+222=10+8=18=322，
∴線段a、c、d和b、c、d可以構(gòu)成直角三角形，
∴從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023下·寧夏吳忠·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA=（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得PD2=BD2=5，PB2=10，求得PD2+BD2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，
則PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+BD2=PB2，
∴∠PDB=90°，則△DPB為等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在格點(diǎn)（正方形的頂點(diǎn)）上．

（1）線段AB的長(zhǎng)為；
（2）若△ABC是直角三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的格點(diǎn)C共有個(gè)．
【答案】 5 6/六
【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）根據(jù)直角三角形的概念，畫出圖形即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖，

由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+12=5，
故答案為：5；
（2）解：如圖所示，共有6個(gè)，

故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023下·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C、D、E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC?∠DAE的為度．

【答案】45
【分析】連接CG、AG，根據(jù)勾股定理可以得出△CAG是等腰直角三角形，利用平行線性質(zhì)得到∠ACF=∠BAC，從而可證△CFG≌△ADESAS，得到∠FCG=∠DAE，利用∠BAC?∠DAE=∠ACF?∠FCG求出結(jié)果即可．
【詳解】解：如圖，連接CG、AG，

由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，
∴AC2+AG2=CG2，
∴∠CAG=90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG=45°，
∴CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
在△CFG和△ADE中
CF=AD∠CFG=∠ADE=90°FG=DE
∴△CFG≌△ADESAS
∴∠FCG=∠DAE
∴∠BAC?∠DAE=∠ACF?∠FCG=∠ACG=45°，
故答案為：45．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線利用網(wǎng)格線的特征是解答本題的關(guān)鍵．
【題型3 由勾股定理求立體幾何圖形中的最短路徑】
【例3】（2023上·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)校考期末）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）
A．20cmB．413cmC．10cmD．273cm
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得圓柱形容器的側(cè)面展開圖為矩形MNPQ，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得MK、KB，延長(zhǎng)AM于點(diǎn)A′，且AM=A′M，連接A′B，A′B交MQ于點(diǎn)S，連接AS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明△AMS≌△A′MS，得AS=A′S；根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑為AS+BS，根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得A′B，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，圓柱形容器的側(cè)面展開圖為矩形MNPQ，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥NP，交NP于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥MN，交MN于點(diǎn)K；
根據(jù)題意，得：AM=3cm，MQ=NP=16cm，MN=QP=12cm，NH=PH，BH=3cm
∴NH=PH=12NP=8cm
∵BH⊥NP，BK⊥MN，∠N=90°
∴四邊形KNHB為矩形
∴KB=NH=8cm，KN=BH=3cm，∠AMQ=90°
∴MK=MN?KN=12?3=9cm
如下圖，延長(zhǎng)AM于點(diǎn)A′，且AM=A′M，連接A′B，A′B交MQ于點(diǎn)S，連接AS
在△AMS和△A′MS中
A′M=AM∠A′MS=∠AMS=90°MS=MS
∴△AMS≌△A′MS
∴AS=A′S
根據(jù)題意，螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑為AS+BS
∵A′M=AM
∵AM=A′M=3cm
∴A′K=A′M+MK=12cm
∴A′B=A′K2+KB2=413cm
∴AS+BS=A′S+BS=A′B=413cm，即螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是413cm
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形、勾股定理、兩點(diǎn)之間直線段最短、矩形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、勾股定理、兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，從而完成求解．
【變式3-1】（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面直徑BC=6π，高AB=3，小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為（）
A．18B．48C．120D．72
【答案】D
【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，
點(diǎn)A，C的最短距離為線段AC的長(zhǎng).
∵已知圓柱的底面直徑BC=6π，
∴AD=π?6π÷2=3，
在RtΔADC中，∠ADC=90° ，CD=AB=3，
∴AC2=AD2+CD2=18，
∴從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為2AC2=4AC2=72.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．
【變式3-2】（2023上·重慶·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為 dm．
【答案】17
【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為8dm，寬為2+3×3dm，
則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．
可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，
由勾股定理得：x2=82+[2+3×3]2=172，
解得x=17．
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開?最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答.
【變式3-3】（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)濱湖中學(xué)?？计谀├忾L(zhǎng)分別為5cm，4cm兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E1P=14E1F1，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是

【答案】106cm
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短的定理，將正方體展開即可解題.
【詳解】將兩個(gè)立方體平面展開，將E1F1G1B2面以E1B2為軸向上展開，連接A、P兩點(diǎn)，得到三角形APE，AE=4+5=9，EP=4+1=5，AP=92+52=106cm.
【題型4 一次函數(shù)中面積有關(guān)的計(jì)算】
【例4】（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在一次函數(shù)y=?3x+b的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為-1，1，2，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）
A．3B．4.5C．3(b?1)D．32(b?2)
【答案】B
【詳解】試題解析：將A、B、C的橫坐標(biāo)代入到一次函數(shù)中；
解得A（-1，b+3），B（1，b-3），C（2，b-6）．
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，三個(gè)陰影部分三角形全等，底邊長(zhǎng)為2-1=1，高為（b-3）-（b-6）=3，
可求得陰影部分面積為：S=12×1×3×3=4.5.
故選B．
【變式4-1】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（-2，0），C（a，-a），△ABC的面積小于10，則a的取值范圍是．
【答案】?143y1 ，
∴0

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