1．空間向量的有關概念
2.空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理
空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②交換律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5.空間位置關系的向量表示
(1)直線的方向向量
直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．
(2)平面的法向量
直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．
(3)
微思考
1．基向量和基底一樣嗎？0是否能作為基向量？
提示 不一樣．基底是指一個向量組，基向量是基底中的某一個向量；因為0與其他兩個非零向量共面，所以0不能作為基向量．
2．用向量法證明空間的線、面垂直關系的關鍵是什么？
提示 需要確定直線的方向向量和平面的法向量，然后把證明線、面的垂直關系轉化為向量間的關系．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.( × )
(2)在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)．( √ )
(3)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反．( √ )
(4)任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底．( × )
題組二 教材改編
2．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則下列各項中，能構成空間向量的基底的一組向量是( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
答案 C
解析 對于A，因為(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能構成基底，排除A；對于B，因為(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能構成基底，排除B；對于D，a＋2b＝eq \f(3,2)(a＋b)－eq \f(1,2)(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能構成基底，排除D；對于C，若c，a＋b，a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，則a，b，c共面，與eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b，c))為空間向量的一組基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以構成空間向量的一組基底．
3.如圖，在四面體OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，則eq \(MN,\s\up6(→))＝________.
答案 －eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
解析 如圖，連接ON，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(2,3)a＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
4．設直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，
∴m＝10.
題組三 易錯自糾
5．向量m是直線l的方向向量，向量n是平面α的法向量，“m⊥n”是“l(fā)∥α”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 由l∥α，得m⊥n，所以m⊥n是l∥α的必要條件；而由m⊥n不一定有l(wèi)∥α，也可能l?α，故m⊥n不是l∥α的充分條件．
6．已知A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外任意一點，若點M滿足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(BC,\s\up6(→))，則點M________(填“屬于”或“不屬于”)平面ABC.
答案 屬于
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OC,\s\up6(→))，
∵eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(2,5)＝1，
∴M，A，B，C四點共面．
即點M∈平面ABC.
題型一 空間向量的線性運算
1．在三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(OG,\s\up6(→))，則下列表示正確的是( )
A.eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)?\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))?－\(OA,\s\up6(→))))＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AA1,\s\up6(→))，則實數(shù)x＋y的值為( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
答案 D
解析 eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(D1P,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AA1,\s\up6(→))，故x＝eq \f(1,2)，y＝1，所以x＋y＝eq \f(3,2).
3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N分別是面對角線A1B與B1D1的中點，若eq \(DA,\s\up6(→))＝a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b，eq \(DD1,\s\up6(→))＝c，則eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(c＋b－a) B.eq \f(1,2)(a＋b－c) C.eq \f(1,2)(a－c) D.eq \f(1,2)(c－a)
答案 D
解析 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(—→))＋eq \(B1C1,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(－b＋c)＋eq \f(1,2)(b－a)＝eq \f(1,2)(c－a)．
4．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，若eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))＋2zeq \(CC′,\s\up6(—→))，則x＋y＋z等于( )
A.eq \f(5,2) B．2
C.eq \f(3,2) D.eq \f(11,6)
答案 A
解析 由空間向量的線性運算，得eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))))＋eq \(CC′,\s\up6(—→))，
由題意知，eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))＋2zeq \(CC′,\s\up6(—→))，
則x＝1，y＝1,2z＝1，z＝eq \f(1,2)，
所以x＋y＋z＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
思維升華 用基向量表示指定向量的方法
(1)結合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
題型二 共線向量定理、共面向量
定理的應用
例1 已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
(1)判斷eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．
解 (1)由題知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(OM,\s\up6(→))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
即eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
所以eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)由(1)知，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面且基線過同一點M，
所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi)．
思維升華 證明空間四點P，M，A，B共面的方法
(1)eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(2)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(3)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→)))．
跟蹤訓練1 如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判斷向量eq \(MN,\s\up6(→))是否與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
解 因為eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))
＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(—→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
題型三 空間向量數(shù)量積及其應用
例2 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)eq \(EG,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
解 設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，
eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EG,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DG,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\(AG,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋\f(1,2)c))·(c－a)
＝eq \f(1,2).
已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，4)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))
答案 B
解析 設正方體內(nèi)切球的球心為O，則OM＝ON＝1，
eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))＋\(OM,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))＋\(ON,\s\up6(→))))＝eq \(PO,\s\up6(→))2＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))＋\(ON,\s\up6(→))))＋eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))，
∵MN為球O的直徑，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝0，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝－1，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1，
又P在正方體表面上移動，
∴當P為正方體頂點時，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))最大，最大值為eq \r(3)；當P為內(nèi)切球與正方體的切點時，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→))))最小，最小值為1，
∴eq \(PO,\s\up6(→))2－1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，
即eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2)).
思維升華 由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確．
跟蹤訓練2 如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，試采用向量法解決下列問題：
(1)求eq \(EF,\s\up6(→))的模長；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))的夾角．
解 (1)因為正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，
eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b－a)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c.
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(b－a)－a＋eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)(c－a－b)，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(c－a－b)2＝eq \f(1,4)(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)
＝eq \f(1,4)(1＋1＋1－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°)＝eq \f(1,2)，
故|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
(2)在正四面體ABCD中，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－a－b)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
同理，eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b＋c－a)，|eq \(GH,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(GH,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(GH,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2)?c－a－b?·\f(1,2)?b＋c－a?,\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2))
＝eq \f(1,2)[(c－a)2－b2]＝eq \f(1,2)(c2＋a2－2c·a－b2)
＝eq \f(1,2)(1＋1－2×1×1×cs 60°－1)＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))與eq \(GH,\s\up6(→))的夾角為90°.
題型四 向量法證明平行、垂直
例3 如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，點E和F分別為BC和A1C的中點．
(1)求證：EF∥平面A1B1BA；
(2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1.
證明 因為AB＝AC，E為BC的中點，
所以AE⊥BC.
因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為AB＝3，BE＝eq \r(5)，
所以AE＝2，
所以E(0,0,0)，C(eq \r(5)，0,0)，A(0，2,0)，B(－eq \r(5)，0,0)．
A1(0,2，eq \r(7))，則Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2))).
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(5)，－2,0)，
eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq \r(7))．
設平面AA1B1B的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AA1,\s\up6(→))＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))取eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))
所以n＝(－2，eq \r(5)，0)．
因為eq \(EF,\s\up6(→))·n＝eq \f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq \r(5)＋eq \f(\r(7),2)×0＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥n.
又EF?平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因為EC⊥平面AEA1，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝(eq \r(5)，0,0)為平面AEA1的一個法向量．
又EA⊥平面BCB1，
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(0,2,0)為平面BCB1的一個法向量．
因為eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝0，
所以eq \(EC,\s\up6(→))⊥eq \(EA,\s\up6(→))，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
思維升華 (1)利用向量法證明平行問題
①線線平行：方向向量平行．
②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直．
③面面平行：兩平面的法向量平行．
(2)利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法
跟蹤訓練3 如圖正方形ABCD的邊長為2eq \r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，F(xiàn)O＝eq \r(3)，且FO⊥平面ABCD.
(1)求證：AE∥平面BCF；
(2)求證：CF⊥平面AEF.
證明 如圖，
取BC的中點H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，
故以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(xiàn)(0,0，eq \r(3))，B(1,2,0)．
eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，eq \(CF,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq \r(3))，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－3,0，eq \r(3))．
(1)設平面BCF的一個法向量為n＝(x，y，z)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\(CF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2y＝0，,x＋\r(3)z＝0，))
取z＝1，得n＝(－eq \r(3)，eq \r(3)，1)．
又四邊形BDEF為平行四邊形，
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq \r(3))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))
＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，eq \r(3))
＝(－3，－4，eq \r(3))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·n＝3eq \r(3)－4eq \r(3)＋eq \r(3)＝0，∴eq \(AE,\s\up6(→))⊥n，
又AE?平面BCF，
∴AE∥平面BCF.
(2)∵eq \(AF,\s\up6(→))＝(－3,0，eq \r(3))，eq \(CF,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，
由(1)知eq \(AE,\s\up6(→))＝(－3，－4，eq \r(3))，
∴eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，
eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，
∴eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(AE,\s\up6(→))，
即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
課時精練
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A.eq \f(7,5) B．2 C.eq \f(5,3) D．1
答案 A
解析 因為a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝－1，|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(5)，
又ka＋b與2a－b互相垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝eq \f(7,5).
2.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點為O，點M在BC′上，且BM＝2MC′，則下列向量中與eq \(OM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(7,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up6(—→))
答案 C
解析 因為BM＝2MC′，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))，
在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，
eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA′,\s\up6(—→)).
3．在空間四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．不確定
答案 B
解析 如圖，
令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
4.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C．1 D.eq \r(3－\r(2))
答案 D
解析 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，
故|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
5．(多選)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為120°，則λ的值為( )
A．17 B．－17
C．－1 D．1
答案 AC
解析 由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(1＋λ2＋4)＝eq \r(5＋λ2)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq \r(4＋1＋1)＝eq \r(6)，
∴cs 120°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－λ－4,\r(5＋λ2)·\r(6))＝－eq \f(1,2)，
解得λ＝17或λ＝－1，故選AC.
6．(多選)已知空間中三點A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，則( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))是共線向量
B.eq \(AB,\s\up6(→))的單位向量是(1,1,0)
C.eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))夾角的余弦值是－eq \f(\r(55),11)
D．平面ABC的一個法向量是(1，－2,5)
答案 CD
解析 由題意，對于A，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))≠λeq \(AC,\s\up6(→))，則eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))不是共線向量，所以不正確；
對于B，因為eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))的單位向量為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)，0))，所以不正確；
對于C，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，0))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，1，1))，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝－eq \f(\r(55),11)，所以C正確；
對于D，設平面ABC的一個法向量是n＝(x，y，z)，因為eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,－x＋2y＋z＝0，))令x＝1，
所以平面ABC的一個法向量為n＝(1，－2,5)，所以正確，故選CD.
7.(2021·西安模擬)如圖所示，在四面體OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq \(OE,\s\up6(→))＝________________(用a，b，c表示)．
答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析 eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
8．若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，則與a＋b同方向的單位向量是____________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))
解析 與a＋b同方向的單位向量是eq \f(1,\r(5))(0,1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).
9．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三點共線，則xy＝________.
答案 2
解析 由三點共線得向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線，
即eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，
(3,4，－8)＝k(x－1，y＋2,4)，eq \f(x－1,3)＝eq \f(y＋2,4)＝eq \f(4,－8)，
解得x＝－eq \f(1,2)，y＝－4，∴xy＝2.
10．在一直角坐標系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為________．
答案 2eq \r(17)
解析 在直角坐標系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60°的二面角后，
A(－1,6)在平面Oxy上的射影為C，
作BD⊥x軸，交x軸于點D，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))
＝62＋42＋82－2×6×8×eq \f(1,2)＝68，
所以AB＝2eq \r(17).
11.如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC＝BC＝BB1.
(1)求證：BC1⊥AB1；
(2)求證：BC1∥平面CA1D.
證明 如圖，以C1為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
設AC＝BC＝BB1＝2，
則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)連接AB1，
∵eq \(BC,\s\up6(→))1＝(0，－2，－2)，
eq \(AB,\s\up6(→))1＝(－2,2，－2)，
∴eq \(BC,\s\up6(→))1·eq \(AB,\s\up6(→))1＝0－4＋4＝0，
∴eq \(BC,\s\up6(→))1⊥eq \(AB,\s\up6(→))1，即BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中點E，連接DE，
∵E(1,0,1)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
又eq \(BC,\s\up6(→))1＝(0，－2，－2)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))1，
且ED和BC1不重合，則ED∥BC1.
又ED?平面CA1D，BC1?平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
12.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱B1B，D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
(1)求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；
(2)若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．
(1)證明 連接AC1(圖略)，
∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AA1,\s\up6(→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AA1,\s\up6(→))))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).
∴A，E，C1，F(xiàn)四點共面．
(2)解 ∵eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BB1,\s\up6(→))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，
又eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，
∴x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3).
∴x＋y＋z＝－1＋1＋eq \f(1,3)＝eq \f(1,3).
13．(多選)已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，下列等式中正確的是( )
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b－c))
答案 BCD
解析 由題意知b·c＝－3＋0＋3＝0，
所以a·b＝b·c＝a·c＝0，
(a·b)c＝0，b·c＝0，不相等，所以A選項錯誤；
(a＋b)·c－a·(b＋c)＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，
所以(a＋b)·c＝a·(b＋c)，所以B選項正確；
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C選項正確；
(a－b－c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，
即(a＋b＋c)2＝(a－b－c)2，|a＋b＋c|＝|a－b－c|，所以D選項正確．
14.如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GA,\s\up6(→))1，AC1與平面EFG交于點M，則eq \f(AM,AC1)＝________.
答案 eq \f(2,13)
解析 由題圖知，設eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AC1,\s\up6(→))(0

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