2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.5-空間向量及空間位置關(guān)系【導(dǎo)學(xué)案】-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．空間直角坐標(biāo)系
(1)在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置．
(2)借助特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式．
2．空間向量及其運(yùn)算
(1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．
(2)經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程．
3．向量基本定理及坐標(biāo)表示
(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．
(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示．
(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．
【必備知識】精歸納
1．空間向量有關(guān)概念
(1)單位向量：模為1的向量．
(2)共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．
(3)共面向量：平行于同一個平面的向量．
點(diǎn)睛 (1)0與任意向量平行．
(2)空間中任意兩個向量是共面向量，任意三個向量不一定是共面向量．
2．空間向量有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對空間中任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b，c)) 叫做空間的一個基底．
3．空間向量有關(guān)運(yùn)算
設(shè)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1，a2，a3)) ，b＝(b1，b2，b3)，
(1)坐標(biāo)運(yùn)算：則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)λ∈R．
(2)數(shù)量積運(yùn)算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝|a||b|cs 〈a，b〉．
點(diǎn)睛向量a在向量b上的投影向量設(shè)為向量c，向量c與向量b共線，c＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) cs 〈a，b〉 eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) .
4．空間向量有關(guān)公式
(1)空間兩點(diǎn)間距離公式
已知P1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1，z1)) ，P2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2，z2)) ，則
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1P2)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z2－z1))2) ．
(2)空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)公式
設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)為P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中點(diǎn)，則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2),y＝\f(y1＋y2,2),z＝\f(z1＋z2,2))) .
(3)空間向量共線與垂直公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，其中b≠0，
則a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).
(4)空間向量模與夾角公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
則|a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ；
cs a，b＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋z eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) .
1．對空間任意一點(diǎn)O，若三點(diǎn)P，A，B滿足 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(PB,\s\up6(→)) ? eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＝1)?P，A，B三點(diǎn)共線．
2．證明空間四點(diǎn)共面的方法
對空間任意一點(diǎn)O，若四點(diǎn)P，M，A，B滿足 eq \(MP,\s\up6(→)) ＝m eq \(MA,\s\up6(→)) ＋n eq \(MB,\s\up6(→)) ? eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OM,\s\up6(→)) ＋y eq \(OA,\s\up6(→)) ＋z eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)?P，M，A，B四點(diǎn)共面．
1.(教材變式)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，AA1＝c，則下列向量中與 eq \(BM,\s\up6(→)) 相等的向量是( )
A．－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c
C．－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c D． eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋c
【解析】選A. eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋AA1＋A1M
＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (A1B1＋A1D1)
＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (a＋b)＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋c.
2．(教材提升)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是( )
A．2 eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) B．2 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→))
C．2 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) D．2 eq \(EF,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→))
【解析】選B.2 eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→))
＝2| eq \(BA,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs 120°＝－a2，
2 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝2| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(BD,\s\up6(→)) |cs 60°＝a2，
2 eq \(FG,\s\up6(→)) · eq \(CA,\s\up6(→)) ＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FG,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→)))) cs 180°
＝2× eq \f(a,2) ×a× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1)) ＝－a2，
2 eq \(EF,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝a×a×cs 120°＝－ eq \f(a2,2) .
3．(向量運(yùn)算錯誤)對于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是( )
A．若a∥b且b∥c，則a∥c
B．a(chǎn)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c)) ＝a·b＋a·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，則b＝c
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b)) c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b·c))
【解析】選B.若b＝0，則由a∥b且b∥c，不能得出a∥c，A錯；
由數(shù)量積對向量加法的分配律知B正確；
若a·b＝a·c，則a·(b－c)＝0，當(dāng)a⊥(b－c)時就成立，不一定有b＝c，C錯；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b)) c是與c平行的向量，a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b·c)) 是與a平行的向量，它們不一定相等，D錯．
4．(結(jié)論1)已知空間三點(diǎn)A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一條直線上，則實(shí)數(shù)k的值是( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
【解析】選D.因?yàn)榭臻g三點(diǎn)A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一條直線上，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，3)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4，2－k)) ，
故 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) .所以k＝－4 .
5．(結(jié)論2)在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是( )
A． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→))
B． eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,5) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→))
C． eq \(MA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(MC,\s\up6(→)) ＝0
D． eq \(OM,\s\up6(→)) ＋ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0
【解析】選C.根據(jù)向量共面定理，
eq \(OM,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ＋z eq \(OC,\s\up6(→)) ，若A，B，C不共線，
且A，B，C，M共面，則其充要條件是x＋y＋z＝1，
由此可得A，B，D不正確；
選項(xiàng)C： eq \(MA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(MB,\s\up6(→)) － eq \(MC,\s\up6(→)) ，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面．
6．(漏掉同向共線)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為( )
A．(8，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，8)) ∪(8，＋∞)
【解析】選D.夾角為銳角，則a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－ eq \f(5,2) ，
當(dāng)a∥b時， eq \f(－2,－4) ＝ eq \f(1,2) ＝ eq \f(4,t) ，得t＝8，
所以t的取值范圍為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，8)) ∪(8，＋∞).
【題型一】空間向量的線性運(yùn)算
[典例1](1)(多選題)(2022·保定模擬)如圖所示， M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN， eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) ，設(shè) eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，則下列等式成立的是( )
A. eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c
B． eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a
C． eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) b－ eq \f(1,4) c－ eq \f(3,4) a
D． eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c
【解析】選BD.根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算法則：
eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c，故A選項(xiàng)錯誤；
eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a，
故B選項(xiàng)正確；
eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) ( eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c－a)＝－ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c，故C選項(xiàng)錯誤；
eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝a＋(－ eq \f(3,4) a)＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b＋ eq \f(1,4) c，故D選項(xiàng)正確．
(2)(2023·昆明模擬)已知空間向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1) ，則a－b＋2c＝__________．
【解析】因?yàn)閍＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3).
答案：(－4，3，3)
空間向量線性運(yùn)算的解題策略
1．用已知向量來表示未知向量，結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
2．將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．利用三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知向量表示出來．
3．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
1．(2023·日照模擬)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1C1的中點(diǎn)，若 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝x＋y eq \(AB,\s\up6(→)) ＋z eq \(AD,\s\up6(→)) ，則( )
A.x＝1，y＝ eq \f(1,2) ，z＝－ eq \f(1,2)
B．x＝1，y＝－ eq \f(1,2) ，z＝ eq \f(1,2)
C．x＝ eq \f(1,2) ，y＝1，z＝－ eq \f(1,2)
D．x＝－ eq \f(1,2) ，y＝1，z＝ eq \f(1,2)
【解析】選B.由題意得,=++=-+12
=-+12+12=-12+12,所以x=1,y=-12,z=12.
2．(2022·保定模擬)如圖，在四面體OABC中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，且 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EA,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ，則 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,3) a－ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c B． eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c
C．－ eq \f(1,3) a－ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c D．－ eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c
【解析】選D.連接OF，因?yàn)?eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) ( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c，
又 eq \(OE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a，所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \(OF,\s\up6(→)) － eq \(OE,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) a＋ eq \f(3,4) b＋ eq \f(1,4) c.
【加練備選】
(2022·寧波模擬)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝c，則＝( )
A． eq \f(4,3) a－ eq \f(3,2) b－c B． eq \f(4,3) a－b－ eq \f(4,3) c
C． eq \f(4,3) a－ eq \f(2,3) b－ eq \f(4,3) c D．a(chǎn)－ eq \f(3,2) b－ eq \f(4,3) c
【解析】選C.設(shè)＝m， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝n，
則 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝a＝m＋ eq \f(1,2) n＋c， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝b＝n＋ eq \f(1,2) m.
所以n＝b－ eq \f(1,2) m，a＝m＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)m)) ＋c，
所以m＝ eq \f(4,3) a－ eq \f(2,3) b－ eq \f(4,3) c.
【題型二】共線、共面向量定理及應(yīng)用
[典例2](1) eq \a\vs4\al(金榜原創(chuàng)·易錯對對碰)
①對于空間中的四點(diǎn)A，B，C，P，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(5,8) eq \(AC,\s\up6(→)) ，則P，B，C 三點(diǎn)( )
A．不共面 B．共面
C．共線 D．不共線
②對于空間中的四點(diǎn)A，B，C，P，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,8) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,8) eq \(AC,\s\up6(→)) ，則P，A，B，C 四點(diǎn)( )
A．不共面 B．共面
C．共線 D．不共線
【解析】①選C.因?yàn)橄蛄科瘘c(diǎn)相同，系數(shù)和為1，所以P，B，C 三點(diǎn)共線．
②選B.由共面向量定理可得．
(2)與向量n＝(1，－1，2)反向的單位向量的坐標(biāo)為( )
A．(－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),3) ) B．( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) )
C．(－1，1，－2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))
【解析】選A.因?yàn)?eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)) ＝ eq \r(1＋1＋4) ＝ eq \r(6) ，
所以與向量n反向的單位向量為－ eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(6))，\f(1,\r(6))，－\f(2,\r(6)))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3))) .
[變式1]本例(2)中“反向”改為“同向”．
【解析】選B.與向量n同向的單位向量為
eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝( eq \f(1,\r(6)) ，－ eq \f(1,\r(6)) ， eq \f(2,\r(6)) )＝( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) ).
[變式2](多選題)本例(2)中“反向”改為“共線”．
【解析】選AB.與向量n共線的單位向量為
± eq \f(n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))) ＝±( eq \f(1,\r(6)) ，－ eq \f(1,\r(6)) ， eq \f(2,\r(6)) )＝( eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),3) )或(－ eq \f(\r(6),6) ， eq \f(\r(6),6) ，－ eq \f(\r(6),3) ).
(3)已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－2)) ，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2，λ)) ，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝( )
A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D．3
【解析】選B.因?yàn)閍，b，c三向量共面，
所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2，λ)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3m，－m，2m)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－n，3n，－2n)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m－n＝6,3n－m＝2,2m－2n＝λ)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(3,2)，,λ＝2.))
1．共線、共面向量定理的應(yīng)用
(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點(diǎn)共線；
(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行，四點(diǎn)共面；
(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值；
(4)與a同向的單位向量為 eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) ，反向的單位向量為－ eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) ，共線的單位向量為± eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))) .
2．證明四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法
(1) eq \(MP,\s\up6(→)) ＝x eq \(MA,\s\up6(→)) ＋y eq \(MB,\s\up6(→)) ；
(2)對空間任意一點(diǎn)O， eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OM,\s\up6(→)) ＋x eq \(MA,\s\up6(→)) ＋y eq \(MB,\s\up6(→)) ；
(3)對空間任意一點(diǎn)O，
eq \(OP,\s\up6(→)) ＝x eq \(OM,\s\up6(→)) ＋y eq \(OA,\s\up6(→)) ＋z eq \(OB,\s\up6(→)) (x＋y＋z＝1)；
(4) eq \(PM,\s\up6(→)) ∥ eq \(AB,\s\up6(→)) 或 eq \(PA,\s\up6(→)) ∥ eq \(MB,\s\up6(→)) 或 eq \(PB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AM,\s\up6(→)) .
1．(2023·杭州模擬)已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，2)) ，且ka＋b與a－2b互相平行，則k＝( )
A．－ eq \f(11,4) B． eq \f(1,5) C． eq \f(3,5) D．－ eq \f(1,2)
【解析】選D.ka＋b＝(－k＋1，k，2)，
a－2b＝(－3，1，－4)，
則 eq \f(－k＋1,－3) ＝ eq \f(k,1) ＝ eq \f(2,－4) ，解得k＝－ eq \f(1,2) .
2．(2022·保定模擬)若{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是( )
A．a(chǎn)－b，2a－c，b－c
B．b＋2c，a－b，a－2b－2c
C．a(chǎn)＋2b，2a－c，2b＋c
D．a(chǎn)＋2b＋3c，a＋b，a＋c
【解析】選B.對于A，設(shè)x，y，使得
a－b＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－c)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)) ，則
a－b＝2xa＋yb－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) c，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝1,y＝－1,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))＝0)) ，該方程組無解，故A錯誤；
對于B，設(shè)x，y，使得
b＋2c＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2b－2c)) ，
則b＋2c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) a－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2y)) b－2yc，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2y))＝1,－2y＝2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－1)) ，故B正確；
對于C，設(shè)x，y，使得
a＋2b＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－c)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b＋c)) ，
則a＋2b＝2xa＋2yb＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－x)) c，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝1,2y＝2,y－x＝0)) ，
該方程組無解，故C錯誤；
對于D，設(shè)x，y，使得
a＋2b＋3c＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c)) ，
則a＋2b＋3c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y)) a＋xb＋yc，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1,x＝2,y＝3)) ，
該方程組無解，故D錯誤．
3．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(AG,\s\up6(→)) ＝2，AC1與平面EFG交于點(diǎn)M，則 eq \f(AM,AC1) ＝__________．
【解析】由題可設(shè) eq \(AM,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00,－\f(2,5)≠\f(t,3))) ，解得t> eq \f(52,15) 且t≠－ eq \f(6,5) .
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52,15)，＋∞)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52,15)，＋∞))
[變式]將本例(1)中“a與b的夾角為銳角”改為“a與b的夾角為鈍角”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______________________．
【解析】由題意得a·b

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