1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理
2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理
3.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)若α∥β，a?α，則a∥β.
微思考
1．設(shè)m，l表示兩條不同的直線，α表示平面，若m?α，l∥α，則l與m的位置關(guān)系如何？
提示 平行或異面．
2．一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？
提示 平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，這就是面面平行的判定定理．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．( × )
(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．( × )
(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.( × )
(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．( √ )
題組二 教材改編
2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________．
答案 平行
解析 連接BD，則AC∩BD＝O，連接OE(圖略)，則OE∥BD1，OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
3．已知不重合的直線a，b和平面α，
①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α；④若a∥b，a?α，則b∥α或b?α.
上面命題中正確的是________(填序號(hào))．
答案 ④
解析 ①若a∥α，b?α，則a∥b或異面，①錯(cuò)；
②若a∥α，b∥α，則a∥b，或異面或相交，②錯(cuò)；
③若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，③錯(cuò)；
④若a∥b，a?α，則b∥α或b?α，④對(duì)．
4．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，過直線AC1的平面交直線BB1于點(diǎn)E，交直線DD1于點(diǎn)F，則四邊形AEC1F的形狀為________．
答案 平行四邊形
解析 由面面平行的性質(zhì)定理可得AE∥C1F，AF∥C1E.
故四邊形AEC1F為平行四邊形．
題組三 易錯(cuò)自糾
5．已知直線a，b和平面α，β，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β的位置關(guān)系是____．
答案 平行或相交
6．考查下列兩個(gè)命題，在“____________”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中a，b為不同的直線，α，β為不重合的平面)，則此條件為_________________．
①eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(b?α,a∥b, ))?a∥α；②eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,b∥α, ))?a∥α.
答案 a?α
解析 根據(jù)線面平行的判定定理可知，判斷線面平行需要三個(gè)條件：面內(nèi)一線，面外一線，線線平行，分析已知中的條件，可知①缺少的條件是“a為平面α外的直線”，
②同樣缺少平面外直線．故答案為：a?α.
題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì)
命題點(diǎn)1 直線與平面平行的判定
例1 如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)．
求證：AF∥平面PCE.
證明 方法一 如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接EM，MF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE∥CD，且AE＝eq \f(1,2)CD，
又∵M(jìn)F∥CD，且MF＝eq \f(1,2)CD，
∴AE綊FM，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM，
又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
方法二 如圖，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，連接FG，AG，
∵F，G分別為PD，CD的中點(diǎn)，
∴FG∥PC.同理AG∥EC，
又FG?平面PCE，AG?平面PCE，
PC?平面PCE，EC?平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE，
又FG，AG?平面AFG，F(xiàn)G∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE，又AF?平面AFG，∴AF∥平面PCE.
命題點(diǎn)2 直線與平面平行的性質(zhì)
例2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.
求證：PA∥GH.
證明 如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，
又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
思維升華 (1)判斷或證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．
②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．
④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．
跟蹤訓(xùn)練1 如圖，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E，交DP于點(diǎn)F，求證：四邊形BCFE是梯形．
證明 ∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四邊形BCFE是梯形．
題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì)
例3 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．
證明 (1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
則BF∥A1G，
∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，
則A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．
思維升華 證明面面平行的方法
(1)面面平行的定義．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明B1D1∥l.
證明 (1)由題設(shè)知BB1綊DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，
所以BD∥B1D1.
又BD?平面CD1B1，
B1D1?平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因?yàn)锳1D1綊B1C1綊BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
題型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
例4 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.
(1)證明：平面ABF∥平面DCE；
(2)在DE上是否存在一點(diǎn)G，使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為3∶5？若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(1)證明 ∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，
∴DE∥AF，
又DE?平面DCE，AF?平面DCE，
∴AF∥平面DCE，
∵四邊形ABCD是正方形，AB∥CD，
又CD?平面DCE，AB?平面DCE，
∴AB∥平面DCE，
∵AB∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，
∴平面ABF∥平面DCE.
(2)解 存在點(diǎn)G，滿足題意，理由如下：假設(shè)存在一點(diǎn)G，過G作MG∥BF交EC于M，連接BG，BM，如圖，
由VABCDEF＝VB－ADEF＋VB－CDE＝eq \f(1,3)×3×eq \f(?1＋3?×3,2)＋eq \f(1,3)×3×eq \f(3×3,2)＝eq \f(21,2)，
設(shè)EG＝t，
則VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝eq \f(21,2)×eq \f(3,8)＝eq \f(63,16)，
設(shè)M到ED的距離為h，
則eq \f(h,3)＝eq \f(EM,EC)＝eq \f(t,3－1)，即h＝eq \f(3,2)t，
則S△EGM＝eq \f(1,2)×t×eq \f(3,2)t＝eq \f(3,4)t2，
VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝eq \f(1,3)×3×eq \f(1,2)×3×t＋eq \f(1,3)×3×eq \f(3,4)t2＝eq \f(63,16)，
即4t2＋8t－21＝0，
解得t＝eq \f(3,2)，或t＝－eq \f(7,2)(舍)，
則存在點(diǎn)G，滿足EG＝eq \f(3,2)，
即G為ED的中點(diǎn)時(shí)滿足條件．
思維升華 解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時(shí)，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．
跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3).
(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq \f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．
(1)證明 連接CP并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以eq \f(CP,PM)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
又因?yàn)閑q \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(CP,PM)＝eq \f(2,3)，
所以PQ∥MD1.
又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解 當(dāng)eq \f(AR,AB)的值為eq \f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，
證明：因?yàn)閑q \f(AR,AB)＝eq \f(3,5)，即eq \f(BR,RA)＝eq \f(2,3)，故eq \f(BR,RA)＝eq \f(BP,PD).
所以PR∥DA.
又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
課時(shí)精練
1．(2021·哈爾濱市第九中學(xué)模擬)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是( )
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
答案 D
解析 對(duì)于A，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故A不對(duì)；
對(duì)于B，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故B不對(duì)；
對(duì)于C，兩個(gè)平面中的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不對(duì)；
對(duì)于D，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故D正確．
2．(2021·瀘州診斷)已知a，b是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是( )
A．若a∥b，b?α，則a∥α
B．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b
C．若a∥α，α∥β，則a∥β
D．若a∥α，a∥β，則α∥β
答案 B
解析 A選項(xiàng)，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，若a∥α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b，所以B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，若a∥α，α∥β，則a∥β或a?β，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若a∥α，a∥β，則α∥β或α∩β＝b，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
3．(2020·金華十校聯(lián)考)已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為( )
A．平行、平行 B．異面、平行 C．平行、相交 D．異面、相交
答案 B
解析 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，
∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，
∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線；
取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，
則PN∥B1A1，PM∥A1A，
∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，
∴平面PMN∥平面ABB1A1，
∵M(jìn)N?平面PMN，
∴直線MN與平面ABB1A1平行．
4.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有( )
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
答案 D
解析 選項(xiàng)A，由中位線定理可知GH∥D1C，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
選項(xiàng)B，由中位線定理可知EF∥A1B，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
選項(xiàng)C，由中位線定理可知EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，故平面EFGH與平面ABCD相交，故C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
選項(xiàng)D，由三角形中位線定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，因此平面EFGH∥平面A1BCD1，故本題選D.
5.(多選)(2020·青島市58中模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，則( )
A．直線D1D與直線AF垂直
B．直線EF與直線AD1平行
C．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq \f(9,2)
D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等
答案 BC
解析 A項(xiàng)，若D1D⊥AF，
又因?yàn)镈1D⊥AE且AE∩AF＝A，
所以DD1⊥平面AEF，
所以DD1⊥EF，
所以CC1⊥EF，顯然不成立，故結(jié)論錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，直線EF∥直線BC1，
又直線BC1∥直線AD1，
所以EF∥AD1，故結(jié)論正確；
C項(xiàng)，如圖所示，連接D1F，D1A，延長(zhǎng)D1F，AE交于點(diǎn)S，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，C1C的中點(diǎn)，
所以EF∥BC1，
又BC1∥AD1，
所以EF∥AD1，
所以A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，
所以截面即為梯形AEFD1，
又因?yàn)镈1S＝AS＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，AD1＝2eq \r(2)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(?2\r(5)?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2)＝6，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝6×eq \f(3,4)＝eq \f(9,2)，故結(jié)論正確；
D項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離分別為h1，h2，
∵VC－AEF＝eq \f(1,3)S△AEF·h1＝VA－CEF＝eq \f(1,3)×eq \f(1×1,2)×2＝eq \f(1,3)，
VG－AEF＝eq \f(1,3)S△AEF·h2＝VA－GEF＝eq \f(1,3)×eq \f(1×2,2)×2＝eq \f(2,3)，
∴h1≠h2，故結(jié)論錯(cuò)誤．
6．(多選)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是( )
A．沒有水的部分始終呈棱柱形
B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值
C．隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行
D．當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，AE·AH為定值
答案 AD
解析 根據(jù)棱柱的特征(有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行)，結(jié)合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長(zhǎng)保持不變，但鄰邊的長(zhǎng)卻隨傾斜程度而改變，可知B錯(cuò)誤；因?yàn)锳1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABCD時(shí)，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯(cuò)誤；當(dāng)容器傾斜如題圖(3)所示時(shí)，因?yàn)樗捏w積是不變的，所以棱柱AEH－BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確．
7．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．
答案 平面ABC，平面ABD
解析 如圖，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，連接BN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，
由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合，且E為CD的中點(diǎn)，
∵eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,BN)＝eq \f(1,2)，
∴MN∥AB，又AB?平面ABD，MN?平面ABD，
∴MN∥平面ABD，又AB?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC.
8．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.
可以填入的條件有________(填序號(hào))．
答案 ①或③
解析 由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確．
9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q為CC1的中點(diǎn)
解析 如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，
因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.
連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，
所以D1B∥PO，
又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.
10.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
答案 ①②③④
解析 先把平面展開圖還原為一個(gè)四棱錐，如圖所示．
①∵ E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，GH∥BC，
∵AD∥BC，∴EF∥GH，
∴EF，GH確定平面EFGH，
∵EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，
AB，AD?平面ABCD，
平面EFGH∥平面ABCD，所以①正確；
②連接AC，BD交于O點(diǎn)，
則O為AC的中點(diǎn)，連接OG，G為PC的中點(diǎn)，
∴OG∥PA，OG?平面BDG，
PA?平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正確；
③同②同理可證EF∥平面PBC，∴③正確；
④同②同理可證FH∥平面BDG，∴④正確；
⑤EF∥GH，GH與平面BDG相交，
∴EF與平面BDG相交，
∴⑤不正確．
11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
證明 (1)如圖，連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，
所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，
AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，
因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，
因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，
所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
12.(2021·銀川市長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)模擬)如圖，在四棱錐S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝eq \f(1,2)BC＝2，點(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F(xiàn)為棱BC上一點(diǎn)，且CF＝1.
證明：平面SCD∥平面EFG.
證明 因?yàn)辄c(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，
且SE＝AE，AG＝GD，
故EG∥SD，
又EG?平面SCD，SD?平面SCD，
故EG∥平面SCD；
因?yàn)椤螦DC＝∠BCD＝90°，
故AD∥BC，因?yàn)镚D＝FC＝1，
故四邊形GDCF為平行四邊形，故GF∥CD；
又GF?平面SCD，CD?平面SCD，故GF∥平面SCD，
因?yàn)镚F?平面EFG，EG?平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面SCD∥平面EFG.
13．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1.則以下四個(gè)說法中正確的是( )
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三點(diǎn)共線
D．平面MNQ∥平面APC
答案 BC
解析 對(duì)于A項(xiàng)，連接MN，AC，
則MN∥AC，連接AM，CN，
易得AM，CN交于點(diǎn)P，
即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；
對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知M，N在平面APC上，
由題易知AN∥C1Q，AN?平面APC，
所以C1Q∥平面APC是正確的；
對(duì)于C項(xiàng)，由A項(xiàng)知A，P，M三點(diǎn)共線是正確的；
對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知MN?平面APC，
又MN?平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．
14．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為________．
答案 8
解析 如圖，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，
且EF＝MN＝eq \f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq \f(1,3)PB＝2，
所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8.
15．(2021·合肥市第一中學(xué)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，則PA1的長(zhǎng)度范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
答案 B
解析 取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連接A1E，A1F，EF，
取EF的中點(diǎn)O，連接A1O，如圖所示，
∵點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點(diǎn)，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN?平面AMN，A1E，EF?平面A1EF，
∴平面AMN∥平面A1EF，
∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
且PA1∥平面AMN，
∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，
∵A1E＝A1F＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，EF＝eq \f(1,2)eq \r(12＋12)＝eq \f(\r(2),2)，
∴A1O⊥EF，
∴當(dāng)P與O重合時(shí)，PA1的長(zhǎng)度取最小值A(chǔ)1O，
A1O＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))2)＝eq \f(3\r(2),4)，
當(dāng)P與E(或F)重合時(shí)，PA1的長(zhǎng)度取最大值A(chǔ)1E或A1F，A1E＝A1F＝eq \f(\r(5),2).
∴PA1的長(zhǎng)度范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).
16.(2021·宜昌調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.
(1)求eq \f(PF,FD)的值；
(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．
解 (1)∵平面CEF∥平面PAB，
且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，
∴PA∥EF，
又AE＝1＝eq \f(1,3)AD，∴PF＝eq \f(1,3)PD，∴eq \f(PF,FD)＝eq \f(1,2).
(2)∵F為PD的三等分點(diǎn)，
∴F到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的eq \f(1,3)，
設(shè)D到平面PBC的距離為h，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
由等體積法得VD－PBC＝VP－BCD，
即eq \f(1,3)S△PBC·h＝eq \f(1,3)S△DBC·PA，
∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，
∴PB＝2eq \r(2)，BC＝1，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)PB·BC＝eq \r(2)，S△DBC＝eq \f(1,2)BC·AB＝1，
∴h＝eq \r(2)，
∴F到平面PBC的距離等于eq \f(\r(2),3).文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b

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