2．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.
3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.
4．理解直線的方向向量及平面的法向量.
5．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系.
6．能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．
1．空間向量的有關概念
2．空間向量的有關定理
(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
提醒：在利用MN＝xAB＋yAC證明MN∥平面ABC時，必須說明點M或點N不在平面ABC內．
3．空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關概念
①兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉．
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5．直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
6．空間位置關系的向量表示
[常用結論]
1．證明空間任意三點共線的方法
對空間三點P，A，B，可通過證明下列結論成立來證明三點共線；
(1)PA＝λPB(λ∈R)；
(2)對空間任一點O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；
(3)對空間任一點O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
2．證明空間四點共面的方法
點共面問題可轉化為向量共面問題，要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明PA＝xPB＋yPC，或對空間任一點O，有OA＝OP＋xPB＋yPC，或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．( )
(2)在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是(0，b，c).
( )
(3)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.( )
(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、教材習題衍生
1．(人教A版選擇性必修第一冊P33練習T1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不對
C [∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]
2．(人教A版選擇性必修第一冊P10習題1.1T5改編)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與BM相等的向量是( )
A.－12a＋12b＋c B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c D．12a－12b＋c
A [BM＝BB1+B1M＝AA1+12(AD-AB)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.]
3．(人教A版選擇性必修第一冊P27思考改編)O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP＝34OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝________．
18 [∵P，A，B，C四點共面，∴34+18＋t＝1，
∴t＝18.]
4．(人教A版選擇性必修第一冊P15T5改編)正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為________．
2 [|EF|2＝EF2＝(EC+CD+DF)2
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)
＝2，
所以|EF|＝2，所以EF的長為2.]
考點一 空間向量的線性運算
[典例1] 如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，
試用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP；(2)A1N；
(3)MP+NC1.
[解] (1)因為P是C1D1的中點，
所以AP＝AA1+A1D1+D1P＝a＋AD+12D1C1
＝a＋c＋12AB＝a＋c＋12b.
(2)因為N是BC的中點，
所以A1N＝A1A+AB+BN＝－a＋b＋12BC
＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋12c.
(3)因為M是AA1的中點，
所以MP＝MA+AP＝12A1A+AP
＝－12a＋a+c+12b＝12a＋12b＋c，
又NC1＝NC+CC1＝12BC+AA1
＝12AD+AA1＝12c＋a，
所以MP+NC1＝12a+12b+c+a+12c
＝32a＋12b＋32c.
用基向量表示指定向量的方法
(1)結合已知向量和所求向量觀察圖形．
(2)將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．
(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．
[跟進訓練]
1．(1)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結論中
①OA+OD與OA1＋OD1是一對相反向量；
②OB-OC1與OC-OB1是一對相反向量；
③OA1＋OB1＋OC1＋OD1與OD+OC+OB+OA是一對相反向量；
④OC-OA與OC1－OA1是一對相反向量．
正確結論的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，則x＋y＋z＝________．
(1)A (2)56 [(1)設E，F(xiàn)分別為AD和A1D1的中點，
①OA+OD＝2OE與OA1+OD1＝2OF不是一對相反向量，錯誤；②OB-OC1＝C1B與OC-OB1＝B1C不是一對相反向量，錯誤；③OA1＋OB1＋OC1＋OD1＝－OC-OD-OA-OB＝－(OC+OD+OA+OB)是一對相反向量，正確；④OC-OA＝AC與OC1－OA1＝A1C1不是一對相反向量，是相等向量，錯誤．即正確結論的個數(shù)為1.故選A.
(2)連接ON，設OA＝a，OB＝b，OC＝c，
則MN＝ON-OM＝12(OB+OC)－12OA＝12b＋12c－12a，
OG＝OM+MG＝12OA+23MN
＝12a＋2312b+12c-12a
＝16a＋13b＋13c.
又OG＝xOA＋yOB＋zOC，
所以x＝16，y＝13，z＝13，
因此x＋y＋z＝16+13+13＝56.]
考點二 共線(共面)向量定理的應用
[典例2] 如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)求證：BD∥平面EFGH.
[證明] (1)連接BG，EG，則EG＝EB+BG
＝EB+12BC+BD
＝EB+BF+EH
＝EF+EH.
由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)因為EH＝AH-AE＝12AD-12AB＝12(AD-AB)＝12BD，所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
【教師備選題】
(1)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ等于________．
(1)657 [∵a與b不共線，故存在實數(shù)x，y使得c＝xa＋yb，
∴2x-y=7，-x+4y=5，3x-2y=λ，解得x=337，y=177，λ=657.故填657.]
(2)如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判斷向量MN是否與向量AB，AA1共面．
[解] 因為AM＝kAC1，BN＝kBC，
所以MN＝MA+AB+BN＝kC1A+AB＋kBC
＝k(C1A+BC)＋AB＝k(C1A+B1C1)＋AB
＝kB1A+AB＝AB－kAB1
＝AB－k(AA1+AB)
＝(1－k)AB－kAA1，
所以由共面向量定理知向量MN與向量AB，AA1共面．
證明三點共線和空間四點共面的方法比較
[跟進訓練]
2．(1)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是( )
A．2，12 B．－13，12
C．－3，2 D．2，2
(2)如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1與平面EFG交于點M，則AMAC1＝________．
(1)A (2)213 [(1)∵a∥b，∴設b＝xa，
∴xλ+1=6，2μ-1=0，2x=2λ，
解得μ=12，λ=2，或μ=12，λ=-3.故選A.
(2)由題圖知，設AM＝λAC1(0＜λ＜1)，
由已知AC1＝AB+AD+AA1＝2AE＋3AF+32AG，
所以AM＝2λAE＋3λAF+3λ2AG.
因為M，E，F(xiàn)，G四點共面，所以2λ＋3λ＋3λ2＝1，解得λ＝213.]
考點三 空間向量數(shù)量積的應用
[典例3] 如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.
(1)求AC1的長；
(2)求證：AC1⊥BD；
(3)求BD1與AC夾角的余弦值．
[解] (1)記AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝12.
|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12+12+12＝6，
∴|AC1|＝6，即AC1的長為6.
(2)證明：∵AC1＝a＋b＋c，BD＝b－a，
∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cs 60°－|a||c|cs 60°＝0.
∴AC1⊥BD，∴AC1⊥BD.
(3)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝2，|AC|＝3，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cs 〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD1AC＝66.
∴AC與BD1夾角的余弦值為66.
空間向量數(shù)量積的應用
求夾角-設向量a，b所成的角為θ，則csθ＝a·bab，進而可求兩異面直線所成的角
|
求長度距離-運用公式a2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題
|
解決垂直問題-利用a⊥b?a·b＝0a≠0，b≠0，可將垂直問題轉化為向量數(shù)量積的計算問題
[跟進訓練]
3．已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；
(2)若|a|＝3，且a分別與AB，AC垂直，求向量a的坐標．
[解] (1)由題意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cs 〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝-2+3+614×14＝714＝12，所以sin 〈AB，AC〉＝32，
所以以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為S＝2×12|AB|·|AC|·sin 〈AB，AC〉＝14×32＝73.
(2)設a＝(x，y，z)，由題意得x2+y2+z2=3，-2x-y+3z=0，x-3y+2z=0，
解得x=1，y=1，z=1 或x=-1，y=-1，z=-1，
所以向量a的坐標為(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
考點四 利用向量證明平行與垂直
[典例4] 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
[證明] (1)由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M32，0，32，
∴DP＝(0，－1，2)，DA＝(23，3，0)，
CM＝32，0，32.
設n＝(x，y，z)為平面PAD的法向量，
由DP·n=0，DA·n=0，即-y+2z=0， 23x+3y=0，
令y＝2，則n＝(－3，2，1)是平面PAD的一個法向量．
∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，
∴n⊥CM.又CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)法一：由(1)知BA＝(0，4，0)，PB＝(23，0，－2)，
設平面PAB的法向量為m＝(x0，y0，z0)，
由BA·m=0，PB·m=0，即4y0=0， 23x0-2z0=0，
令x0＝1，則m＝(1，0，3)是平面PAB的一個法向量．
又∵平面PAD的一個法向量n＝(－3，2，1)，
∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，
∴平面PAB⊥平面PAD.
法二：取AP的中點E，連接BE，
則E(3，2，1)，BE＝(－3，2，1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵BE·DA＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0，
∴BE⊥DA.∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
又∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
1．利用向量證明平行問題
(1)線線平行：方向向量平行．
(2)線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直．
(3)面面平行：兩平面的法向量平行．
2．利用向量法證垂直問題的類型及常用方法
(1)線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．
(2)線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直．
(3)面面垂直問題：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直．
[跟進訓練]
4．如圖所示，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．
(1)求證：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
[解] 以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．設AB＝a.
(1)證明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，Ea2，1，0，B1(a，0，1)，
故AD1＝(0，1，1)，B1E＝-a2，1，-1.
因為B1E·AD1
＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此B1E⊥AD1，所以B1E⊥AD1.
(2)存在滿足要求的點P，
假設在棱AA1上存在一點P(0，0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此時DP＝(0，－1，z0)，
再設平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)．
AB1＝(a，0，1)，AE＝a2，1，0.
因為n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥AE，
得ax+z=0，ax2+y=0，
取x＝1，則y＝－a2，z＝－a，
則平面B1AE的一個法向量n＝1，-a2，-a.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，
有a2－az0＝0，
解得z0＝12.
所以存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝12.
課時分層作業(yè)(四十二) 空間向量的運算及其應用
一、選擇題
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．75 B．2
C．53 D．1
A [因為a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
又ka＋b與2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝75.
故選A.]
2．(2022·福建福州一中三模)以下四組向量在同一平面的是( )
A．(1，1，0)、(0，1，1)、(1，0，1)
B．(3，0，0)、(1，1，2)、(2，2，4)
C．(1，2，3)、(1，3，2)、(2，3，1)
D．(1，0，0)、(0，0，2)、(0，3，0)
B [對于A選項，設(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，
所以，n=1， m=1， m+n=0，無解；
對于B選項，因為(2，2，4)＝0·(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B選項中的三個向量共面；
對于C選項，設(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，
所以，x+2y=1，3x+3y=2，2x+y=3，無解；
對于D選項，設(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，
所以0=1，3b=0，2a=0，矛盾．故選B.]
3．(2022·廣東六校聯(lián)考)已知正四面體ABCD的棱長為1，且BE＝2EC，則AE·CD＝( )
A．16 B．－16
C．－13 D．13
C [因為BE＝2EC，所以CE＝13CB.
根據向量的減法的幾何意義，得AE＝CE-CA＝13CB-CA，
所以AE·CD＝13CB-CA·CD＝13CB·CD-CA·CD
＝13|CB||CD|cs?π3－|CA||CD|cs π3＝13×1×1×12－1×1×12＝－13.故選C.]
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝2a3，則MN與平面BB1C1C的位置關系是( )
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內
B [建立如圖所示的空間直角坐標系，由于A1M＝AN＝2a3，則Ma，2a3，a3，N2a3，2a3，a，MN＝-a3，0，2a3.
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以C1D1＝(0，a，0)為平面BB1C1C的一個法向量．
因為MN·C1D1＝0，
所以MN⊥C1D1，又MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.]
5．(多選)已知空間中三點A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則( )
A．AB與AC是共線向量
B．AB的單位向量是(1，1，0)
C．AB與BC夾角的余弦值是－5511
D．平面ABC的一個法向量是(1，－2，5)
CD [由題意，對于A，AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以AB≠λAC，則AB與AC不是共線向量，所以A不正確；
對于B，因為AB＝(2，1，0)，所以AB的單位向量為255，55，0或-255，-55，0，所以B不正確；
對于C，向量AB＝(2，1，0)，BC＝(－3，1，1)，
所以cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝－5511，所以C正確；
對于D，設平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，因為AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以n·AB=0，n·AC=0 ?2x+y=0， -x+2y+z=0，令x＝1，則y＝－2，z＝5.
所以平面ABC的一個法向量為n＝(1，－2，5)，所以D正確．故選CD.]
6．(多選)已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是( )
A．(A1A+A1D1+A1B1)2＝3(A1B1)2
B．A1C·(A1B1-A1A)＝0
C．向量AD1與向量A1B的夾角是60°
D．正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|AB·AA1·AD|
AB [由向量的加法法則得到：A1A+A1D1+A1B1＝A1C，
∵A1C2＝3A1B12，∴(A1C)2＝3(A1B1)2，所以A正確；
∵A1B1-A1A＝AB1，AB1⊥A1C，∴A1C·AB1＝0，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的角為60°，但是向量AD1與向量A1B的夾角是120°，故C不正確；∵AB⊥AA1，∴AB·AA1＝0，故|AB·AA1·AD|＝0，因此D不正確．]
二、填空題
7．已知點A(－1，1，0)，B(1，2，0)，C(－2，－1，0)，D(3，4，0)，則AB在CD上的投影向量為________．
32，32，0 [由已知得AB＝(2，1，0)，CD＝(5，5，0)，
∴AB·CD＝2×5＋1×5＋0＝15，
又|CD|＝52，
∴AB在CD上的投影向量為
AB·CDCD·CDCD＝1552×CD52＝310CD＝32，32，0.]
8．在空間直角坐標系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四點共面，則2x＋y＋z＝________．
1 [∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0，1，－1)，AC＝(－2，2，2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)．
∵A，B，C，D四點共面，∴存在實數(shù)λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，
∴x-1=-2μ， y-1=λ+2μ， z+2=-λ+2μ，解得2x＋y＋z＝1.]
9．已知平面α內的三點A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是________．
α∥β [設平面α的法向量為m＝(x，y，z)，
由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，
由m·AC＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，
∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]
三、解答題
10．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別是A1D1，D1D，D1C1的中點．
(1)試用向量AB，AD，AA1表示AG；
(2)用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C.
[解] (1)設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
則AG＝AA1+A1D1+D1G＝c＋b＋12DC＝12a＋b＋c＝12AB+AD+AA1.
故AG＝12AB+AD+AA1.
(2)證明：AC＝AB+BC＝a＋b，
EG＝ED1+D1G＝12b＋12a＝12AC，
∵EG與AC無公共點，
∴EG∥AC，
∵EG?平面AB1C，AC?平面AB1C，
∴EG∥平面AB1C.
又∵AB1＝AB+BB1＝a＋c，
FG＝FD1+D1G＝12c＋12a＝12AB1，
∵FG與AB1無公共點，∴FG∥AB1，
∵FG?平面AB1C，AB1?平面AB1C，
∴FG∥平面AB1C.
又∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G?平面EFG，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.
11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB.
[解] (1)證明：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
設AD＝a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，a)，F(xiàn)a2，a2，a2.EF＝-a2，0，a2，DC＝(0，a，0)．
因為EF·DC＝0，所以EF⊥DC，即EF⊥CD.
(2)設G(x，0，z)，
則FG＝x-a2，-a2，z-a2，CB＝(a，0，0)，CP＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，則需FG·CB＝0，且FG·CP＝0，
由FG·CB＝x-a2，-a2，z-a2·(a，0，0)＝ax-a2＝0，得x＝a2，由FG·CP＝x-a2，-a2，z-a2·(0，－a，a)＝a22＋az-a2＝0，得z＝0.
所以G點坐標為a2，0，0，
即G為AD的中點時，GF⊥平面PCB.
12．(多選) 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，點P為線段A1C上的動點，則下列結論正確的是( )
A．當A1C＝2A1P時，B1，P，D三點共線
B．當AP⊥A1C時，AP⊥D1P
C．當A1C＝3A1P時，D1P∥平面BDC1
D．當A1C＝5A1P時，A1C⊥平面D1AP
ACD [在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為AB＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，
則A1C＝(－1，3，－1)，D1A＝(1，0，－1)．
對于A選項，當A1C＝2A1P時，P為線段A1C的中點，則P12，32，12，DP＝12，32，12，DB1＝(1，3，1)，則DB1＝2DP，所以B1，D，P三點共線，A正確；
對于B選項，設A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，
AP＝AA1+A1P＝(－λ，3λ，1－λ)，
由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5λ－1＝0，解得λ＝15，
所以AP＝-15，35，45，D1P＝D1A+AP
＝(1，0，－1)＋-15，35，45＝45，35，-15，
所以D1P·AP＝－425+325-425＝－15≠0，
所以AP與D1P不垂直，B錯誤；
對于C選項，當A1C＝3A1P時，
A1P＝13A1C＝-13，33，-13，DC1＝(0，3，1)，DB＝(1，3，0)．
設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·DC1=0，n·DB=0， 即3y+z=0，x+3y=0，
令y＝1，則x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，
又A1D1＝(－1，0，0)，
所以D1P＝A1P-A1D1＝23，33，-13，
所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－13×(－3)＝0，
所以D1P⊥n，
∵D1P?平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正確；
對于D選項，當A1C＝5A1P時，
A1P＝15A1C＝-15，35，-15，
所以D1P＝A1P-A1D1＝45，35，-15，
所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×-15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0.所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P?平面D1AP，D1A?平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正確．
故選ACD.]
13．(2022·福建龍巖模擬)在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型P-ABCD，設底邊和側棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為________；過點A作一個平面分別交PB、PC、PD于點E、F、G進行切割，得到四棱錐P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC＝12，則PGPD的值為________．
32π 34 [第一空，設AC，BD交于點O，連接PO，
由于P-ABCD為正四棱錐，故PO為四棱錐的高，
由底邊和側棱長均為4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22 ，
PO＝PA2-OA2＝42-222＝22 ，
即點O到點P，A，B，C，D的距離相等，
故O即為該正四棱錐的外接球球心，
則外接球半徑為22 ，
故外接球表面積為4π×(22)2＝32π .
第二空，PA＝PD+DA＝PD+CB＝PD+PB-PC ，
設PD＝tPG，則PA＝tPG+53PE－2PF，
由于點A，E，F(xiàn)，G四點共面，故t＋53－2＝1，
解得t＝43，故PD＝43PG，則PGPD＝34.]
14．如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證：BD⊥ AA1；
(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．
[解] (1)證明：設BD與AC交于點O，
則BD⊥AC，連接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝AA12＋AO2－2AA1·AOcs 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝AA12，所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O?平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3)．
由于BD＝(－23，0，0)，AA1＝(0，1，3)，AA1·BD＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD⊥AA1，即BD⊥AA1.
(2)假設在直線CC1上存在點P，
使BP∥平面DA1C1，
設CP＝λCC1，P(x，y，z)，
則(x，y－1，z)＝λ(0，1，3)．
從而有P(0，1＋λ，3λ)，BP＝(－3，1＋λ，3λ)．
設平面DA1C1的法向量為n3＝(x3，y3，z3)，
則n3·A1C1=0，n3·DA1=0，
又A1C1＝(0，2，0)，DA1＝(3，0，3)，
則2y3=0， 3x3+3z3=0，取n3＝(1，0，－1)，
因為BP∥平面DA1C1，所以n3⊥BP，
即n3·BP＝－3-3λ＝0，
解得λ＝－1，
即點P在C1C的延長線上，且CP＝CC1.
名稱
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
向量表示
坐標表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
a
a12+a22+a32
夾角余弦值
cs 〈a，b〉＝a·bab
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
位置關系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
三點(P，A，B)共線
空間四點(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同過點P
MP＝xMA＋yMB
對空間任一點O，OP＝OA＋tAB
對空間任一點O，OP＝OM＋xMA＋yMB
對空間任一點O，OP＝xOA＋(1－x)OB
對空間任一點O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB

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