一、兩條直線的平行與垂直
1．兩條直線平行
(1)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
(2)當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
2．兩條直線垂直
(1)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.
二、兩條直線的交點坐標
已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點P的坐標是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
三、三種距離公式
1．兩點間的距離公式
(1)條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)結論：|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(3)特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
微思考
1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同時為0；A2，B2不同時為0)，則l1∥l2的充要條件是什么，l1⊥l2的充要條件是什么？
提示 l1∥l2?A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．點P(x0，y0)關于點A(a，b)的對稱點的坐標是什么？
提示 (2a－x0,2b－y0)．
3．點P(x1，y1)，Q(x2，y2)關于直線y＝kx＋b(k≠0)對稱，列出P，Q坐標的關系式．
提示 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y2－y1,x2－x1)·k＝－1，,\f(y1＋y2,2)＝k·\f(x1＋x2,2)＋b.))
題組一 思考辨析
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × )
(2)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．( √ )
題組二 教材改編
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________.
答案 1
解析 由題意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，
所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
3．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．
答案 －9
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
所以點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．兩平行直線l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之間的距離為________．
答案 eq \f(2\r(13),13)
解析 因為l1∥l2，所以由兩條平行直線間的距離公式得d＝eq \f(|－8－?－10?|,\r(22＋32))＝eq \f(2\r(13),13).
題組三 易錯自糾
5．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.故選C.
6．(多選)等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3,3)，若點A的坐標為(0,4)，則點B的坐標可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案 AC
解析 設B(x，y)，根據(jù)題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(?x－3?2＋?y－3?2)＝\r(?0－3?2＋?4－3?2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))所以B(2,0)或B(4,6)．
故選AC.
題型一 兩條直線的平行與垂直
1．已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案 D
解析 方法一 ∵直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴eq \f(a－1,－2)＝－eq \f(1,a)，
∴a＝－1或a＝2，又兩條直線在y軸上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2時滿足兩條直線平行．
方法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2．若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)))×eq \f(2,5)＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.
3．經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 因為拋物線y2＝2x的焦點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直線3x－2y＋5＝0的斜率為eq \f(3,2)，所以所求直線l的方程為y＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化為一般式，得6x－4y－3＝0.
4．已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構成三角形，則實數(shù)m的取值集合為( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 D
解析 由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點．當直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0分別平行時，m＝eq \f(2,3)或－eq \f(4,3)；當直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點時，m＝－eq \f(2,3).所以實數(shù)m的取值集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
思維升華 (1)當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論．
題型二 兩直線的交點與距離問題
1．已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq \f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，則兩直線平行)
∴交點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).
又∵交點位于第一象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))
解得－eq \f(1,6)

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