一、單選題
1．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空間中兩個(gè)不同的平面， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用空間中線面、面面的位置關(guān)系可判斷ABC選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交（不一定垂直），C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向向量分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則平面 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D對(duì).
故選：D.
2．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為1， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先由線面平行的判定定理證得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合錐體的體積公式即可得解.
【詳解】因?yàn)樵谡襟w SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距離與 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距離相等，
所以 SKIPIF 1 < 0
故選：B.
.
3．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 截該四棱臺(tái)的截面面積是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，上底面和下底面的中心分別為 SKIPIF 1 < 0 ，該四棱臺(tái)的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在上下底面由勾股定理可知， SKIPIF 1 < 0 .
在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以該四棱臺(tái)的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，顯然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此平面 SKIPIF 1 < 0 就是截面.
顯然 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因此在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
同理在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以梯形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)鍵.
4．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為3，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．若在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡長為（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】在棱 SKIPIF 1 < 0 上分別取點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為線段 SKIPIF 1 < 0 ，再計(jì)算長度即可.
【詳解】解：如圖，在棱 SKIPIF 1 < 0 上分別取點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以，在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為線段 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
所以，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡長為 SKIPIF 1 < 0
故選：C
5．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積， SKIPIF 1 < 0 表示平面圖形的面積， SKIPIF 1 < 0 表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）．如圖，直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則其重心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出直角梯形繞 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進(jìn)而求解答案.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
直角梯形繞 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為
SKIPIF 1 < 0 ；
梯形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，故記重心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
6．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E為平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡所圍成的圖形面積的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】確定 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為OE的圓，計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示，連接 SKIPIF 1 < 0 交平面 SKIPIF 1 < 0 于O，連接EO， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以∠AEO是AE與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面體 SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐，O為 SKIPIF 1 < 0 的重心，如下圖所示，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又E在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為OE的圓，
所以E在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的軌跡圍成的圖形面積 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
7．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)至與四邊形 SKIPIF 1 < 0 重合，則直線 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 在旋轉(zhuǎn)過程中（ ）
A．逐步變大B．逐步變小
C．先變小后變大D．先變大后變小
【答案】D
【分析】根據(jù)初始時(shí)刻ED與BF所成角可判斷BC，由題可知 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的投影 SKIPIF 1 < 0 一直落在直線 SKIPIF 1 < 0 上，進(jìn)而某一時(shí)刻 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，可判斷AD.
【詳解】由題可知初始時(shí)刻 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為0，故 SKIPIF 1 < 0 錯(cuò)誤，
在四邊形AEFD繞 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)過程中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的投影 SKIPIF 1 < 0 一直落在直線 SKIPIF 1 < 0 上，
所以一定存在某一時(shí)刻 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，然后 SKIPIF 1 < 0 開始變小，
故直線 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.
故選：D.
8．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）圖1中，正方體 SKIPIF 1 < 0 的每條棱與正八面體 SKIPIF 1 < 0 （八個(gè)面均為正三角形）的條棱垂直且互相平分．將該正方體的頂點(diǎn)與正八面體的頂點(diǎn)連結(jié)，得到圖2的十二面體，該十二面體能獨(dú)立密鋪三維空間．若 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn)M到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】連接PR，MN，相交于點(diǎn)O，設(shè)MP與AB相交于點(diǎn)K，MQ與BC相交于點(diǎn)L，連接KL，利用正八面體 SKIPIF 1 < 0 的性質(zhì)，由線面垂直的判定定理，證明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得到MR為點(diǎn)M到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線求得正八面體的邊長即可.
【詳解】解：如圖所示：
連接PR，MN，相交于點(diǎn)O，設(shè)MP與AB相交于點(diǎn)K，MQ與BC相交于點(diǎn)L，連接KL，
在正八面體 SKIPIF 1 < 0 中，易知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又HG與RN相交，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則MR為點(diǎn)M到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
9．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分嚙合十分精巧.圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖.它的表面由八個(gè)正三角形和六個(gè)正八邊形構(gòu)成，其中每條棱長均為2.若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），則此正方體表面積的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】將魯班鎖補(bǔ)成正方體,建立空間直角坐標(biāo)系，求出魯班鎖某個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的最大值，即可求解.
【詳解】將魯班鎖補(bǔ)成正方體 SKIPIF 1 < 0 ，然后以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
AB、AD、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
在魯班鎖所在幾何體上任取一個(gè)頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
觀察圖形可知，P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值在
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中取得，
結(jié)合圖形可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點(diǎn)的距離的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，若該玩具可以在一個(gè)正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略摩擦），
設(shè)該正方體的棱長的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
該正方體的表面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
10．（2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除 SKIPIF 1 < 0 如圖所示，底面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，求出OM的長，進(jìn)而求出OA的長，可知 SKIPIF 1 < 0 ，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，如圖所示，
由題意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，
∴這個(gè)羨除的外接球體積為 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，即：點(diǎn)A到面 SKIPIF 1 < 0 的距離等于點(diǎn)B到面 SKIPIF 1 < 0 的距離，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴這個(gè)羨除的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
11．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái)．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，高為2，體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該“方斗”的側(cè)面積為（ ）
A．24B．12C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得正四棱臺(tái)的側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，先計(jì)算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，記正四棱臺(tái)為 SKIPIF 1 < 0 ，其底面為正方形，
側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐如圖，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)
則 SKIPIF 1 < 0 是正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 為正四棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 的高，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則上、下底面的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為PA的中點(diǎn)，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以側(cè)棱長 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得側(cè)面的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
12．（2023·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）以等邊三角形ABC為底的兩個(gè)正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于同一個(gè)球，并且正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面與底面ABC所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，記正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)外接球的幾何性質(zhì)結(jié)合正棱錐的幾何性質(zhì)即可求解.
【詳解】兩個(gè)正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于同一個(gè)球，如圖，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由于兩個(gè)正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于同一個(gè)球，
所以 SKIPIF 1 < 0 為球 SKIPIF 1 < 0 的直徑，
記 SKIPIF 1 < 0 為球心，且由題意可知 SKIPIF 1 < 0 為三角形 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因此 SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
可得 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 為正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面與底面ABC所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
記球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故選:D.
13．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】作出圖形，找出直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.
【詳解】如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向底面作垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于G，連接 SKIPIF 1 < 0 ，

由題意可知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 即為直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的平面角，
設(shè)正四面體的棱長為2，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故選： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 分別是底面 SKIPIF 1 < 0 與側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 為該正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，記點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡所在的平面為 SKIPIF 1 < 0 ，則過 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)的球面被平面 SKIPIF 1 < 0 截得的圓的周長是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心O和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡，求出 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.
【詳解】取面對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的方向分別為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 即為三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，球半徑長為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為矩形 SKIPIF 1 < 0 的四邊，如圖所示，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
則球心 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
球面被平面 SKIPIF 1 < 0 截得的圓的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，圓的周長為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
【點(diǎn)睛】本題找球心O考查學(xué)生的空間想象能力，其余的計(jì)算和證明問題，則利用空間向量法.
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，沿 SKIPIF 1 < 0 將四邊形 SKIPIF 1 < 0 翻折成 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，在翻折過程中，當(dāng)二面角 SKIPIF 1 < 0 取得最大角，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用定義法可得 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，然后求函數(shù)最大值時(shí)的 SKIPIF 1 < 0 值即可.
【詳解】過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的投影為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，
過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由題意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 最大，即二面角 SKIPIF 1 < 0 取得最大角.
故選：B
16．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 (包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長度范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)F，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取EF中點(diǎn)O，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，證明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到P的軌跡是線段，從而得出 SKIPIF 1 < 0 長度范圍.
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)F，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取EF中點(diǎn)O，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵點(diǎn)M，N分別是棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中棱BC， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，而在平面 SKIPIF 1 < 0 中，易證 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形 SKIPIF 1 < 0 （包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且 SKIPIF 1 < 0 平面AMN，
∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)P與O重合時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的長度取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 或者點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處時(shí)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 最大，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的長度范圍為 SKIPIF 1 < 0
故選：B．
17．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn)B、D，平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn)A、 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)平面 SKIPIF 1 < 0 分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 所成的銳二面角大小為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角為 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩種情況討論，證明平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 重合，從而可得出答案.
【詳解】平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 重合，
證明：設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角為 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，記平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面為面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，顯然平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面面積最大時(shí)，
截面為面 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理平面 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，截正方體所得截面面積最大時(shí)截面為面 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成銳二面角為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的所成角大小為二面角 SKIPIF 1 < 0 大小，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成銳二面角大小為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于說明平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 重合，考查了分類討論思想和極限思想.
二、填空題
18．（2023春·遼寧本溪·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分別為棱PA，AB的中點(diǎn)，過C，D，E三點(diǎn)的平面截三棱錐P－ABC的外接球，則截面的面積為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將三棱錐放入到一個(gè)正方體中，則三棱錐的外接球即為該正方體的外接球，利用正方體的棱長求出外接球半徑，用向量法求球心到截面距離，幾何法求截面面積.
【詳解】由PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，
將三棱錐P－ABC放入到一個(gè)正方體中（如圖），則三棱錐P－ABC的外接球即為該正方體的外接球，該外接球的球心為正方體的中心O（體對(duì)角線的中點(diǎn)），
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
以C為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn)O到平面CDE的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面CDE截球所得截面的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，故所求截面的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三垂直的四面體的外接球問題，把該四面體補(bǔ)充成正方體或者長方體.
19．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，過 SKIPIF 1 < 0 作與棱 SKIPIF 1 < 0 平行的平面，將三棱錐分為上下兩部分，設(shè)上?下兩部分的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意，做出截面，然后利用向量的線性表示及共線定理推論可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 即為過 SKIPIF 1 < 0 作與棱 SKIPIF 1 < 0 平行的平面，
由題可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）若正方形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)均在半徑為1的球 SKIPIF 1 < 0 上，則四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值為______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，可得到四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積為 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得最大值即可求解
【詳解】設(shè)正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由球的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)檎叫?SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)均在半徑為1的球 SKIPIF 1 < 0 上,且不在大圓上，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積為 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值.
故答案為： SKIPIF 1 < 0
21．（2023·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某兒童玩具的實(shí)物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意可得兩兩連接 SKIPIF 1 < 0 后所得到的四面體為正四面體，且 SKIPIF 1 < 0 是其外接球的球心，設(shè)出棱長，在直角三角形中建立等式關(guān)系，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的長度，即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相等且兩兩所成的角相等，兩兩連接 SKIPIF 1 < 0 后所得到的四面體為正四面體，
且 SKIPIF 1 < 0 是其外接球的球心，延長 SKIPIF 1 < 0 交面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的外心，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 把正方體截成兩部分體積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)畫出過 SKIPIF 1 < 0 的截面，再利用柱體、錐體的體積公式求 SKIPIF 1 < 0 ，即可得結(jié)果.
【詳解】延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ：
延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ：
所以過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的截面為 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
設(shè)正方體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的截面下方幾何體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以另一部分體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023春·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）渾儀（如圖）是中國古代用于測量天體球面坐標(biāo)的觀測儀器，它是由一重重的同心圓環(huán)構(gòu)成，整體看起來就像一個(gè)圓球.學(xué)校天文興趣小組的學(xué)生根據(jù)渾儀運(yùn)行原理制作一個(gè)簡單模型：同心的小球半徑為1，大球半徑為R.現(xiàn)要在大球內(nèi)放入一個(gè)由六根等長的鐵絲（不計(jì)粗細(xì)）組成的四面體框架，同時(shí)使得小球可以在框架內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則R的最小值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題設(shè)描述知小球與正四面體的各棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球R最小，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置及大小球半徑，根據(jù)三角形相似列方程求R最小值.
【詳解】由題意，小球與正四面體的各棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證R最小，
如上圖，設(shè)正四面體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為△ SKIPIF 1 < 0 中心，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又小球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，則OF⊥AC，大球半徑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知：△ SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
24．（2023春·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 ，M為側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，N在側(cè)面矩形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)(異于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 )，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的最大值為____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，表達(dá)出三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 的范圍，求出體積最大值.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC， SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不能同時(shí)成立，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不能同時(shí)成立，
要想 SKIPIF 1 < 0 最大，由于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，只需要 SKIPIF 1 < 0 最大，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，滿足要求，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】立體幾何中體積最值問題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立所求體積的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.
25．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考期末）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 為直線PC與平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理與勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得解.
【詳解】記 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為直線PC與平面ABC所成角的平面角，
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線PC與平面ABC所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
26．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）2022年12月3日，南昌市出士了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜如圖（1）所示.現(xiàn)在我們通過DIY手工制作一個(gè)六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，該紙片上的正六邊形 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示． SKIPIF 1 < 0 分別是以 SKIPIF 1 < 0 為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以 SKIPIF 1 < 0 為折痕折起 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 重合，得到六棱錐，則當(dāng)六棱錐體積最大時(shí)，底面六邊形的邊長為___________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)H，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，首先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)求出其高為 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到體積表達(dá)式 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用導(dǎo)數(shù)求出其最值.
【詳解】解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)H，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
六棱錐的高 SKIPIF 1 < 0 ．
正六邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
則六棱錐的體積 SKIPIF 1 < 0 ．
令函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
此時(shí)，底面邊長 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
27．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長均相等的四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 不含端點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A的平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 平行 SKIPIF 1 < 0 若平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的交線分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理說明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而說明 SKIPIF 1 < 0 或其補(bǔ)角即為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成的平面角，利用余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 的長，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案.
【詳解】連接 SKIPIF 1 < 0 ,
由題意知過點(diǎn)A的平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 平行，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的交線分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或其補(bǔ)角即為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成的平面角，
設(shè)正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理求得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要求直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值，需找出直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成角，因而解答的關(guān)鍵是利用面面平行的性質(zhì)說明所求角即為 SKIPIF 1 < 0 或其補(bǔ)角.
28．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過 SKIPIF 1 < 0 作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是___________.
【答案】2
【分析】根據(jù)給定條件，作出過 SKIPIF 1 < 0 的正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的截面，再求出 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式并結(jié)合均值不等式求解作答.
【詳解】記正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值，由 SKIPIF 1 < 0 為定值知，只需求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的截面分別交 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.
三、雙空題
29．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的所有棱長都為1，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 上，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的平面截該棱錐，得到截面多邊形 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的邊數(shù)至多為__________， SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】空1，數(shù)形結(jié)合，作平面與平面 SKIPIF 1 < 0 平行，即可解決；空2，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解決.
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
作平面與平面 SKIPIF 1 < 0 平行，如圖至多為五邊形.
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角，而 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
30．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn).且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡長為__________.點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)給定條件，作出平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面，再確定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡，計(jì)算長度即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.
【詳解】在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，對(duì)角面 SKIPIF 1 < 0 為矩形，
因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即平面 SKIPIF 1 < 0 截正方體所得截面為梯形 SKIPIF 1 < 0 ，顯然過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 平行的平面交平面 SKIPIF 1 < 0 、平面 SKIPIF 1 < 0
分別于 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，連 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 、平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 分別交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
即點(diǎn)M為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，同理 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 始終滿足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 上，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是線段 SKIPIF 1 < 0 ，軌跡長為 SKIPIF 1 < 0 ；
以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

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