1．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求a的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）求導，通過，判斷導數(shù)方程兩根大小，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性.
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷函數(shù)有兩個零點時是極值為時，求出極值解方程可得.
【詳解】（1）
，
當單調(diào)遞增，
當，單調(diào)遞減，
當單調(diào)遞增.
綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）情況一：若,即時,由的單調(diào)性,其在上恒為正,無零點,
在增區(qū)間至多有一個零點,不符題意.
情況二：若,即時,
由于,由零點存在定理,在區(qū)間上存在一個零點，
取,則,
，
當時,,由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故在恒為正,無零點,由零點存在定理,在區(qū)間上存在一個零點,符合題意，
情況三：若,即時,同情況二可得在增區(qū)間恒為正,無零點,
僅有一個零點,不符題意，
綜上,的取值范圍是.
【點睛】思路點睛：本題第二問在于合理地分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，連續(xù)性，利用零點存在定理證明每類情況時的零點個數(shù).
2．（2023秋·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若對恒成立，求k的取值范圍；
(3)求證：對，不等式恒成立.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】(1)對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義即可求解；
(2)根據(jù)題意將不等式進行等價轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值問題，利用導數(shù)求解即可；
(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可求解.
【詳解】（1）因，
所以，所以所求切線方程為，
即；
（2）因為在上恒成立，
而，令得
所以
①當，即時，，
所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；
②當，即時，設，
則的對稱軸為，
所以在上存在唯一零點，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，故，不合題意.
綜上，k的取值范圍為；
（3）由（2），當時，在恒成立，即，
令，
則，故在上單調(diào)遞增，
所以，即在上恒成立.
綜上可得，對，不等式恒成立.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問解題關(guān)鍵是在（2）中令得到，將所證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可.
3．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求實數(shù)的值；
(2)證明：若，則.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的零點存在性原理，結(jié)合函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)、通過構(gòu)造新函數(shù)進行求解即可，
【詳解】（1），切點為，則切線方程為，當時，
在中，分別令得該切線分別與兩坐標軸交于兩點，故三角形面積為，
因此，解得，
當時，，顯然該直線與兩坐標軸圍不成三角形，
綜上所述：；
（2）①當，所以；
②當，要證，即證，令，，令，
，所以在上單調(diào)遞增.取，
使得，即，則，
又，所以由零點存在定理知存在唯一零點，
即有唯一的極值點且為極小值點.又，
即，故，令，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
綜上所述，當，則.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)的極值定義、函數(shù)零點存在性原理是解題的關(guān)鍵.
4．（2020秋·山東淄博·高三校考期中）已知函數(shù).
(1)若，求證：.
(2)討論函數(shù)的極值；
(3)已知，證明
【答案】(1)證明見解析；
(2)當時，沒有極值；當時，在處取得極小值，無極大值；
(3)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)正負得出其單調(diào)性，即可得出其最值，證明出結(jié)論；
（2）分類討論，根據(jù)函數(shù)導數(shù)得出其極值；
（3）令，根據(jù)導數(shù)得出其在上單調(diào)遞增，即可根據(jù)已知得出，結(jié)合對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】（1）當時，，
則，
則當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則；
（2）根據(jù)題意得：，
當時，，則在上單調(diào)遞減，沒有極值，
當時，當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在處取得極小值，無極大值，
（3）令，
則，當時，，即在上單調(diào)遞增，
則當時，，則，則，
則根據(jù)對數(shù)單調(diào)性可得：，
【點睛】在含參函數(shù)求單調(diào)性或極值，求導后結(jié)合其形式對參數(shù)進行討論，注意不要漏；
一般解不等式時，通常要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)來求解，我們可以反過來看，已知需要證明的不等式，看看還能變成什么形式，即可根據(jù)變形形式構(gòu)造新函數(shù)，再利用導數(shù)來求解.
5．（2023秋·浙江·高三期末）已知函數(shù)．
(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上有2個零點；
(2)若函數(shù)有兩個極值點：，且．求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）記函數(shù)，再對求導，得出的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理即可證明；
（2）由題意記，先證明，轉(zhuǎn)化為證明，再證明，設，對求導，求出的單調(diào)性，可證得當時，；當時，，設方程的兩個根為，由韋達定理即可證明.
【詳解】（1）記函數(shù)，由，
則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又．根據(jù)零點存在定理，
存在時，，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
而，，
所以函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，在區(qū)間上有一個零點，
故函數(shù)在區(qū)間上有2個零點．
（2）由函數(shù)有兩個極值點，
則時，方程有兩個不等實根．記，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
因此有極大值，且時，時，，
于是，且．
先證明，只要證，即證，
設，
則，因為，所以，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，于是，
所以．
再證明．
先證當時，；當時，．
設，則，
于是，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，
即當時，；當時，，
于是，當時，；
當時，，
設方程的兩個根為，則，
即方程的兩個根為，
于是
故．
【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點和不等式的證明，考查了利用求導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)解題能力和分類討論思想的應用，第一問借助零點存在性定理證明函數(shù)在區(qū)間上有2個零點；第二問通過構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，最終達到證明不等式成立的目的，因此正確構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.
6．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中a為實數(shù)．
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(2)若，試判斷關(guān)于x的方程在區(qū)間上解的個數(shù)，并給出證明．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)；
(2)2個，證明見解析.
【分析】（1）由導函數(shù)恒成立，利用分離參數(shù)法得到，記，利用單調(diào)性求出，即可求出a的取值范圍；
（2）由得到函數(shù)，利用導數(shù)判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點存在定理即可判斷.
【詳解】（1）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，
所以．
記.
因為 在上單調(diào)遞增且恒大于0.
在上單調(diào)遞增，當時，所以不可能取得最大值；
當時且單調(diào)遞增，單調(diào)遞增且恒大于0，所以在上單調(diào)遞增，所以.
所以.
（2）由得到.
令，則.
記，則
.
當時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減.
．
而，當
故，
故當時，，
所以存在唯一的使，
且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．
當時，令，
則，以在上單調(diào)遞增.
因為，，
所以存在唯一的使，且在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
而，，，
∴存在唯一的使，且當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
綜上所述：當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．
，
當時，
，
所以 ，，
所以在，上各有一個零點，
所以在區(qū)間上共兩個解．
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：
（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；
（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；
（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；
（4）利用導數(shù)證明不等式；
（5）利用導數(shù)研究零點問題.
7．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)若時，，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)討論的零點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求導，得到，對進行分類討論，可得的單調(diào)性，進而求得的時候，實數(shù)a的取值范圍.
（2）通過分類討論，可得函數(shù)的單調(diào)性，進而得到的圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可得的零點個數(shù).
【詳解】（1）的定義域是，．
①當時，，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，所以當時，，滿足題意；
②當時，令，
由，得，．
當時，，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意．
綜上所述，．
（2）①當時，由（1）可得在上單調(diào)遞增，且，
所以在上存在1個零點；
②當時，由（1）可得必有兩根，，
又因為，所以，．
當時，因為，所以在上存在1個零點，
且，；
當時，因為，
，而在單調(diào)遞增，且，而，故，所以在上存在1個零點；
當時，因為，
，而在單調(diào)遞增，且，而，
所以，所以在上存在1個零點．
從而在上存在3個零點．
綜上所述，當時，存在1個零點；當時，存在3個零點．
【點睛】思路點睛：通過求導，得到，通過分析導數(shù)，得到的圖像，通過數(shù)形結(jié)合，可求得不等式恒成立時，參數(shù)的取值范圍，以及相應的的零點個數(shù)
8．（2022秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習）已知，函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)過原點分別作曲線和的切線和，試問：是否存在，使得切線和的斜率互為倒數(shù)？請說明理由；
(3)若時，恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)存在，理由見解析
(3)，．
【分析】（1）求出的導數(shù)，分類討論和時導數(shù)的取值情況，即可求出的單調(diào)性；
（2）首先根據(jù)題意求出過原點時的切線斜率，再根據(jù)倆切線斜率的關(guān)系，表示出的切線斜率，列出一個含a參數(shù)的等式，欲證明（2）問成立，只需證明存在解，也就是存在零點，求出的導數(shù)，找到單調(diào)區(qū)間和極值點即可判斷是否存在；
（3）化簡不等式得，確定不等式定義域，在確定定義域下對進行放縮簡化，因為，所以欲使不等式恒成立，只需證明，欲使化簡不等式成立只需滿足函數(shù)在定義域內(nèi)最小值大于等于0，以此求導計算即可.
【詳解】（1）由已知，
當時，在恒成立，在上單調(diào)遞增；
當時，由，得，
若時，，在上單調(diào)遞增，
若時，，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）假設存在，使得切線和的斜率互為倒數(shù).
，，
設的切線方程是，則，顯然，，切點為，
于是，解得，
所以的斜率為，于是的斜率為
設的切點坐標為，
由，，
又，所以，整理得，
設（），，
當時，，遞增，而，所以 ，
時，，遞減，又，
所以存在，使得，
因此關(guān)于的方程有正數(shù)解．
所以存在，使得切線和的斜率互為倒數(shù).
（3）時，恒成立，
即在時恒成立，
當時，恒成立，即，又，則．.
下面證明：當時，在時恒成立．
先證明時，，
由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
則，即，有，
所以當時，，
要證明，只需證明對任意的，恒成立，
令，則，
由，得，
①當即時，在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，于是
．
②當，即時，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，
令，則，
則在上單調(diào)遞增，
于是，所以恒成立，
所以時，不等式恒成立，因此的范圍是，．
【點睛】結(jié)論點睛：高中常用放縮放縮不等式
（1）指數(shù)函數(shù)放縮：
①；②；③；④
（2）對數(shù)函數(shù)放縮：
①；②；③；④；⑤
（3）指對函數(shù)混合放縮：
（4）三角函數(shù)函數(shù)放縮：
①；②
9．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)(a≠0)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若a＝1，證明：曲線y＝f(x)與直線y＝x＋1恰有兩個公共點，且這兩個公共點關(guān)于點(0，1)對稱．
【答案】(1)答案見解析.
(2)證明見解析.
【分析】（1）求導后分類討論、、時的的單調(diào)性.
（2先構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，再由零點存在性定理可證得有兩個公共點；先設一個交點坐標，再判斷此點關(guān)于點對稱的點是否也在與上即可.
【詳解】（1）∵，
當時，，，
∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當時，，，
∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
綜述：當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）①證曲線與直線有兩個公共點，
當時，，令，
∵不是方程的根，
∴，
令，，則，
∴在，上單調(diào)遞增，
又，，
∴由零點存在性定理可知，在上有一個零點，
又，，
∴由零點存在性定理可知，在上有一個零點，
∴有兩個零點，即：與恰有兩個公共點.
②證兩個公共點關(guān)于(0,1)對稱，
設為與的一個交點，則，
又，
，
∴點也是與的一個交點，
又∵與恰有兩個公共點，
∴兩交點分別為：，，
又∵點與點關(guān)于點對稱，
∴兩個公共點關(guān)于點對稱.
∴綜述：與恰有兩個公共點，且兩個公共點關(guān)于點對稱.
10．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，.
【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；
（2）當吋，，即證在上恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用導數(shù)比較在時，和的大小，即可得證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
，
記，則，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）原不等式為，即，
即證在上恒成立，
設，則，
所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以，
令，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在時，有成立.
【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及利用導數(shù)證明不等式問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，有一定的難度.
11．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為
(2)答案見解析
【分析】（1）當時，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：當時，，該函數(shù)的定義域為，
，
由可得，由可得或.
故當時，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.
（2）解：函數(shù)的定義域為，
，
由，得，，
由可得，由可得或.
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值為，
極小值為，
當時，，
令，其中，
則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當時，，
此時，，所以在上不存在零點；
①當時，，此時函數(shù)無零點；
②當時，，此時函數(shù)只有一個零點；
③當時，，，
則在與上各有一個零點.
綜上所述，（i）當時，在上不存在零點；
（ii）當時，在上存在一個零點；
（iii）當時，在上存在兩個零點.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若函數(shù)有兩個零點，且.
(1)求a的取值范圍；
(2)若在和處的切線交于點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及函數(shù)圖象的變化趨勢結(jié)合零點個數(shù)求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明證明右邊，再利用導數(shù)求切線方程得出，左邊可轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)證明即可.
【詳解】（1）
當，，在上單調(diào)遞減，不可能兩個零點；
當時，令得
，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
∵，；；，
∴有唯一零點且有唯一零點，滿足題意，
綜上：；
（2）先證右邊：令則，
∴，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
∴的最大值為，∴，即，
∴且，
∴，
又∵，∴，
∴；
再證左邊：曲線在和處的切線分別是

聯(lián)立兩條切線得，∴，
由題意得，
要證，即證，即證，即證，
令，即證，
令，
，∴在單調(diào)遞減，∴，
∴得證.
綜上：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：導數(shù)題目中的證明題，主要觀察所證不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，或者將不等式轉(zhuǎn)化變形后，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用函數(shù)的單調(diào)性或有界性求證，對觀察、運算能力要求較高，屬于難題.
13．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設方程在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為，，…，，…，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知可得出對任意的恒成立，驗證對任意的恒成立；在時，利用參變分離法可得出，利用倒數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可求解；
（2）令，利用導數(shù)分析在上的單調(diào)性，利用零點存在性定理可知，求得，證明出，結(jié)和的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1），對任意的，恒成立，
即對任意的恒成立．
當時，則有對任意的恒成立；
當時，，則，令，其中，
，
且不恒為零，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故．
綜上所述，．
（2）由可得，
令，則．
因為，則，
所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
因為，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，則，
所以，
，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，即．
【點睛】利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù).
14．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）已知函數(shù)，.
(1)已知，若時，恒成立，求的取值范圍；
(2)當時，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出時，在區(qū)間上的最小值，使即可；
（2）設，證明即可.
【詳解】（1）∵，，
設，，則
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∵，∴，，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
∴若恒成立，則，
綜上所述，若時，恒成立，則的取值范圍是.
（2）當時，，，
則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴，使，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，也是最小值，，
∵，∴，兩邊同時取對數(shù)，又有，
∴，
設，，
則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又∵，，
∴，使，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在處取得極大值，也是最大值，，
∵，∴，
∴，
設，，
∵，∴，
∵，∴，
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴至多有一個零點，∴，∴，
∴，
即.
【點睛】方法點睛：證明不等式恒成立問題，可以先通過導數(shù)求出的最小值和的最大值，再證明即可.
15．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）已知.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若是函數(shù)的兩個極值點，且，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）運用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及含參一元二次不等式解集即可.
（2）由已知得，，（i）先證：.
證法一：化簡不等式為，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)研究其單調(diào)性即可，證法二：運用函數(shù)單調(diào)性及作差法比較大小即可.
（ii）再證：.運用，等量代換，再與中介值0比較即可.
【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為，
又，
當時，，，則，
，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，或，，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，或，，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
綜述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
（2）由，
有，由題意可知是方程的兩個不同的正根，
因此，即：，
又因為 ，
所以，
又因為，所以.
所以
.
（i）先證：.
證法一：
要證明，只需證明，
因為，，
所以只需證明，即證，
又，
故只需證明，
即證，
因為，故，所以，
令，，則，故在上單調(diào)遞減，
所以，即，
證畢.
證法二：
因為，所以由（1）可知，在上單調(diào)遞減，
要證，只需證明，
因為，所以，
故，證畢.
（ii）再證：.
要證，即證，
只需證明，
又，
故只需證明，
即證，
因為，所以.
綜上，.
【點睛】研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．
待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．
若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．
16．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，恒成立，求的最小值；
(2)若關(guān)于的方程的兩個根分別為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將移項整理，得到，設，考察函數(shù)的值域即可；
（2）先判斷出，然后輔助證明兩個不等式，即可.
【詳解】（1）設，
若恒成立，則恒成立，只需且.
因為，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點，也是的最大值點，即；
又時，，所以，
所以且，當且僅當且時，.
（2）由（1）知，當時，，且；
由，得，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點，也是的最大值點，即，
又時，，時，.
所以當方程有兩個根時，必滿足.
曲線在點處的切線方程為，
下面證明：.
設，則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點，也是的最大值點，即，
所以，即（當且僅當時取等號），
所以（故等號取不到），解得；①
由①，當時，，
所以（故等號取不到），解得，②
①②，得.③
曲線過點和點的割線方程為，
下面證明.
設，
則
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，；
在上單調(diào)遞減，，
所以當時，，即）（當且僅當或時取等號），
由于，所以，解得；④
由（1）知，當時，（當且僅當時取等號），
由于所以，解得，⑤
④⑤，得.⑥
由③和⑥，得.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的難點在于輔助構(gòu)造出兩個函數(shù)不等式，這樣再利用函數(shù)單調(diào)性，得到相關(guān)不等式，然后進行估計的范圍.
17．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）已知.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，對，方程只有唯一實數(shù)根，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導，對參數(shù)a分類討論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為曲線與曲線只有一個交點的問題.
【詳解】（1）， ，
當 時 無解， ，在上單調(diào)遞增；
當 時，令 ，則 ，時 遞減， 時 遞增；
（2）即，即，令，x > 0,
則原問題轉(zhuǎn)化為：曲線 與直線 只有一個交點，求m的取值范圍；
，令 ，即，
當 即時， 在上單調(diào)遞減，
，前半部分時開口向下的二次函數(shù)，后半部分是對數(shù)函數(shù)，
當x趨于0時，趨于0，趨于，趨于，
當x趨于時，趨于，也趨于，所以趨于，
的值域是R，并且是單調(diào)的， 均滿足題設方程有唯一實根；
當 即時， 有兩個不等實數(shù)根，
易知 ，不妨取，
在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
對于 ，令 ，則 ，，同理可得 ，
，故在上單調(diào)遞減，，
，故在上單調(diào)遞增，，
函數(shù) 的大致圖像如下圖：
綜上：要對，方程只有一個實數(shù)根，則 ；
18．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
(2)答案見解析
【分析】（1）求導得到，根據(jù)導函數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.
（2）求導得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算和，得到和，考慮，，，，幾種情況，計算零點得到答案.
【詳解】（1）當時，，
當時，；當時，；當時，，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.
（2），
令，得或，由于，
當時，；當時，，當時，.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.
，
令，得，
當時，，又，
所以存在唯一，使得，此時函數(shù)有1個零點；
當時，，又，
所以存在唯一，使得，此時函數(shù)有2個零點和；
令，得，
現(xiàn)說明，即，即顯然成立.
因為，故，
當時，，又.
所以存在唯一，唯一，唯一，
使得，此時函數(shù)有3個零點，
當時，，又.
所以存在唯一，使得，此時函數(shù)有2個零點和2 .
當時，，又.
所以存在唯一，使得，此時函數(shù)有1個零點.
綜上所述，當時，函數(shù)有1個零點；
當時，函數(shù)有2個零點；
當 時，函數(shù)有3個零點；
當時，函數(shù)有2個零點；
當時，函數(shù)有1個零點.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，零點問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)值分類討論確定零點個數(shù)是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的方法，需要熟練掌握.
19．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知有兩個極值點、，且．
(1)求的范圍；
(2)當時，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由可得，令，其中，分析可知直線與函數(shù)的圖象由兩個交點（非切點），利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合極值點的定義檢驗即可；
（2）由（1）可知，可得出，，構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，以及，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得；然后構(gòu)造函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性證出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，
令可得，
因為函數(shù)有兩個極值點，則函數(shù)有兩個異號的零點，
令，其中，則直線與函數(shù)的圖象由兩個交點（非切點），
，令可得，列表如下：
如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象由兩個交點，且交點橫坐標分別為、，
當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增.
因此，當時，函數(shù)有兩個極值點.
（2）證明：由（1）可知，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，則有，
由于，所以，，即，
又因為，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
因為，所以，，
下面證明：.
因為，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，
所以，
，
令，其中，
則，
令，則，
當且僅當時，等號成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，，
綜上所述，成立.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
20．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).
(1)證明：函數(shù)存在兩個極值點，且有；
(2)試比較函數(shù)的極大值與極小值之和與3的大小，并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)極大值與極小值之和小于3，理由見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導，構(gòu)造函數(shù)，再次對函數(shù)求導，利用函數(shù)導數(shù)性質(zhì)及零點存在性定理進行證明，
（2）由（1）可得函數(shù)的極值，構(gòu)造新函數(shù)求導利用函數(shù)性質(zhì)即可說明理由.
【詳解】（1）證明：由題可知的定義域為，
因為，
所以，
令，則，
當時，；當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，
則在上有且僅有一個零點.
即在上有且僅有一個零點，
又因為，
所以在上有且僅有一個零點，
即在上有且僅有一個零點，
綜上，時，；時，；時，，
所以函數(shù)存在兩個極值點.
設，則，
則在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
由，知，從而有，
化簡可得，
又因為，
兩式相減，可得，即，
所以成立.
（2）由（1）可知，為極大值，為極小值.
由，得，
從而有.
令，
則有，
，
令,
當時，，
所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，
由，知，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以函數(shù)的極大值與極小值之和小于3.
【點睛】方法點睛:函數(shù)與導數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，
難度相當大，主要考向有以下幾點：
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；
2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；
3、求函數(shù)的極值（最值）；
4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
5、證明不等式；
解決方法：對函數(shù)進行求導，結(jié)合函數(shù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，
在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，
對新函數(shù)求導再結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性等解決.
21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)，.
(1)若函數(shù)圖象恰與函數(shù)圖象相切，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，，設點，，證明：、兩點連線的斜率.
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）設切點為，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）由有兩個極值點，可得有兩個不等的正根，且，可得，要證：，即證.令證，進而構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)求解即可；
【詳解】（1）設與切于，
由，則，
所以，則，
即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，
所以.
（2）解法一：
由，
所以，
因為有兩個極值點，
，即有兩個不等的正根，且，
，
要證：，即證.
不妨設，即證：，
即證：，
令證
令，
在上，證畢!
解法二：
因為，所以，
令，則，
因為函數(shù)有兩個極值點，所以，解得.
所以，
所以的斜率
.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當時，.
不妨設，令，則，
所以，
即，證畢!
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式，通常要分析不等式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)求解.本題關(guān)鍵在于分析要證：，即證.令證，進而構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)求解.
22．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有三個零點，，，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）先判斷出，將轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得不等式成立.
【詳解】（1）由，可知定義域，
，令，則，
①當時，，則成立，即成立，
所以在上單調(diào)遞增；
②當時，令，得，記，
，當變化時，，的變化情況如下表
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.
（2）因為函數(shù)有三個零點，，，
不妨設，所以，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.
由，知，故，
因為，
所以，即，
因此，
令，
所以，令，
則在上單調(diào)遞減，且，
，成立，
所以在上單調(diào)遞減，且，因此，
則，
所以.
【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，要在定義域的范圍內(nèi)求解單調(diào)性.當導函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，分類標準的制定可結(jié)合二次函數(shù)的知識來進行.
23．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.
(1)求實數(shù)；
(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】(1)利用導函數(shù)分別討論兩個函數(shù)的單調(diào)性和最值即可求解；
(2)構(gòu)造函數(shù)和，利用導數(shù)和單調(diào)性討論函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)分類討論對應方程根的個數(shù)和分布證明.
【詳解】（1），令.
有最大值，且在上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，.
時，，
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
.
（2）由，由，
令,
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，至多兩個零點，
令，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；至多兩個零點.
令，
當時，，所以；
當時，由，
設，，
所以當時，，
所以在單調(diào)遞增，所以，
所以，且，所以，
設
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，方程無解，
當時，由在上單調(diào)遞增，
方程有唯一解，
當時，注意到，
設，對恒成立，
所以，
所以當時，，即，
因為，所以，，所以，
所以，
在和上各有一個零點，
示意圖
如下注意到，
令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此，即有，
在和上各有一個零點.
且由，而，
而在上單調(diào)遞增，由，
由，而
而在上單調(diào)遞減，由，
于是得，
，證畢!
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵，進而可得同構(gòu)等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論證明.
24．（2022秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若，求實數(shù)的取值范圍.
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件得，進而得出，利用不等式的性質(zhì)及構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及已知條件，只需證當時，成立即可，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)及法求函數(shù)的最值即可求解.
【詳解】（1）因為，則，即，
反之當時，，
令，則，
設，由于在單調(diào)遞增，且，
所以當時，，即，
當時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，即，所以.
（2）由（1）可知：①
下面證明當時，②
等價于，設，
當時，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,
所以，所以②式成立，
由①?②可得：，當時取到“”，
取有，，
所以，不等式成立.
【點睛】解決此題的關(guān)鍵第一問根據(jù)條件得出，進而構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可，第二問的關(guān)鍵根據(jù)第一問得，進而問題轉(zhuǎn)化為只需證當時，即可，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可.
25．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)當時，，求的取值范圍；
(2)函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），證明：；
(3)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為當，恒成立問題；
（2）函數(shù)極值點，是的兩個零點，要證，等價于證，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性可證.
（3）由（1）可知，則有，類似于數(shù)列求和的裂項相消法可證.
【詳解】（1）函數(shù)，，且，
①當時，因為，故恒成立，此時單調(diào)遞增，所以成立；
②當時，令，得，
當時，此時單調(diào)遞減，故，不滿足題意；
綜上可知：.
即的取值范圍為.
（2）由，故，
因為函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），故.
要證：，只要證：.
因為，于是只要證明即可.
因為，故，
因此只要證，等價于證，
即證，令，等價于證明，
令，
因為，所以，
故在上單調(diào)遞增，所以，得證.
（3）由（1）可知當時，，故，
令，所以，所以，
，
所以.
【點睛】方法點睛：1. 導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
2.利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.
3.證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知，函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)設較小的零點為，證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值，無極大值
(2)證明見解析
【分析】（1）由導數(shù)法求極值及單調(diào)區(qū)間即可；
（2）先由零點存在定理說明存在兩個零點，
法一：由導數(shù)法證，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證明；
法二：由導數(shù)法證明證明當時，，再令代入不等式化簡得證.
【詳解】（1）因為，，所以，
當時，；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
故有極小值，無極大值；
（2）因為當時，，所以，
所以，
又時，；時，，
所以有兩個零點 ；
法1：下面證明，，
設，
則，所以在上遞增，
又時，，所以對成立，
所以得證 ，
，
令，則，，，∴.
設，，
則，所以在上遞減，
所以，所以，
所以得證 ，
因為函數(shù)區(qū)間單調(diào)遞減，
又，，，、、，
所以 ；
法2：下面證明當時，，
設，，
，
所以在上遞增，
所以，所以，
再設，，
，
所以在上遞增，
所以，所以，
綜上，當時， ，
現(xiàn)有，所以，
故得，
故得，
所以 .
【點睛】證明零點所在區(qū)間問題：
（1）可結(jié)合零點存在定理說明在區(qū)間端點處異號及函數(shù)單調(diào)性證明；
（2）通過將結(jié)論不等式變形，構(gòu)造成題設函數(shù)的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式成立. 如本題變形成，變形成，則可轉(zhuǎn)化為證；
（3）證明不等關(guān)系可通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)法證明.
27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有3個零點，，，其中．
（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間
(2)（?。áⅲ┳C明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)在定義域內(nèi)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，得單調(diào)區(qū)間；
（2）（?。⒑瘮?shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為有兩個零點，分類討論，得使條件成立的a的取值范圍；
（ⅱ）由，得，證明，得，可證明原命題成立.
【詳解】（1）當時，，，
則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）（?。?br>，，則除1外還有兩個零點，
，令，
當時，在恒成立，則，
所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去；
當時，除1外還有兩個零點，則不單調(diào)，
所以存在兩個零點，所以，解得，
當時，設的兩個零點為，
則，，所以．
當時，，，則單調(diào)遞增；
當時，，，則單調(diào)遞減；
當時，，，則單調(diào)遞增；
又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有3個零點 ，，．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
（ⅱ）證明：因為，
所以若，則，所以．
當時，先證明不等式恒成立，
設，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，
即當時，不等式恒成立．
由，可得，
因為，所以，
即，兩邊同除以，
得，即，
所以．
【點睛】（?。┲星笫沟糜袃蓚€零點的a的取值范圍，得，還需找點說明此時有三個零點；
（ⅱ）由欲證命題知需先求與間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式特征發(fā)現(xiàn)，
進而得得，推斷需證明時，，構(gòu)造函數(shù)證明.
28．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)若，試判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)若恒成立．
①求的取值范圍：
②設，表示不超過的最大整數(shù)．求．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)為上的增函數(shù)，證明見解析
(2)① ；②當或2時，；當時，
【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）①恒成立，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而可得出答案；
②先利用作差法判斷的單調(diào)性，然后結(jié)合①中的結(jié)論求出的范圍，再根據(jù)的定義即可得解.
【詳解】（1），
記，則，
所以，所以單調(diào)遞減；
，所以單調(diào)遞增,
所以，所以，即，且僅有，
所以為上的增函數(shù)；
（2）①，
令，則，
則，所以單調(diào)遞增,
所以，即，
①當時，，所以為遞增函數(shù)，
所以，滿足題意；
②當時，，
有唯一零點，且，
則時，單調(diào)遞減，
所以，不合題意，舍去，
綜上，；
②經(jīng)計算：，
因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，
所以，當或2時，，
當時，，
當時，由①可知，此時，即，
令，則，則有，
令，
則有，
因為，
所以當時，，
所以，當或2時，；當時，．
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
29．（2023·遼寧阜新·?？寄M預測）已知函數(shù)
(1)若時，求的最值；
(2)若函數(shù)，且為的兩個極值點，證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由導數(shù)法求最值；
（2）由導數(shù)法說明單調(diào)性及，則，則轉(zhuǎn)為證，最后再構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），，，，
所以當單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.
所以在處有唯一極小值，即最小值，為，無極大值，即無最大值.
（2）證明：，令
因為，所以單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，所以.
因為為的兩個極值點，所以，且.
所以在、，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減；
因為，則，則，
設，則，
所以在單調(diào)遞減，所以，
所以，因為在，單調(diào)遞減，所以.
所以要證，只需證，即，
令，
令.
所以在單調(diào)遞增，，
所以在單調(diào)遞增，，
所以，即.
【點睛】方法點睛：極值點偏移問題，先由導數(shù)法說明極值點的大小關(guān)系，結(jié)合和函數(shù)單調(diào)性，將不等式放縮，再構(gòu)造函數(shù)由導數(shù)法證明即可.
30．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．
(1)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)有三個不同的極值點，，，且，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)來求得的取值范圍.
（2）首先根據(jù)有個不同的極值點求得的一個范圍，然后化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，不等式恒成立，
即在上恒成立，
記，則，
得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
則，即在區(qū)間上恒成立，
分離變量知：在上恒成立，則，
，
由前面可知，當時，恒成立，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以．
（2），
設曲線圖象上任意一點，
所以曲線在點處的切線方程為，
將代入得，故切點為，
過的切線方程為，
所以直線和曲線相切，并且切點坐標為，
所以當且僅當時，方程有兩個不相等的實根，，并且，
從而當時，有三個極值點，，，并且，，，
取對數(shù)知：，，即，，
則
．
構(gòu)造，
在時恒成立，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
從而的解為，
綜上所述．
【點睛】求解不等式恒成立問題，可考慮利用分離常數(shù)法，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而求得參數(shù)的取值范圍.當一次求導無法求得單調(diào)區(qū)間時，可考慮二次求導等方法來進行求解.
x
＋
0
－
0
＋
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
減
極小值
增
+
0
-
0
+
↗
極大值
↘
極小值
↗

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