1．（2分）在1，﹣2，4，這四個數中，比0小的數是（ ）
A．﹣2B．1C．D．4
2．（2分）用4個完全相同的小正方體組成如圖所示的立方體圖形，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）如圖，將三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1=65°，則∠2的度數為（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4．（2分）如圖，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，點E，G分別在AB，AD上，連接FC，過點E作EH∥FC交BC于點H．若AB=4，AE=1，則BH的長為（ ）
A．1B．2C．3D．3
5．（2分）如圖，△ABC中，∠C=45°，點D在AB上，點E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，則AC的長為（ ）
A．B．2C．D．
6．（2分）小軍家距學校5千米，原來他騎自行車上學，學校為保障學生安全，新購進校車接送學生，若校車速度是他騎車速度的2倍，現在小軍乘校車上學可以從家晚10分鐘出發(fā)，結果與原來到校時間相同．設小軍騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的為（ ）
A．+=B．﹣=C．+10=D．﹣10=

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
7．（3分）據統計，截止到2013年末，某省初中在校學生共有645000人，將數據645000用科學記數法表示為 ．
8．（3分）不等式組的解集是 ．
9．（3分）若a＜＜b，且a，b為連續(xù)正整數，則b2﹣a2= ．
10．（3分）某校舉辦“成語聽寫大賽”，15名學生進入決賽，他們所得分數互不相同，比賽共設8個獲獎名額，某學生知道自己的分數后，要判斷自己能否獲獎，他應該關注的統計量是 （填“平均數”或“中位數”）
11．（3分）如圖，矩形ABCD的面積為 （用含x的代數式表示）．
12．（3分）如圖，直線y=2x+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC，將點C向左平移，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則點C′的坐標為 ．
13．（3分）如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數可以是 （寫出一個即可）
14．（3分）如圖，將半徑為3的圓形紙片，按下列順序折疊．若和都經過圓心O，則陰影部分的面積是 （結果保留π）

三、解答題（共4小題，滿分20分）
15．（5分）先化簡，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．
16．（5分）為促進教育均能發(fā)展，A市實行“陽光分班”，某校七年級一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求該班男生、女生各有多少人．
17．（5分）如圖（圖略），從一副撲克牌中選取紅桃10，方塊10，梅花5，黑桃8四張撲克牌，洗勻后正面朝下放在桌子上，甲先從中任意抽取一張后，乙再從剩余的三張撲克牌中任意抽取一張，用畫樹形圖或列表的方法，求甲乙兩人抽取的撲克牌的點數都是10的概率．
18．（5分）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．

四、解答題
19．（7分）圖①是電子屏幕的局部示意圖，4×4網格的每個小正方形邊長均為1，每個小正方形頂點叫做格點，點A，B，C，D在格點上，光點P從AD的中點出發(fā)，按圖②的程序移動
（1）請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經過的路徑；
（2）在圖①中，所畫圖形是 圖形（填“軸對稱”或“中心對稱”），所畫圖形的周長是 （結果保留π）．
20．（7分）某校組織了主題為“讓勤儉節(jié)約成為時尚”的電子小組作品征集活動，現從中隨機抽取部分作品，按A，B，C，D四個等級進行評價，并根據結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等級為B的作品有 ，并補全條形統計圖；
（3）若該校共征集到800份作品，請估計等級為A的作品約有多少份．
21．（7分）某校九年級四個數學活動小組參加測量操場旗桿高度的綜合實踐活動，如圖是四個小組在不同位置測量后繪制的示意圖，用測角儀測得旗桿頂端A的仰角記為α，CD為測角儀的高，測角儀CD的底部C處與旗桿的底部B處之間的距離記為CB，四個小組測量和計算數據如下表所示：
（1）利用第四組學生測量的數據，求旗桿AB的高度（精確到0.1m）；
（2）四組學生測量旗桿高度的平均值約為 m（精確到0.1m）．
（參考數據：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
22．（7分）甲，乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條公路相向而行，乙車出發(fā)2h后休息，與甲車相遇后，繼續(xù)行駛．設甲、乙兩車與B地的路程分別為y甲（km），y乙（km），甲車行駛的時間為x（h），y甲，y乙與x之間的函數圖象如圖所示，結合圖象解答下列問題：
（1）乙車休息了 h；
（2）求乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當兩車相距40km時，直接寫出x的值．

五、解答題
23．（8分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點D，延長AO交⊙O于點E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列問題：
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．
24．（8分）如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數（x＞0）的圖象經過點A．
（1）直接寫出反比例函數的解析式；
（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設點Q坐標為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．

六、解答題
25．（10分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=6cm，BD=8cm，動點P，Q分別從點B，D同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿B→C→D運動，到點D停止，點Q沿D→O→B運動，到點O停止1s后繼續(xù)運動，到點B停止，連接AP，AQ，PQ．設△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運動時間為x（s）．
（1）填空：AB= cm，AB與CD之間的距離為 cm；
（2）當4≤x≤10時，求y與x之間的函數解析式；
（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．
26．（10分）如圖①，直線l：y=mx+n（m＜0，n＞0）與x，y軸分別相交于A，B兩點，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△COD，過點A，B，D的拋物線P叫做l的關聯拋物線，而l叫做P的關聯直線．
（1）若l：y=﹣2x+2，則P表示的函數解析式為 ；若P：y=﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數解析式為 ．
（2）求P的對稱軸（用含m，n的代數式表示）；
（3）如圖②，若l：y=﹣2x+4，P的對稱軸與CD相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上．當以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標；
（4）如圖③，若l：y=mx﹣4m，G為AB中點，H為CD中點，連接GH，M為GH中點，連接OM．若OM=，直接寫出l，P表示的函數解析式．

吉林省中考數學試卷
參考答案與試題解析

一、選擇題（共6小題，每小題2分，滿分12分）
1．（2分）在1，﹣2，4，這四個數中，比0小的數是（ ）
A．﹣2B．1C．D．4
【考點】2A：實數大小比較．
【專題】1：常規(guī)題型．
【分析】根據有理數比較大小的法則：負數都小于0即可選出答案．
【解答】解：﹣2、1、4、這四個數中比0小的數是﹣2，
故選：A．
【點評】此題主要考查了有理數的比較大小，關鍵是熟練掌握有理數大小比較的法則：
①正數都大于0；
②負數都小于0；
③正數大于一切負數；
④兩個負數，絕對值大的其值反而?。?br>2．（2分）用4個完全相同的小正方體組成如圖所示的立方體圖形，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【考點】U2：簡單組合體的三視圖．
【專題】1：常規(guī)題型．
【分析】俯視圖是從物體上面觀看得到的圖形，結合圖形即可得出答案．
【解答】解：從上面看可得到一個有2個小正方形組成的長方形．
故選：A．
【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，屬于基礎題．
3．（2分）如圖，將三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1=65°，則∠2的度數為（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【考點】JA：平行線的性質．
【專題】11：計算題．
【分析】根據AB∥CD可得∠3=∠1=65°，然后根據∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．
故選：D．
【點評】本題重點考查了平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，是一道較為簡單的題目．
4．（2分）如圖，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，點E，G分別在AB，AD上，連接FC，過點E作EH∥FC交BC于點H．若AB=4，AE=1，則BH的長為（ ）
A．1B．2C．3D．3
【考點】KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性質．
【專題】121：幾何圖形問題．
【分析】求出BE的長，再根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形求出四邊形EFCH平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得EF=CH，再根據正方形的性質可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．
【解答】解：∵AB=4，AE=1，
∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，
∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AD∥EF∥BC，
又∵EH∥FC，
∴四邊形EFCH平行四邊形，
∴EF=CH，
∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=BC，AE=EF，
∴AB﹣AE=BC﹣CH，
∴BE=BH=3．
故選：C．
【點評】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，熟記性質并求出四邊形EFCH平行四邊形是解題的關鍵，也是本題的難點．
5．（2分）如圖，△ABC中，∠C=45°，點D在AB上，點E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，則AC的長為（ ）
A．B．2C．D．
【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質；KW：等腰直角三角形．
【專題】121：幾何圖形問題．
【分析】利用AD=DB=DE，求出∠AEC=90°，在直角等腰三角形中求出AC的長．
【解答】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵DB=DE，
∴∠B=∠DEB，
∴∠AEB=∠DEA+∠DEB=×180°=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=45°，AE=1，
∴AC=．
故選：D．
【點評】本題主要考查等腰直角三角形的判定與性質，解題的關鍵是利用角的關系求出∠AEC是直角．
6．（2分）小軍家距學校5千米，原來他騎自行車上學，學校為保障學生安全，新購進校車接送學生，若校車速度是他騎車速度的2倍，現在小軍乘校車上學可以從家晚10分鐘出發(fā)，結果與原來到校時間相同．設小軍騎車的速度為x千米/小時，則所列方程正確的為（ ）
A．+=B．﹣=C．+10=D．﹣10=
【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程．
【專題】127：行程問題；16：壓軸題．
【分析】設小軍騎車的速度為x千米/小時，則小車速度是2x千米/小時，根據“小軍乘小車上學可以從家晚10分鐘出發(fā)”列出方程解決問題．
【解答】解：設小軍騎車的速度為x千米/小時，則小車速度是2x千米/小時，由題意得，
﹣=．
故選：B．
【點評】此題考查列分式方程解應用題，找出題中蘊含的等量關系是解決問題的關鍵．

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
7．（3分）據統計，截止到2013年末，某省初中在校學生共有645000人，將數據645000用科學記數法表示為 6.45×105 ．
【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．
【專題】1：常規(guī)題型．
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于645000有6位，所以可以確定n=6﹣1=5．
【解答】解：645 000=6.45×105．
故答案為：6.45×105．
【點評】此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵．
8．（3分）不等式組的解集是 x＞3 ．
【考點】CB：解一元一次不等式組．
【專題】11：計算題．
【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x＞3，
則不等式組的解集是：x＞3．
故答案為：x＞3．
【點評】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結合數軸來判斷．還可以觀察不等式的解，若x＞較小的數、＜較大的數，那么解集為x介于兩數之間．
9．（3分）若a＜＜b，且a，b為連續(xù)正整數，則b2﹣a2= 7 ．
【考點】2B：估算無理數的大?。?br>【專題】11：計算題．
【分析】因為32＜13＜42，所以3＜＜4，求得a、b的數值，進一步求得問題的答案即可．
【解答】解：∵32＜13＜42，
∴3＜＜4，
即a=3，b=4，
∴b2﹣a2=7．
故答案為：7．
【點評】此題考查無理數的估算，利用平方估算出根號下的數值的取值，進一步得出無理數的取值范圍，是解決這一類問題的常用方法．
10．（3分）某校舉辦“成語聽寫大賽”，15名學生進入決賽，他們所得分數互不相同，比賽共設8個獲獎名額，某學生知道自己的分數后，要判斷自己能否獲獎，他應該關注的統計量是 中位數 （填“平均數”或“中位數”）
【考點】WA：統計量的選擇．
【專題】1：常規(guī)題型．
【分析】由于比賽設置了8個獲獎名額，共有15名選手參加，故應根據中位數的意義分析．
【解答】解：因為8位獲獎者的分數肯定是15名參賽選手中最高的，
而且15個不同的分數按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有8個數，
故只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否獲獎了．
故答案為：中位數．
【點評】此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．反映數據集中程度的統計量有平均數、中位數、眾數、方差等，各有局限性，因此要對統計量進行合理的選擇和恰當的運用．
11．（3分）如圖，矩形ABCD的面積為 x2+5x+6 （用含x的代數式表示）．
【考點】4B：多項式乘多項式．
【專題】11：計算題．
【分析】表示出矩形的長與寬，得出面積即可．
【解答】解：根據題意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，
故答案為：x2+5x+6．
【點評】此題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
12．（3分）如圖，直線y=2x+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC，將點C向左平移，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則點C′的坐標為 （﹣1，2） ．
【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征；KK：等邊三角形的性質；Q3：坐標與圖形變化﹣平移．
【專題】31：數形結合．
【分析】先求出直線y=2x+4與y軸交點B的坐標為（0，4），再由C在線段OB的垂直平分線上，得出C點縱坐標為2，將y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到C′的坐標為（﹣1，2）．
【解答】解：∵直線y=2x+4與y軸交于B點，
∴x=0時，
得y=4，
∴B（0，4）．
∵以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC，
∴C在線段OB的垂直平分線上，
∴C點縱坐標為2．
將y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣1．
故答案為：（﹣1，2）．
【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，坐標與圖形變化﹣平移，得出C點縱坐標為2是解題的關鍵．
13．（3分）如圖，OB是⊙O的半徑，弦AB=OB，直徑CD⊥AB．若點P是線段OD上的動點，連接PA，則∠PAB的度數可以是 70° （寫出一個即可）
【考點】KH：等腰三角形的性質；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理．
【專題】26：開放型．
【分析】當P點與D點重合是∠DAB=75°，與O重合則OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度數可以是60°﹣﹣75°之間的任意數．
【解答】解：連接DA，OA，則△OAB是等邊三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直徑，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度數可以是60°﹣75°之間的任意數．
故答案為：70°
【點評】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質，等腰三角形的判定及性質．
14．（3分）如圖，將半徑為3的圓形紙片，按下列順序折疊．若和都經過圓心O，則陰影部分的面積是 3π （結果保留π）
【考點】PB：翻折變換（折疊問題）．
【專題】16：壓軸題；28：操作型．
【分析】作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，進而求得∠AOC=120°，再利用陰影部分的面積=S扇形AOC求解．
【解答】解；如圖，作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，延長OD交⊙O于F，
由翻折性質可知，OD=FD=OF，∵OA=OF，
∴OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴陰影部分的面積=S扇形AOC==3π．
故答案為：3π．
【點評】本題主要考查了折疊問題，解題的關鍵是確定∠AOC=120°．

三、解答題（共4小題，滿分20分）
15．（5分）先化簡，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．
【考點】4J：整式的混合運算—化簡求值．
【專題】11：計算題．
【分析】先利用整式的乘法和完全平方公式計算，再進一步合并化簡，最后代入求得數值即可．
【解答】解：原式=x2+3x﹣x2﹣2x﹣1
=x﹣1，
當x=+1時，
原式=+1﹣1=．
【點評】此題考查整式的混合運算與化簡求值，注意先利用公式計算化簡，再進一步代入求得數值即可．
16．（5分）為促進教育均能發(fā)展，A市實行“陽光分班”，某校七年級一班共有新生45人，其中男生比女生多3人，求該班男生、女生各有多少人．
【考點】8A：一元一次方程的應用．
【專題】12：應用題．
【分析】設女生x人，則男生為（x+3）人．再利用總人數為45人，即可得出等式求出即可．
【解答】解：設女生x人，則男生為（x+3）人．
依題意得 x+x+3=45，
解得，x=21，
男生為：x+3=24．
答：該班男生、女生分別是24人、21人．
【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，根據已知得出表示出男女生人數是解題關鍵．
17．（5分）如圖（圖略），從一副撲克牌中選取紅桃10，方塊10，梅花5，黑桃8四張撲克牌，洗勻后正面朝下放在桌子上，甲先從中任意抽取一張后，乙再從剩余的三張撲克牌中任意抽取一張，用畫樹形圖或列表的方法，求甲乙兩人抽取的撲克牌的點數都是10的概率．
【考點】X6：列表法與樹狀圖法．
【專題】1：常規(guī)題型．
【分析】列出樹狀圖后利用概率公式求解即可．
【解答】解：列樹狀圖為：
∵共12種情況，其中兩個都是10的情況共有2種，
∴P（點數都是10）==．
【點評】本題考查了列表法語樹狀圖的知識，解題的關鍵是根據題意列出樹狀圖，這也是解決本題的難點．
18．（5分）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．
【考點】KB：全等三角形的判定．
【專題】14：證明題．
【分析】根據∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據全等的條件可得出結論．
【解答】證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判斷兩個直角三角形全等的方法HL．

四、解答題
19．（7分）圖①是電子屏幕的局部示意圖，4×4網格的每個小正方形邊長均為1，每個小正方形頂點叫做格點，點A，B，C，D在格點上，光點P從AD的中點出發(fā)，按圖②的程序移動
（1）請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經過的路徑；
（2）在圖①中，所畫圖形是 軸對稱 圖形（填“軸對稱”或“中心對稱”），所畫圖形的周長是 4π （結果保留π）．
【考點】R8：作圖﹣旋轉變換．
【專題】13：作圖題．
【分析】（1）根據旋轉度數和方向分別作出弧即可；
（2）根據圖形的軸對稱性解答；求出四次旋轉的度數之和，然后根據弧長公式列式計算即可得解．
【解答】解：（1）如圖所示；
（2）所畫圖形是軸對稱圖形；
旋轉的度數之和為270°+90°×2+270°=720°，
所畫圖形的周長==4π．
故答案為：4π．
【點評】本題考查利用旋轉變換作圖，弧長的計算，熟練掌握旋轉的性質以及弧長公式是解題的關鍵．
20．（7分）某校組織了主題為“讓勤儉節(jié)約成為時尚”的電子小組作品征集活動，現從中隨機抽取部分作品，按A，B，C，D四個等級進行評價，并根據結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等級為B的作品有 48 ，并補全條形統計圖；
（3）若該校共征集到800份作品，請估計等級為A的作品約有多少份．
【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖．
【專題】11：計算題．
【分析】（1）根據C的人數除以占的百分比，得到抽取作品的總份數；
（2）由總份數減去其他份數，求出B的份數，補全條形統計圖即可；
（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到結果．
【解答】解：（1）根據題意得：30÷25%=120（份），
則抽取了120份作品；
（2）等級B的人數為120﹣（36+30+6）=48（份），
補全統計圖，如圖所示：
故答案為：48；
（3）根據題意得：800×=240（份），
則估計等級為A的作品約有240份．
【點評】此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體，弄清題意是解本題的關鍵．
21．（7分）某校九年級四個數學活動小組參加測量操場旗桿高度的綜合實踐活動，如圖是四個小組在不同位置測量后繪制的示意圖，用測角儀測得旗桿頂端A的仰角記為α，CD為測角儀的高，測角儀CD的底部C處與旗桿的底部B處之間的距離記為CB，四個小組測量和計算數據如下表所示：
（1）利用第四組學生測量的數據，求旗桿AB的高度（精確到0.1m）；
（2）四組學生測量旗桿高度的平均值約為 9.6 m（精確到0.1m）．
（參考數據：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．
【專題】121：幾何圖形問題．
【分析】（1）首先在直角三角形ADE中利用∠α和BE的長求得線段AE的長，然后與線段BE相加即可求得旗桿的高度；
（2）利用算術平均數求得旗桿的平均值即可．
【解答】解：（1）∵由已知得：在Rt△ADE中，∠α=28°，DE=BC=15.2米，
∴AE=DE×tanα=15.2×tan28°≈8.04米，
∴AB=AE+EB=1.56+8.04≈9.6米，
答：旗桿的高約為9.6米；
（2）四組學生測量旗桿高度的平均值為（9.8+9.6+9.7+9.6）÷4≈9.7米．
【點評】本題考查了解直角三角形的知識，了解仰角及俯角的定義是解答本題的關鍵，難度不大．
22．（7分）甲，乙兩輛汽車分別從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條公路相向而行，乙車出發(fā)2h后休息，與甲車相遇后，繼續(xù)行駛．設甲、乙兩車與B地的路程分別為y甲（km），y乙（km），甲車行駛的時間為x（h），y甲，y乙與x之間的函數圖象如圖所示，結合圖象解答下列問題：
（1）乙車休息了 0.5 h；
（2）求乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當兩車相距40km時，直接寫出x的值．
【考點】FH：一次函數的應用．
【專題】31：數形結合；41：待定系數法．
【分析】（1）根據待定系數法，可得y甲的解析式，根據函數值為200千米時，可得相應自變量的值，根據自變量的差，可得答案；
（2）根據待定系數法，可得y乙的函數解析式；
（3）分類討論，0≤x≤2.5，y甲減y乙等于40千米，2.5≤x≤5時，y乙減y甲等于40千米，可得答案．
【解答】解：（1）設甲車行駛的函數解析式為y甲=kx+b，（k是不為0的常數）
y甲=kx+b圖象過點（0，400），（5，0），
得，
解得，
甲車行駛的函數解析式為y甲=﹣80x+400，
當y=200時，x=2.5（h），
2.5﹣2=0.5（h），
故答案為：0.5；
（2）設乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式y乙=kx+b，
y乙=kx+b圖象過點（2.5，200），（5，400），
得，
解得，
乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式y乙=80x（2.5≤x≤5）；
（3）設乙車與甲車相遇前y乙與x的函數解析式y乙=kx，圖象過點（2，200），
解得k=100，
∴乙車與甲車相遇前y乙與x的函數解析式y乙=100x，
0≤x≤2.5，y甲減y乙等于40千米，
即400﹣80x﹣100x=40，解得 x=2；
2.5≤x≤5時，y乙減y甲等于40千米，
即2.5≤x≤5時，80x﹣（﹣80x+400）=40，解得x=，
綜上所述：x=2或x=．
【點評】本題考查了一次函數的應用，待定系數法是求函數解析式的關鍵．

五、解答題
23．（8分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點D，延長AO交⊙O于點E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列問題：
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．
【考點】KD：全等三角形的判定與性質；L5：平行四邊形的性質；ME：切線的判定與性質．
【專題】14：證明題．
【分析】（1）連接OD，求出∠EOC=∠DOC，根據SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）根據全等三角形的性質求出CE=CD=4，根據平行四邊形性質求出OA=3，根據平行四邊形的面積公式求出即可．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC=3，
∴平行四邊形OABC的面積S=OA×CE=3×4=12．
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，切線的判定，平行四邊形的性質的應用，解此題的關鍵是推出△EOC≌△DOC．
24．（8分）如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數（x＞0）的圖象經過點A．
（1）直接寫出反比例函數的解析式；
（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設點Q坐標為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．
【考點】GB：反比例函數綜合題．
【專題】15：綜合題．
【分析】（1）如圖①，在Rt△OAB中利用勾股定理計算出OB=，OA=2，由于AB平行于x軸，則OC⊥AB，則可利用面積法計算出OC=2，在Rt△AOC中，根據勾股定理可計算出AC=4，得到A點坐標為（4，2），然后利用待定系數法確定反比例函數解析式為y=；
（2）分別過P、Q做x軸垂線，垂足分別為H、D，如圖②，先證明Rt△POH∽Rt△OQD，根據相似的性質得==，由于OP=2OQ，PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，則==2，即有x=2n，y=﹣2m，而x、y滿足y=，則2n?（﹣2m）=8，即mn=﹣2，當1＜x＜8時，1＜y＜8，所以1＜﹣2m＜8，解得﹣4＜m＜﹣；
（3）由于n=1時，m=﹣2，即Q點坐標為（﹣2，1），利用兩點的距離公式計算出OQ=，則OP=2OQ=2，然后根據三角形面積公式求解．
【解答】解：（1）如圖①，∵∠AOB=90°，
∴OA2+OB2=AB2，
∵OA=2OB，AB=5，
∴4OB2+OB2=25，解得OB=，
∴OA=2，
∵AB平行于x軸，
∴OC⊥AB，
∴OC?AB=OB?OA，即OC==2，
在Rt△AOC中，AC==4，
∴A點坐標為（4，2），
設過A點的反比例函數解析式為y=，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數解析式為y=；
（2）分別過P、Q作x軸垂線，垂足分別為H、D，如圖②，
∵OQ⊥OP，
∴∠POH+∠QOD=90°，
∵∠POH+∠OPH=90°，
∴∠QOD=∠OPH，
∴Rt△POH∽Rt△OQD，
∴==，
∵P（x，y）在（1）中的反比例函數圖象上，其中1＜x＜8，Q點坐標為（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，
∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，
∴==2，解得x=2n，y=﹣2m，
∵y=，
∴2n?（﹣2m）=8，
∴n=（﹣4＜m＜﹣）；
（3）∵n=1時，m=﹣2，即Q點坐標為（﹣2，1），
∴OQ==，
∴OP=2OQ=2，
∴S△POQ=××2=5．
【點評】本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和待定系數法求反比例函數解析式；理解坐標與圖形的性質；會利用相似比和勾股定理進行幾何計算．

六、解答題
25．（10分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=6cm，BD=8cm，動點P，Q分別從點B，D同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿B→C→D運動，到點D停止，點Q沿D→O→B運動，到點O停止1s后繼續(xù)運動，到點B停止，連接AP，AQ，PQ．設△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運動時間為x（s）．
（1）填空：AB= 5 cm，AB與CD之間的距離為 cm；
（2）當4≤x≤10時，求y與x之間的函數解析式；
（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．
【考點】KQ：勾股定理；L8：菱形的性質；LO：四邊形綜合題；S5：相似圖形．
【專題】152：幾何綜合題；16：壓軸題；32：分類討論．
【分析】（1）根據勾股定理即可求得AB，根據面積公式求得AB與CD之間的距離．
（2）當4≤x≤10時，運動過程分為三個階段，需要分類討論，避免漏解：
①當4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上；
②當5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上；
③當9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．
（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計算：
①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示；
②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．
【解答】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB===5，
設AB與CD間的距離為h，
∴△ABC的面積S=AB?h，
又∵△ABC的面積S=S菱形ABCD=×AC?BD=×6×8=12，
∴AB?h=12，
∴h==．
（2）設∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ=，csθ=．
①當4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC﹣PB=5﹣x．
過點P作PH⊥AC于點H，則PH=PC?csθ=（5﹣x）．
∴y=S△APQ=QA?PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；
②當5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上．
PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．
過點P作PH⊥BD于點H，則PH=PD?sinθ=（10﹣x）．
∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四邊形BCPQ﹣S△APD
=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD
=AC?BD﹣BQ?OA﹣（BD?OC﹣QD?PH）﹣PD×h
=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）?（10﹣x）]﹣（10﹣x）×
=﹣x2+x﹣；
③當9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．
y=S△APQ=AB×h=×5×=12．
綜上所述，當4≤x≤10時，y與x之間的函數解析式為：
y=．
（3）有兩種情況：
①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．
此時BP=QD=x，則BQ=8﹣x．
∵PQ∥CD，
∴，
即，
∴x=；
②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．
此時PD=10﹣x，QD=x﹣1．
∵PQ∥BC，
∴，
即，
∴x=．
綜上所述，滿足條件的x的值為或．
【點評】本題是運動型綜合題，考查了菱形的性質、勾股定理、圖形面積、相似等多個知識點，重點考查了分類討論的數學思想．本題第（2）（3）問均需分類討論，這是解題的難點；另外，試題計算量較大，注意認真計算．
26．（10分）如圖①，直線l：y=mx+n（m＜0，n＞0）與x，y軸分別相交于A，B兩點，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到△COD，過點A，B，D的拋物線P叫做l的關聯拋物線，而l叫做P的關聯直線．
（1）若l：y=﹣2x+2，則P表示的函數解析式為 y=﹣x2﹣x+2 ；若P：y=﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數解析式為 y=﹣4x+4 ．
（2）求P的對稱軸（用含m，n的代數式表示）；
（3）如圖②，若l：y=﹣2x+4，P的對稱軸與CD相交于點E，點F在l上，點Q在P的對稱軸上．當以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標；
（4）如圖③，若l：y=mx﹣4m，G為AB中點，H為CD中點，連接GH，M為GH中點，連接OM．若OM=，直接寫出l，P表示的函數解析式．
【考點】FH：一次函數的應用；HF：二次函數綜合題；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；L5：平行四邊形的性質；R8：作圖﹣旋轉變換．
【專題】16：壓軸題；23：新定義．
【分析】（1）若l：y=﹣2x+2，求出點A、B、D的坐標，利用待定系數法求出P表示的函數解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出點D、A、B的坐標，再利用待定系數法求出l表示的函數解析式；
（2）根據對稱軸的定義解答即可；
（3）以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎，列方程求出點Q的坐標．注意：點Q的坐標有兩個，如答圖1所示，不要漏解；
（4）如答圖2所示，作輔助線，構造等腰直角三角形OGH，求出OG的長度，進而由AB=2OG求出AB的長度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分別求出l，P表示的函數解析式．
【解答】解：（1）若l：y=﹣2x+2，則A（1，0），B（0，2）．
∵將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△COD，
∴D（﹣2，0）．
設P表示的函數解析式為：y=ax2+bx+c，將點A、B、D坐標代入得：
，
解得，
∴P表示的函數解析式為：y=﹣x2﹣x+2；
若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），
則D（﹣4，0），A（1，0）．
∴B（0，4）．
設l表示的函數解析式為：y=kx+b，將點A、B坐標代入得：
，解得，
∴l(xiāng)表示的函數解析式為：y=﹣4x+4．
（2）直線l：y=mx+n（m＜0，n＞0），
令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；
令x=0，得y=n．
∴A（﹣，0）、B（0，n），
∴D（﹣n，0）．
設拋物線對稱軸與x軸的交點為N（x，0），
∵DN=AN，
∴﹣﹣x=x﹣（﹣n），
∴2x=﹣n﹣，
∴P的對稱軸為x=﹣．
（3）若l：y=﹣2x+4，則A（2，0）、B（0，4），
∴C（0，2）、D（﹣4，0）．
可求得直線CD的解析式為：y=x+2．
由（2）可知，P的對稱軸為x=﹣1．
∵以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，
∴FQ∥CE，且FQ=CE．
設直線FQ的解析式為：y=x+b．
∵點E、點C的橫坐標相差1，
∴點F、點Q的橫坐標也是相差1．
則|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，
解得xF=0或xF=﹣2．
∵點F在直線ll：y=﹣2x+4上，
∴點F坐標為（0，4）或（﹣2，8）．
若F（0，4），則直線FQ的解析式為：y=x+4，
當x=﹣1時，y=，
∴Q1（﹣1，）；
若F（﹣2，8），則直線FQ的解析式為：y=x+9，
當x=﹣1時，y=，
∴Q2（﹣1，）．
∴滿足條件的點Q有2個，如答圖1所示，點Q坐標為Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）．
（4）如答圖2所示，連接OG、OH．
∵點G、H為斜邊中點，
∴OG=AB，OH=CD．
由旋轉性質可知，AB=CD，OG⊥OH，
∴△OGH為等腰直角三角形．
∵點M為GH中點，
∴△OMG為等腰直角三角形，
∴OG=OM=?=2，
∴AB=2OG=4．
∵l：y=mx﹣4m，
∴A（4，0），B（0，﹣4m）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，
即：42+（﹣4m）2=（4）2，
解得：m=﹣2或m=2，
∵點B在y軸正半軸，
∴m=2舍去，∴m=﹣2．
∴l(xiāng)表示的函數解析式為：y=﹣2x+8；
∴B（0，8），D（﹣8，0）．
又A（4，0），
利用待定系數法求得P：y=﹣x2﹣x+8．
【點評】本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、一次函數、待定系數法、旋轉變換、平行四邊形、等腰直角三角形、勾股定理等多個知識點，綜合性較強，有一定的難度．題干中定義了“關聯拋物線”與“關聯直線”的新概念，理解這兩個概念是正確解題的前提．
數據
組別
CD的長（m）
BC的長（m）

仰角α
AB的長（m）
第一組
1.59
13.2
32°
9.8
第二組
1.58
13.4
31°
9.6
第三組
1.57
14.1
30°
9.7
第四組
1.56
15.2
28°
數據
組別
CD的長（m）

BC的長（m）


仰角α

AB的長（m）

第一組
1.59
13.2
32°
9.8
第二組
1.58
13.4
31°
9.6
第三組
1.57
14.1
30°
9.7
第四組
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15.2
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