1．（4分）（2014?北京）2的相反數(shù)是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣ D．
2．（4分）（2014?北京）據(jù)報道，某小區(qū)居民李先生改進(jìn)用水設(shè)備，在十年內(nèi)幫助他居住小區(qū)的居民累計節(jié)水300 000噸．將300 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A． 0.3×106 B． 3×105 C． 3×106 D． 30×104
3．（4分）（2014?北京）如圖，有6張撲克牌，從中隨機(jī)抽取一張，點數(shù)為偶數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2014?北京）如圖是幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A． 圓錐 B． 圓柱 C． 正三棱柱 D． 正三棱錐
5．（4分）（2014?北京）某籃球隊12名隊員的年齡如表：
則這12名隊員年齡的眾數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）
A． 18，19 B． 19，19 C． 18，19.5 D． 19，19.5
6．（4分）（2014?北京）園林隊在某公園進(jìn)行綠化，中間休息了一段時間．已知綠化面積S（單位：平方米）與工作時間t（單位：小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖，則休息后園林隊每小時綠化面積為（ ）
A． 40平方米 B． 50平方米 C． 80平方米 D． 100平方米
7．（4分）（2014?北京）如圖，圓O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為（ ）
A． 2 B． 4 C． 4 D． 8
8．（4分）（2014?北京）已知點A為某封閉圖形邊界上一定點，動點P從點A出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周．設(shè)點P運動的時間為x，線段AP的長為y．表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖，則該封閉圖形可能是（ ）
A． B． C． D．

二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．（4分）（2014?北京）分解因式：ax4﹣9ay2= ．
10．（4分）（2014?北京）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為25m，那么這根旗桿的高度為 m．
11．（4分）（2014?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2．寫出一個函數(shù)y= （k≠0），使它的圖象與正方形OABC有公共點，這個函數(shù)的表達(dá)式為 ．
12．（4分）（2014?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點．已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，…．若點A1的坐標(biāo)為（3，1），則點A3的坐標(biāo)為 ，點A2014的坐標(biāo)為 ；若點A1的坐標(biāo)為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為 ．

三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．（5分）（2014?北京）如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求證：∠A=∠E．

14．（5分）（2014?北京）計算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|

15．（5分）（2014?北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．

16．（5分）（2014?北京）已知x﹣y=，求代數(shù)式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．

17．（5分）（2014?北京）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．

18．（5分）（2014?北京）列方程或方程組解應(yīng)用題：
小馬自駕私家車從A地到B地，駕駛原來的燃油汽車所需油費108元，駕駛新購買的純電動車所需電費 27元，已知每行駛1千米，原來的燃油汽車所需的油費比新購買的純電動汽車所需的電費多0.54元，求新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費．

四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19．（5分）（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
20．（5分）（2014?北京）根據(jù)某研究院公布的2009～2013年我國成年國民閱讀調(diào)查報告的部分相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制的統(tǒng)計圖表如下：
2009～2013年成年國民年人均閱讀圖書數(shù)量統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）直接寫出扇形統(tǒng)計圖中m的值；
（2）從2009到2013年，成年國民年人均閱讀圖書的數(shù)量每年增長的幅度近似相等，估算成年國民年人均閱讀圖書的數(shù)量約為 本；
（3）2013年某小區(qū)傾向圖書閱讀的成年國民有990人，若該小區(qū)與2013年成年國民的人數(shù)基本持平，估算該小區(qū)成年國民閱讀圖書的總數(shù)量約為 本．

21．（5分）（2014?北京）如圖，AB是eO的直徑，C是?AB的中點，eO的切線BD交AC的延長線于點D，E 是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交eO于點H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的長．
22．（5分）（2014?北京）閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長．
小騰發(fā)現(xiàn)，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖 2）．
請回答：∠ACE的度數(shù)為 ，AC的長為 ．
參考小騰思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點E，AE=2，BE=2ED，求BC的長．

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．（7分）（2014?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；
（2）設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點）．若直線CD 與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點D縱坐標(biāo)t的取值范圍．
24．（7分）（2014?北京）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

25．（8分）（2014?北京）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．
（1）分別判斷函數(shù) y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；
（2）若函數(shù)y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；
（3）將函數(shù) y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時，滿足≤t≤1？

北京市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個選項，其中只有一個．是符合題意的．
1．（4分）（2014?北京）2的相反數(shù)是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． ﹣ D．
考點： 相反數(shù)．
分析： 根據(jù)相反數(shù)的概念作答即可．
解答： 解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知：2的相反數(shù)是﹣2．
故選：B．
點評： 此題主要考查相反數(shù)的定義：只有符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)．0的相反數(shù)是其本身．

2．（4分）（2014?北京）據(jù)報道，某小區(qū)居民李先生改進(jìn)用水設(shè)備，在十年內(nèi)幫助他居住小區(qū)的居民累計節(jié)水300 000噸．將300 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A． 0.3×106 B． 3×105 C． 3×106 D． 30×104
考點： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答： 解：300 000=3×105，
故選：B．
點評： 此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．（4分）（2014?北京）如圖，有6張撲克牌，從中隨機(jī)抽取一張，點數(shù)為偶數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
考點： 概率公式．
分析： 由有6張撲克牌，從中隨機(jī)抽取一張，點數(shù)為偶數(shù)的有3種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵有6張撲克牌，從中隨機(jī)抽取一張，點數(shù)為偶數(shù)的有3種情況，
∴從中隨機(jī)抽取一張，點數(shù)為偶數(shù)的概率是：=．
故選D．
點評： 此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

4．（4分）（2014?北京）如圖是幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A． 圓錐 B． 圓柱 C． 正三棱柱 D． 正三棱錐
考點： 由三視圖判斷幾何體．
分析： 如圖：該幾何體的俯視圖與左視圖均為矩形，主視圖為三角形，易得出該幾何體的形狀．
解答： 解：該幾何體的左視圖為矩形，俯視圖亦為矩形，主視圖是一個三角形，
則可得出該幾何體為三棱柱．
故選C．
點評： 本題是個簡單題，主要考查的是三視圖的相關(guān)知識，解得此題時要有豐富的空間想象力．

5．（4分）（2014?北京）某籃球隊12名隊員的年齡如表：
則這12名隊員年齡的眾數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）
A． 18，19 B． 19，19 C． 18，19.5 D． 19，19.5
考點： 眾數(shù)；加權(quán)平均數(shù)．
分析： 根據(jù)眾數(shù)及平均數(shù)的概念求解．
解答： 解：年齡為18歲的隊員人數(shù)最多，眾數(shù)是18；
平均數(shù)==19．
故選A．
點評： 本題考查了眾數(shù)及平均數(shù)的知識，掌握眾數(shù)及平均數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

6．（4分）（2014?北京）園林隊在某公園進(jìn)行綠化，中間休息了一段時間．已知綠化面積S（單位：平方米）與工作時間t（單位：小時）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖，則休息后園林隊每小時綠化面積為（ ）
A． 40平方米 B． 50平方米 C． 80平方米 D． 100平方米
考點： 函數(shù)的圖象．
分析： 根據(jù)圖象可得，休息后園林隊2小時綠化面積為160﹣60=100平方米，然后可得綠化速度．
解答： 解：根據(jù)圖象可得，休息后園林隊2小時綠化面積為160﹣60=100平方米，
每小時綠化面積為100÷2=50（平方米）．
故選：B．
點評： 此題主要考查了函數(shù)圖象，關(guān)鍵是正確理解題意，從圖象中找出正確信息．

7．（4分）（2014?北京）如圖，圓O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為（ ）
A． 2 B． 4 C． 4 D． 8
考點： 垂徑定理；等腰直角三角形；圓周角定理．
分析： 根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于圓O的直徑AB垂直于弦CD，根據(jù)垂徑定理得CE=DE，且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=OC=2，
然后利用CD=2CE進(jìn)行計算．
解答： 解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵圓O的直徑AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE為等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故選C．
點評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．

8．（4分）（2014?北京）已知點A為某封閉圖形邊界上一定點，動點P從點A出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周．設(shè)點P運動的時間為x，線段AP的長為y．表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖，則該封閉圖形可能是（ ）
A． B． C． D．
考點： 動點問題的函數(shù)圖象．
分析： 根據(jù)等邊三角形，菱形，正方形，圓的性質(zhì)，分析得到y(tǒng)隨x的增大的變化關(guān)系，然后選擇答案即可．
解答： 解：A、等邊三角形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上直線變化，
在點A的對邊上時，設(shè)等邊三角形的邊長為a，
則y=（a＜x＜2a），符合題干圖象；
B、菱形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上直線變化，
在另兩邊上時，都是先變速減小，再變速增加，題干圖象不符合；
C、正方形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上直線變化，
在另兩邊上，先變速增加至∠A的對角頂點，再變速減小至另一頂點，題干圖象不符合；
D、圓，AP的長度，先變速增加至AP為直徑，然后再變速減小至點P回到點A，題干圖象不符合．
故選A．
點評： 本題考查了動點問題函數(shù)圖象，熟練掌握等邊三角形，菱形，正方形以及圓的性質(zhì)，理清點P在各邊時AP的長度的變化情況是解題的關(guān)鍵．

二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．（4分）（2014?北京）分解因式：ax4﹣9ay2= a（x2﹣3y）（x2+3y） ．
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用．
分析： 首先提取公因式a，進(jìn)而利用平方差公式進(jìn)行分解即可．
解答： 解：ax4﹣9ay2=a（x4﹣9y2）=a（x2﹣3y）（x2+3y）．
故答案為：a（x2﹣3y）（x2+3y）．
點評： 此題主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，正確利用平方差公式是解題關(guān)鍵．

10．（4分）（2014?北京）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為25m，那么這根旗桿的高度為 15 m．
考點： 相似三角形的應(yīng)用．
分析： 根據(jù)同時同地物高與影長成正比列式計算即可得解．
解答： 解：設(shè)旗桿高度為x米，
由題意得，=，
解得x=15．
故答案為：15．
點評： 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了同時同地物高與影長成正比，需熟記．

11．（4分）（2014?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2．寫出一個函數(shù)y= （k≠0），使它的圖象與正方形OABC有公共點，這個函數(shù)的表達(dá)式為 y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一） ．
考點： 反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
專題： 開放型．
分析： 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到B點坐標(biāo)為（2，2），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出過B點的反比例函數(shù)解析式即可．
解答： 解：∵正方形OABC的邊長為2，
∴B點坐標(biāo)為（2，2），
當(dāng)函數(shù)y= （k≠0）過B點時，k=2×2=4，
∴滿足條件的一個反比例函數(shù)解析式為y=．
故答案為：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．
點評： 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．

12．（4分）（2014?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點．已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，…．若點A1的坐標(biāo)為（3，1），則點A3的坐標(biāo)為 （﹣3，1） ，點A2014的坐標(biāo)為 （0，4） ；若點A1的坐標(biāo)為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為 ﹣1＜a＜1且0＜b＜2 ．
考點： 規(guī)律型：點的坐標(biāo)．
分析： 根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2014除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點A2014的坐標(biāo)即可；再寫出點A1（a，b）的“伴隨點”，然后根據(jù)x軸上方的點的縱坐標(biāo)大于0列出不等式組求解即可．
解答： 解：∵A1的坐標(biāo)為（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2014÷4=503余2，
∴點A2014的坐標(biāo)與A2的坐標(biāo)相同，為（0，4）；
∵點A1的坐標(biāo)為（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，
∴，，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案為：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．
點評： 本題是對點的變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．

三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．（5分）（2014?北京）如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求證：∠A=∠E．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 由全等三角形的判定定理SAS證得△ABC≌△EDB，則對應(yīng)角相等：∠A=∠E．
解答： 證明：如圖，∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC與△EDB中，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A=∠E．
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

14．（5分）（2014?北京）計算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|
考點： 實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析： 本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．針對每個考點分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
解答： 解：原式=1﹣5﹣+
=﹣4．
點評： 本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．

15．（5分）（2014?北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
考點： 解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
分析： 去分母、去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化成1即可求解．
解答： 解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，
移項，得：3x﹣4x≤6﹣3，
合并同類項，得：﹣x≤3，
系數(shù)化成1得：x≥﹣3．
則解集在數(shù)軸上表示出來為：
．
點評： 本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學(xué)生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．
解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：
（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；
（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；
（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．

16．（5分）（2014?北京）已知x﹣y=，求代數(shù)式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．
考點： 整式的混合運算—化簡求值．
分析： 先把代數(shù)式計算，進(jìn)一步化簡，再整體代入x﹣y=，求得數(shù)值即可．
解答： 解：∵x﹣y=，
∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）
=x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy
=x2+y2﹣2xy+1
=（x﹣y）2+1
=（）2+1
=3+1
=4．
點評： 此題考查整式的混合運算與化簡求值，注意先化簡，再整體代入求值．

17．（5分）（2014?北京）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．
考點： 根的判別式．
專題： 計算題．
分析： （1）先計算判別式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的值得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到方程總有兩個實數(shù)根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整數(shù)的整除性確定正整數(shù)m的值．
解答： （1）證明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
當(dāng)m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，
即方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，
∴正整數(shù)m的值為1或2．
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．

18．（5分）（2014?北京）列方程或方程組解應(yīng)用題：
小馬自駕私家車從A地到B地，駕駛原來的燃油汽車所需油費108元，駕駛新購買的純電動車所需電費 27元，已知每行駛1千米，原來的燃油汽車所需的油費比新購買的純電動汽車所需的電費多0.54元，求新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費．
考點： 分式方程的應(yīng)用．
分析： 設(shè)新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為x元，則原來的燃油汽車所需的油費為（x+0.54）元，根據(jù)駕駛原來的燃油汽車所需油費108元，駕駛新購買的純電動車所需電費27元，所行的路程相等列出方程解決問題．
解答： 解：設(shè)新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為x元，由題意得
=
解得：x=0.18
經(jīng)檢驗x=0.18為原方程的解
答：純電動汽車每行駛1千米所需的電費為0.18元．
點評： 此題考查分式方程的應(yīng)用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出方程解決問題．

四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19．（5分）（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
考點： 菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．
分析： （1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形和角平分線的性質(zhì)可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分線，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形．
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
∴tan∠ADP==．
點評： 本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記菱形的幾個判定定理，難度不大．

20．（5分）（2014?北京）根據(jù)某研究院公布的2009～2013年我國成年國民閱讀調(diào)查報告的部分相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制的統(tǒng)計圖表如下：
2009～2013年成年國民年人均閱讀圖書數(shù)量統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）直接寫出扇形統(tǒng)計圖中m的值；
（2）從2009到2013年，成年國民年人均閱讀圖書的數(shù)量每年增長的幅度近似相等，估算成年國民年人均閱讀圖書的數(shù)量約為 5 本；
（3）2013年某小區(qū)傾向圖書閱讀的成年國民有990人，若該小區(qū)與2013年成年國民的人數(shù)基本持平，估算該小區(qū)成年國民閱讀圖書的總數(shù)量約為 7500 本．
考點： 扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；統(tǒng)計表．
分析： （1）1直接減去個部分的百分?jǐn)?shù)即可；
（2）設(shè)從2009到2013年平均增長幅度為x，列方程求出x的值即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果直接計算．
解答： 解：（1）m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%，
∴m=66．
（2）設(shè)從2009到2013年平均增長幅度為x，列方程得，
3.88×（1+x）4=4.78，
1+x≈1.05，
x≈0.05，
4.78×（1+0.05）≈5．
（3）990÷0.66×5=7500，
故該小區(qū)成年國民閱讀圖書的總數(shù)量約為7500本．
故答案為5，7500．
點評： 本題考查了扇形統(tǒng)計圖，能從圖表中找到相關(guān)信息并加以利用是解題的關(guān)鍵．

21．（5分）（2014?北京）如圖，AB是eO的直徑，C是?AB的中點，eO的切線BD交AC的延長線于點D，E 是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交eO于點H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的長．
考點： 切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．
分析： （1）連接OC，由C是的中點，AB是⊙O的直徑，則OC⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；
（2）根據(jù)點E是OB的中點，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．
解答： （1）證明：連接OC，
∵C是AB的中點，AB是⊙O的直徑，
∴O⊥AB，
∵BD是⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；
（2）解：∵E是OB的中點，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，
，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∴OB=2，
∴BF=2，
∴AF==2，
∵AB是直徑，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴=，
∴AB?BF=AF?BH，
∴BH===．
點評： 本題考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，是中檔題，難度不大．

22．（5分）（2014?北京）閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長．
小騰發(fā)現(xiàn)，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖 2）．
請回答：∠ACE的度數(shù)為 75° ，AC的長為 3 ．
參考小騰思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點E，AE=2，BE=2ED，求BC的長．
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．
分析： 根據(jù)相似的三角形的判定與性質(zhì)，可得=2，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AD=AC，根據(jù)正切函數(shù)，可得DF的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB與DF的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．
解答： 解：∠ACE=75°，AC的長為3．
過點D作DF⊥AC于點F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，∴=2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．
∴AC=AD=2，AB=2DF=2．
∴BC==2．
點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．（7分）（2014?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，﹣2），B（3，4）．
（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；
（2）設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點）．若直線CD 與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點D縱坐標(biāo)t的取值范圍．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值．
專題： 計算題．
分析： （1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；
（2）由題意確定出C坐標(biāo)，以及二次函數(shù)的最小值，確定出D縱坐標(biāo)的最小值，求出直線BC解析式，令x=1求出y的值，即可確定出t的范圍．
解答： 解：（1）∵拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x﹣2，對稱軸為直線x=1；
（2）由題意得：C（﹣3，﹣4），二次函數(shù)y=2x2﹣4x﹣2的最小值為﹣4，
由函數(shù)圖象得出D縱坐標(biāo)最小值為﹣4，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
將B與C坐標(biāo)代入得：，
解得：k=，b=0，
∴直線BC解析式為y=x，
當(dāng)x=1時，y=，
則t的范圍為﹣4≤t≤．
點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．

24．（7分）（2014?北京）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
考點： 四邊形綜合題．
分析： （1）根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；
（2）利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進(jìn)而得出答案；
（3）由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．
解答： 解：（1）如圖1所示：
（2）如圖2，連接AE，
則∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF==25°；
（3）如圖3，連接AE、BF、BD，
由軸對稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF2+FD2=BD2，
∴EF2+FD2=2AB2．
點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．

25．（8分）（2014?北京）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．
（1）分別判斷函數(shù) y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；
（2）若函數(shù)y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；
（3）將函數(shù) y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時，滿足≤t≤1？
考點： 二次函數(shù)綜合題．
分析： （1）根據(jù)有界函數(shù)的定義和函數(shù)的邊界值的定義進(jìn)行答題；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定a=﹣1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍；
（3）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點（﹣1，1）、（0，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點平移后的坐標(biāo)分別是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函數(shù)邊界值的定義列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范圍：0≤m≤或≤m≤1．
解答： 解：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義知，函數(shù)y=（x＞0）不是有界函數(shù)．
y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數(shù)．邊界值為：2+1=3；
（2）∵函數(shù)y=﹣x+1的圖象是y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=a時，y=﹣a+1=2，則a=﹣1
當(dāng)x=b時，y=﹣b+1．則，
∴﹣1＜b≤3；
（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個單位后，x=0時，函數(shù)值小于﹣1，此時函數(shù)的邊界t≥1，與題意不符，故m≤1．
當(dāng)x=﹣1時，y=1 即過點（﹣1，1）
當(dāng)x=0時，y最小=0，即過點（0，0），
都向下平移m個單位，則
（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）
≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，
∴0≤m≤或≤m≤1．
點評： 本題考查了二次函數(shù)綜合題型．掌握“有界函數(shù)”和“有界函數(shù)的邊界值”的定義是解題的關(guān)鍵．

年齡（歲）
18
19
20
21
人數(shù)
5
4
1
2
年份
年人均閱讀圖書數(shù)量（本）
2009
3.88
2010
4.12
2011
4.35
2012
4.56
2013
4.78
年齡（歲）
18
19
20
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人數(shù)
5
4
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年份
年人均閱讀圖書數(shù)量（本）
2009
3.88
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4.12
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