時(shí)間：2小時(shí)；分值：150
一、單選題（每題5分，40分）
1. （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】，
故選：D.
2. 在中，點(diǎn)D，N分別滿(mǎn)足，，若，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，用表示.
【詳解】在中，點(diǎn)D，N分別滿(mǎn)足，，若，，
則
.
故選：D.
3. 棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】計(jì)算出內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，故該球的表面積為.
故選：A.
4. 11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來(lái)入冬第一個(gè)開(kāi)捕日，仙女湖的有機(jī)魚(yú)迎來(lái)又一個(gè)豐收年.七位漁民分在一個(gè)小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚(yú)，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A. 96種B. 120種C. 192種D. 240種
【答案】C
【解析】
【分析】先將甲乙捆綁成一個(gè)單元，再討論其所排位置，運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：丙必須在最中間（第4位），則甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有種.
故選：C
5. 若圓錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線(xiàn)與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積公式求解.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，
因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圓錐的高，
所以圓錐的體積為.
故選：B.
6. 已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)再求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷象限.
【詳解】,
則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
7. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①面面；②面；③當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值；④三棱錐的體積是定值，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】證得平面，根據(jù)平面與平面垂直判定，可知①正確；由平面平面，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知②正確；根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，線(xiàn)段和最小，可得③正確；由三棱錐等體積法可求得，可知④錯(cuò)誤．
【詳解】
連接,因?yàn)檎襟w，所以平面，且平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正確；
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以面，故②正確；
的周長(zhǎng)等于，而為體對(duì)角線(xiàn)是定值，所以周長(zhǎng)最小即為最小，將平面展開(kāi)到平面在同一個(gè)平面，如圖：
當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，則為的中點(diǎn)時(shí)，故③正確；
，故④正確.
故選：D.
8. 已知，為橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則此橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓方程和已知條件求出橢圓上一點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，再利用已知條件和橢圓的范圍求出離心率的范圍即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，即，
把代入橢圓方程可得，消去得，整理可得，解得
又，整理的，解得
所以離心率的取值范圍是.
故選：C
二、多選題（每題6分，18分）
9. 給出以下24個(gè)數(shù)據(jù)：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
對(duì)于以上給出的數(shù)據(jù)，下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A. 極差為24.0B. 第75百分位數(shù)為164.0
C. 第25百分位數(shù)為155.2D. 80%分位數(shù)為164.1
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)極差百分位數(shù)的定義，確定所求數(shù)據(jù)，即可求解.
【詳解】對(duì)A，由數(shù)據(jù)可得，極差為，故A正確；
對(duì)BCD，由，，，
可知樣本數(shù)據(jù)的第25，75，80百分位數(shù)為第6，7位的平均數(shù)，第18，19位的平均數(shù)，第20項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為，，和164.1，故BC錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD
10. 下列基本事實(shí)敘述正確的是（ ）
A. 經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面
B. 經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面
C. 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面
D. 經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面
【答案】AB
【解析】
分析】根據(jù)基本事實(shí)以及推論即可逐項(xiàng)判斷.
【詳解】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線(xiàn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若這個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，可有無(wú)數(shù)平面，故D不正確；
故選：AB
11. 已知正六邊形的中心為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.
C. 存在實(shí)數(shù)，使得D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算分析判斷.
【詳解】如圖，不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>且，
可知，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>則，
，
所以，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題（每題5分，15分）
12. 已知正三角形邊長(zhǎng)為2，若點(diǎn)在邊上且滿(mǎn)足，則________
【答案】
【解析】
【分析】
由得到、，再由可得答案.
【詳解】
，
所以，所以，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理、數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵點(diǎn)是，的轉(zhuǎn)化，考查了向量的基本運(yùn)算.
13. 某班共有36名男生和24名女生，統(tǒng)計(jì)他們的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg），已知男生體重的平均數(shù)為65，方差為34，全體學(xué)生體重的平均數(shù)為59，方差為86，則該班女生體重的方差為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用均值公式求得女生體重均值，應(yīng)用方差公式及男生的體重方差和求全體學(xué)生的體重方差求解女生的體重方差.
【詳解】設(shè)男生平均體重為，方差為，女生平均體重為，方差為，全體學(xué)生體重為，方差為，
則男生在班級(jí)中所占比重為，女生在班級(jí)中所占比重為，
故，，，，
所以，解得，
，解得.
故答案為:
14. 如圖，小明在山腳測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°，在山腳測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0°，測(cè)得，，是鈍角，已知山腳和，在同一水平面上，則山的高度為_(kāi)_____．
【答案】100
【解析】
【分析】設(shè)，分別在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再檢驗(yàn)時(shí)不滿(mǎn)足是鈍角，時(shí)滿(mǎn)足題意，即得答案.
【詳解】在中，設(shè)，，，
在中，，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得或，即或．
若，則，，所以是直角三角形，
而是直角三角形與是鈍角矛盾，舍去.
若，則，而，故，滿(mǎn)足是鈍角.
所以．
故答案為：100.
四、解答題(77分)
15. 如圖，四面體中，，D在棱上，，，，，證明平面PBC.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】連接PD，證明，然后利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可得到證明.
【詳解】證明：連接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC
16. 某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，后畫(huà)出如圖的頻率分布直方圖.
觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）估計(jì)這次考試成績(jī)的眾數(shù)；
（2）估計(jì)這次考試成績(jī)的及格率（分及以上及格）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中最高的小矩形，即可求出這次考試成績(jī)的眾數(shù)；（2）通過(guò)頻率分布直方圖，可估計(jì)該次考試中的及格率.
試題解析：（1）因?yàn)榈谒慕M的頻率最大，所以這次考試成績(jī)的眾數(shù)為；
（2）依題意，及以上分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為，
所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格分及以上是.
考點(diǎn)：頻率分布直方圖的應(yīng)用及中位數(shù).
17. 如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，證明：
（1）D1Q∥平面C1DB；
（2）平面D1PQ∥平面C1DB.
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解.
【解析】
【分析】
(1)D1Q∥DB且D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，由線(xiàn)面平行判定定理可證D1Q∥平面C1DB
(2)同(1)，線(xiàn)面平行判定定理可證D1P∥平面C1DB，結(jié)合(1)結(jié)論且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可證平面D1PQ∥平面C1DB
【詳解】證明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，可知D1Q∥DB，
∵D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，D1P∥C1B，
∵D1P?平面C1DB，C1B?平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面、面面平行的判定定理，由線(xiàn)面平行可證兩相交直線(xiàn)平行一個(gè)平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即證兩平面平行
18. 在△中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，.若M是BC的中點(diǎn)，且，求△的面積.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△等腰直角三角形，結(jié)合已知，在△中應(yīng)用正弦定理求得，進(jìn)而可得，最后由三角形面積公式求面積即可.
【詳解】由題設(shè)，，故，
所以△等腰直角三角形，而，
在△中，，則，可得，
所以，且M是BC的中點(diǎn)，則.
19. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足.
（1）若是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）復(fù)數(shù)或；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用實(shí)數(shù)概念及模長(zhǎng)，即可得到復(fù)數(shù)；
（2）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得到取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)i ，、，則，
又是實(shí)數(shù)，
∴，又，
∴或，
∴復(fù)數(shù)或；
（2）
表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離，
而復(fù)數(shù)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓上，
如圖所示，
，
∴.

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