黑龍江省綏化市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

出題人：楊彥思
一?單選題
1. 設(shè)向量，，若，則（）
A. B. 0C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解值．
【詳解】向量，，若，
則，解得．
故選：D．
2. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，進(jìn)而可得.
【詳解】由，
所以，
故選：B.
3. 已知向量，，若，則m的值為（）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意知，，，
則，解之可得
故選：D
4. 如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）

A 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，解三角形即可求解.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，易知，

所以異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，即（或其補(bǔ)角），
由題意可知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，
可設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)都為，則，，，
因?yàn)椋詾橹苯侨切危?br>所以
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：.
5. 已知一組數(shù)據(jù)為2，5，7，8，9，12，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）
A. 9B. C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)，即為9．
故選：A．
6. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知等式化簡(jiǎn)求出，從而可求出復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：D．
7. 在中，角的對(duì)邊分別為.已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.
【詳解】由余弦定理可得.
故選：B
8. 若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其側(cè)面積為12，則此三棱柱外接球的表面積是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積公式求出，確定球心的位置，如圖構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求出外接球半徑的平方，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.
【詳解】由題意可得，正棱柱的底面是邊長(zhǎng)和高都等于的等邊三角形，側(cè)面積為，
∴，∴，
取三棱柱的兩底面中心，連結(jié)，
取的中點(diǎn)，則為三棱柱外接球的球心，
連結(jié)，則為三棱柱外接球的半徑．
∵是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中心，
∴．
又∵
∴．
∴三棱柱外接球的表面積.
故選：B.

二?多選題
9. 若復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B. 的虛部為
C. D. 的共軛復(fù)數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出共軛復(fù)數(shù)判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，A正確；
對(duì)于B，的虛部為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的共軛復(fù)數(shù)，D正確.
故選：AD
10. 在空間中，已知a，b是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）
A. 若，且，，，則
B. 若，且，，則
C. 若a與b相交，且，，則與相交
D. 若，且，，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷即可
【詳解】若，且，，即兩平面的法向量平行，則成立，故A正確；
若，且，，則a與b互相平行或相交或異面，故B錯(cuò)誤；
若a，b相交，且，，即兩平面的法向量相交，則，相交成立，故C正確；
若，且，，則與平行或相交，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
【點(diǎn)睛】此題考查空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
11. 已知圓錐的底面半徑為1，其母線長(zhǎng)是2，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 圓錐的高是B. 圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為
C. 圓錐的表面積是D. 圓錐的體積是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐及側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)，表面積公式，體積公式求解判斷即可.
【詳解】圓錐的底面半徑為，其母線長(zhǎng)是，
則圓錐的高，故A正確；
設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角為，則，解得，故B錯(cuò)誤；
圓錐的表面積是，故C正確；
圓錐的體積是，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三?填空題
12. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求A，根據(jù)正弦定理即可求的值．
【詳解】在中，因?yàn)椋?，，則，
由正弦定理，可得：．
故答案為：．
13. 已知球的半徑為3，則該球的表面積等于__________，則該球的體積等于__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)球的表面積公式和體積公式直接求解即可.
【詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，
所以球的表面積為，體積為.
故答案為：，
14. 某校高一年級(jí)有1200名學(xué)生，高二年級(jí)有1000名學(xué)生，高三年級(jí)有800名學(xué)生，現(xiàn)要從該校全體學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級(jí)抽取__________人
【答案】40
【解析】
【分析】高一年級(jí)人數(shù)乘以抽樣比即可．
【詳解】由題意，應(yīng)從高一年級(jí)抽取的人數(shù)為：.
故答案為：40.
四?解答題
15. 已知向量，滿足，且．
（1）求向量，夾角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律得出，再根據(jù)夾角公式得夾角的余弦值，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件及（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由，得到，又，
所以，得到，
所以，又，所以
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，又，
所以，
所以.
16. 已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).
（1）求；
（2）若的面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
原式化簡(jiǎn)可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的內(nèi)角；
【小問(wèn)2詳解】
，
，
，
.
17. 某公司為了解員工對(duì)食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問(wèn)卷調(diào)查，要求員工對(duì)食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；
（3）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求這組中抽取的人數(shù)．
【答案】（1），
（2）72.9 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)小矩形面積和為1得到關(guān)于的方程，解出值，再利用頻率分布直方圖中平均數(shù)公式即可；
（2）首先確定中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)中位數(shù)為，列出方程，解出即可；
（3）求出各區(qū)間人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，
解得.
估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
，
.
【小問(wèn)2詳解】
頻率為，
的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，
所以，
解得，即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9.
【小問(wèn)3詳解】
的人數(shù)：，
的人數(shù)：，
的人數(shù)：，
所以這組中抽取的人數(shù)為：.
18. 如圖，在正方體中，
（1）求證：平面；
（2）求證：.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，即可得證；
（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到、，即可證明平面，從而得證.
【小問(wèn)1詳解】
在正方體中，
又平面，平面，所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
連接、，在正方體中為正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
19. 在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，如圖所示．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的大小為，求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，設(shè)，連接，結(jié)合三角形中位線證得線線平行，利用線面平行判定定理得證；
（2）由正三棱柱，得平面，從而得到，，證得平面，二面角定義得到二面角的平面角是，作，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，得到平面，找到直線和平面所成的角為，計(jì)算得到結(jié)果；
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，設(shè)，連接，
在中，，，∴，
又平面，平面，
∴平面．
【小問(wèn)2詳解】
由正三棱柱，可得平面，
∵平面，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，
又，，平面，
故平面，
而，平面，故，，
∴二面角的平面角是，
在平面內(nèi)作，連接，
∵平面，∴平面平面，
又平面平面，平面，
故平面，
∴直線和平面所成的角為，
又平面，∴，
∴，
∴直線和平面所成角的正弦值為．

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