第一部分：知識強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：古典概型
突破二：互斥（對立）事件，事件相互獨(dú)立
突破三：條件概率
突破四：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差
突破五：超幾何分布
突破六：二項(xiàng)分布
突破七：正態(tài)分布
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識強(qiáng)化
1、古典概型的概率計(jì)算公式
一般地，設(shè)試驗(yàn) SKIPIF 1 < 0 是古典概型，樣本空間 SKIPIF 1 < 0 包含 SKIPIF 1 < 0 個(gè)樣本點(diǎn)，事件 SKIPIF 1 < 0 包含其中的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件 SKIPIF 1 < 0 的概率 SKIPIF 1 < 0 .
其中， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別表示事件 SKIPIF 1 < 0 和樣本空間 SKIPIF 1 < 0 包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
2、概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）
性質(zhì)1：對任意的事件 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
性質(zhì)5：如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，由該性質(zhì)可得，對于任意事件 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
性質(zhì)3：如果事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互斥，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
注意：只有事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.
性質(zhì)4：如果事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 互為對立事件，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
性質(zhì)6：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有 SKIPIF 1 < 0
3、相互獨(dú)立事件的概念
對任意兩個(gè)事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 成立，則稱事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立(mutually independent)，簡稱為獨(dú)立．
性質(zhì)1：必然事件 SKIPIF 1 < 0 、不可能事件 SKIPIF 1 < 0 與任意事件相互獨(dú)立
性質(zhì)2：如果事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 也相互獨(dú)立
則： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
4、條件概率
（1）一般地，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩個(gè)隨機(jī)事件，且 SKIPIF 1 < 0 ，我們稱 SKIPIF 1 < 0 為在事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下，事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
①一般地，每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說的條件概率是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的部分信息已知（即在原試驗(yàn)條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.
②事件 SKIPIF 1 < 0 在“事件 SKIPIF 1 < 0 已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒有這個(gè)附加條件下的概率在很多情況下是不同的.
③當(dāng)題目涉及“在…前提下”等字眼時(shí)，一般為條件概率.若題目沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率.
④在條件概率的定義中，要強(qiáng)調(diào) SKIPIF 1 < 0 ,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不能用這一方法定義事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下，事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率.
（2）條件概率的性質(zhì)
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則
① SKIPIF 1 < 0 ；
②如果 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)互斥事件，則 SKIPIF 1 < 0 ；
③設(shè) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互為對立事件，則 SKIPIF 1 < 0 ．
④任何事件的條件概率都在0和1之間，即： SKIPIF 1 < 0 .
5、事件的相互獨(dú)立性
（1）事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立：對任意的兩個(gè)事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ,如果 SKIPIF 1 < 0 成立，則稱事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.
（2）性質(zhì)：若事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 也都相互獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
（3）易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”
兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥.
6、離散型隨機(jī)變量的均值和方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的概率分布為：
（1）則稱 SKIPIF 1 < 0 為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical expectatin),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.
（2）稱 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的方差，有時(shí)也記為 SKIPIF 1 < 0 .
稱 SKIPIF 1 < 0 為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)差.
7、 SKIPIF 1 < 0 重伯努利試驗(yàn)的概率公式
一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率是 SKIPIF 1 < 0 ,事件 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 次試驗(yàn)中發(fā)生 SKIPIF 1 < 0 次，共有 SKIPIF 1 < 0 種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，每種情形下， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余 SKIPIF 1 < 0 次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ,所以由概率加法公式知，在 SKIPIF 1 < 0 重伯努利試驗(yàn)中，事件 SKIPIF 1 < 0 恰好發(fā)生次的概率為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) .
8、二項(xiàng)分布
（1）一般地，在 SKIPIF 1 < 0 重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，用 SKIPIF 1 < 0 表示事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的次數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）二項(xiàng)分布的均值與方差
若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從參數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的二項(xiàng)分布，即 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
9、超幾何分布
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有 SKIPIF 1 < 0 件，其中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，從 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 件(不放回)，用 SKIPIF 1 < 0 表示抽取的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布．
10、正態(tài)分布
（1）正態(tài)分布
若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的概率密度函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為參數(shù))，稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布，記為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ,則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 時(shí)，稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)解析式為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,其相應(yīng)的密度曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.
（3）正態(tài)分布的 SKIPIF 1 < 0 原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值
假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，可以證明：對給定的 SKIPIF 1 < 0 是一個(gè)只與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)的定值.
特別地， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
上述結(jié)果可用右圖表示.
此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，但在一次試驗(yàn)中， SKIPIF 1 < 0 的值幾乎總是落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 的隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 只取 SKIPIF 1 < 0 中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為 SKIPIF 1 < 0 原則.
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：古典概型
1．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））將3個(gè)1和4個(gè)0隨機(jī)排成一行，則3個(gè)1任意兩個(gè)1都不相鄰的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】先考慮總情況，7個(gè)位置選3個(gè)放1，有 SKIPIF 1 < 0 種，再考慮任意兩個(gè)1都不相鄰的情況，將3個(gè)1插入4個(gè)0形成的5個(gè)空中，有 SKIPIF 1 < 0 種，則概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
2．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測（理））甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】依題意，4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的試驗(yàn)的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 種，它們等可能，
甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)，甲、乙各有2種選法，丙、丁各有3種選法，
甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件 SKIPIF 1 < 0 含有的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 種，
所以甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
3．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））為推動(dòng)就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動(dòng)、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實(shí)施供需對接就業(yè)育人項(xiàng)目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項(xiàng)目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因?yàn)槊克咝Ｖ辽賹觾杉矣萌藛挝唬?br>所以每所高校共有 SKIPIF 1 < 0 種選擇，
所以甲、乙兩所高校共有 SKIPIF 1 < 0 種選擇，
其中甲、乙兩所高校的選擇涉及兩家用人單位的情況有 SKIPIF 1 < 0 種，
所以甲、乙兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D
4．（2022·上海·華師大二附中模擬預(yù)測）5個(gè)同學(xué)報(bào)名參加志愿者活動(dòng)，每人可從3項(xiàng)活動(dòng)中任選一項(xiàng)參加.則其中恰有2項(xiàng)活動(dòng)有同學(xué)報(bào)名的概率是 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】全部可能的報(bào)名情況數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 種，
恰有2項(xiàng)活動(dòng)有人報(bào)名可以看作先從3個(gè)項(xiàng)目中選出2個(gè)，有 SKIPIF 1 < 0 種選法，
然后再讓5名同學(xué)參加，則共有 SKIPIF 1 < 0 種方法，
但必須減去5名同學(xué)都參加其中一個(gè)這種情況， SKIPIF 1 < 0 ，
故恰有2項(xiàng)活動(dòng)有同學(xué)參加有 SKIPIF 1 < 0 種情況，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））龍馬負(fù)圖如圖所示．?dāng)?shù)千年來被認(rèn)為是中華文化的源頭，傳說伏羲通過龍馬身上的圖案（河圖）畫出“八卦”．其結(jié)構(gòu)是一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八為友居左，四與九同道居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數(shù)，墨點(diǎn)為陰數(shù)．若從陽數(shù)和陰數(shù)中分別隨機(jī)抽出1個(gè)，則被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的概率為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.4
【詳解】依題意，陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，10，
從陽數(shù)和陰數(shù)中分別隨機(jī)抽出1個(gè)有： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，共25個(gè)結(jié)果，
被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的有： SKIPIF 1 < 0 ，共10種，
所以被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
6．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（文））某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運(yùn)會的態(tài)度，隨機(jī)選了100位市民調(diào)查，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下．
(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，把表格填寫完整．
(2)能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為年齡不同與是否支持申辦奧運(yùn)會有關(guān)？
(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有6名男性，其中3名是醫(yī)生，現(xiàn)從這6名男性中隨機(jī)抽取3人，求至少有2名醫(yī)生的概率．
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)列聯(lián)表見解析；
(2)沒有把握；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以沒有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為年齡不同與是否支持申辦奧運(yùn)會有關(guān)．
（3）記6人分別為a，b，c，d，e，f．其中a，b，c表示醫(yī)生，
從6人中任意抽3人的所有基本事件有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 共20個(gè)，
其中至少有2名醫(yī)生的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，共10個(gè)，
所以所求概率是 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·貴州·模擬預(yù)測（文））2022年“中國航天日”線上啟動(dòng)儀式在4月24日上午舉行，為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中 SKIPIF 1 < 0 的值，并估計(jì)這50名同學(xué)的平均成績；
(2)先用分層抽樣的方法從評分在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的同學(xué)中抽取5名同學(xué)，再從抽取的這5名同學(xué)中抽取2名，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)在同一區(qū)間的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
記平均成績?yōu)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）先用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的同學(xué)中抽取5名同學(xué)，
則應(yīng)從 SKIPIF 1 < 0 中抽取1人，記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中抽取4人，記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，分別是：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)槌槿〉?人分?jǐn)?shù)都在同一區(qū)間的結(jié)果有：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共6種.
故所求概率 SKIPIF 1 < 0 .
突破二：互斥（對立）事件，事件相互獨(dú)立
1．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）一個(gè)口袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球，3個(gè)白球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽取3個(gè)球．事件甲：3個(gè)球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個(gè)紅球；事件丙：至多有1個(gè)藍(lán)球；事件?。?個(gè)球顏色均相同．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件甲與事件丁為對立事件B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互獨(dú)立D．事件甲與事件丙相互獨(dú)立
【答案】B
【詳解】事件甲與事件丁為互斥事件，但事件取得的3個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球，1個(gè)白球發(fā)生時(shí)，事件甲與事件丁都不發(fā)生，所以事件甲與事件丁不對立，A項(xiàng)錯(cuò)誤；事件甲的概率 SKIPIF 1 < 0 ，事件乙的概率 SKIPIF 1 < 0 ，事件丙的概率 SKIPIF 1 < 0 ，事件丁的概率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B項(xiàng)正確；事件丙和事件丁同時(shí)發(fā)生的概率 SKIPIF 1 < 0 ，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槭录着c事件丙同時(shí)發(fā)生的事件為甲事件，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以事件甲與事件丙不相互獨(dú)立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
2．（2022·江蘇·二模）隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 “甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件 SKIPIF 1 < 0 “甲乙兩人所選課程完全不同”，事件 SKIPIF 1 < 0 “甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（ ）
A．A與B為對立事件B．A與C互斥
C．A與C相互獨(dú)立D．B與C相互獨(dú)立
【答案】C
【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；
故 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互斥不對立， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不互斥，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不相互獨(dú)立.
故選：C
3．（2022·廣西·南寧三中二模（文））從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，現(xiàn)有如下說法：
①至少有一個(gè)黑球與都是黑球是互斥事件；
②至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不是互斥事件；
③恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球是互斥事件；
④至少有一個(gè)黑球與都是紅球是對立事件.
在上述說法中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】設(shè)兩個(gè)紅球?yàn)榍騛、球b，兩個(gè)黑球?yàn)榍?、球2.
則從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，所有可能的情況為
SKIPIF 1 < 0 共6種.
①至少有一個(gè)黑球與都是黑球有公共事件 SKIPIF 1 < 0 ，故二者不是互斥事件，判斷錯(cuò)誤；
②至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球有公共事件 SKIPIF 1 < 0 ，故二者不是互斥事件，判斷正確；
③恰好有一個(gè)黑球包含事件 SKIPIF 1 < 0 ，恰好有兩個(gè)黑球包含事件 SKIPIF 1 < 0 ，故二者是互斥事件，判斷正確；
④至少有一個(gè)黑球包含事件 SKIPIF 1 < 0 ，都是紅球包含事件 SKIPIF 1 < 0 ，故二者是對立事件，判斷正確.
故選：C
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件 SKIPIF 1 < 0 ，“第二枚為正面”記為事件 SKIPIF 1 < 0 ， “兩枚結(jié)果相同”記為事件 SKIPIF 1 < 0 ，那么事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 間的關(guān)系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均相互獨(dú)立B． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互斥
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均互斥D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互斥， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立
【答案】A
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均相互獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均不互斥.
故選：A.
突破三：條件概率
1．（2022·湖南永州·一模）現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件 SKIPIF 1 < 0 為“只有甲去了九嶷山”，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由題意，4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
事件 SKIPIF 1 < 0 的情況數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 的交事件 SKIPIF 1 < 0 為“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三個(gè)不同的景點(diǎn)”
事件 SKIPIF 1 < 0 的情況數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
2．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)榧坠拗杏?個(gè)紅球、2個(gè)黑球，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)D正確.
故選：C.
3．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】由題可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（理））若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
5．（2022·山東威?！と＃┰O(shè)隨機(jī)事件A、B，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 0.12 0.24
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：0.12；0.24.
6．（2022·湖南·長沙一中一模）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，A表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列命題正確的序號有______．
①A與C互斥；② SKIPIF 1 < 0 ；③A與D相互獨(dú)立；④B與C相互獨(dú)立．
【答案】①③
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不可能同時(shí)發(fā)生，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互斥，故①正確；
SKIPIF 1 < 0 包含： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共5個(gè)基本事件， SKIPIF 1 < 0 包含： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共6個(gè)基本事件，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
SKIPIF 1 < 0 ，故④錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ，故②錯(cuò)誤；
故答案為：①③
7．（2022·遼寧鞍山·一模）根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果：若以 SKIPIF 1 < 0 表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以 SKIPIF 1 < 0 表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由全概率公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2022·天津市新華中學(xué)模擬預(yù)測）某志愿者召開春季運(yùn)動(dòng)會，為了組建一支朝氣蓬勃?訓(xùn)練有素的賽會志愿者隊(duì)伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長，則在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；至少有一名是女志愿者的概率為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：記全是男志愿者為事件 SKIPIF 1 < 0 ，至少有一名男志愿者為事件 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
記至少有一名是女志愿者為事件C，則事件C與事件A互為對立事件，則
SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·天津河北·一模）袋子中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為_______；在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.3 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【詳解】解：因?yàn)榇又杏?個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球，
每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，
所以兩次都摸到紅球的概率為 SKIPIF 1 < 0
設(shè)第一次摸到紅球的事件為A，第二次摸到紅球的事件為B,
所以在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
突破四：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差
1．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測）已知盒中裝有1個(gè)黑球與2個(gè)白球，每次從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，并換入一個(gè)黑球.設(shè)三次摸球后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 可能的取值有1，2，3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
2．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測（文））設(shè)0＜a＜1．隨機(jī)變量X的分布列是
則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（ ）
A．E（X）不變B．E（X）減小C．V（X）先增大后減小D．V（X）先減小后增大
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，∴E（X）增大；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．
故選：D．
3．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的概率分布列為 SKIPIF 1 < 0 ，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．10B．117C．38D．35
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，k＝1，2，3，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
4．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列分別如下，則( )
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】設(shè)隨機(jī)變量為X，其可能的取值是 SKIPIF 1 < 0 ，對應(yīng)概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則其數(shù)學(xué)期望(均值)為 SKIPIF 1 < 0 ，
其方差為： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確，B錯(cuò)誤；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，但無法判斷 SKIPIF 1 < 0 與1的大小，故無法判斷 SKIPIF 1 < 0 的大小，故CD錯(cuò)誤．
故選：A．
5．（2022·山東淄博·三模）設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##1.5
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
6．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測）若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 等可能的在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中取值，其中 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 等可能的在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中取值，故 SKIPIF 1 < 0 取每個(gè)值的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，
于是當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
故 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
7．（2022·云南·昆明一中模擬預(yù)測（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕成本為60元，售價(jià)為100元．如果賣不完，剩下的蛋糕作垃圾處理，現(xiàn)收集并整理了該店100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)）如下表：
將這100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率．
(1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13個(gè)，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若蛋糕店計(jì)劃一天制作13個(gè)或14個(gè)生日蛋糕，以每日銷售利潤的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，你認(rèn)為應(yīng)制作13個(gè)還是14個(gè)？請說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，期望為 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)應(yīng)制作13個(gè)，理由見解析.
【詳解】（1）設(shè)當(dāng)天的需求量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，利潤 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，利潤 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為
期望 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若制作14個(gè)生日蛋糕，設(shè)當(dāng)天的利潤（單位：元）為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)天的需求量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
則 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
期望 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故應(yīng)制作13個(gè)蛋糕．
8．（2022·北京十四中高三期中）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.
(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；
(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)在（2）中， SKIPIF 1 < 0 表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小.（直接寫結(jié)果）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）依題意支持方案二的學(xué)生中，男生有 SKIPIF 1 < 0 人、女生 SKIPIF 1 < 0 人，所以抽到的是女生的概率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）記從方案一中抽取到女生為事件 SKIPIF 1 < 0 ，從方案二中抽取到女生為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
突破五：超幾何分布
1．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
2．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地 SKIPIF 1 < 0 個(gè)貧困村中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選 SKIPIF 1 < 0 個(gè)村，下列事件中概率等于 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A．至少有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)深度貧困村B．有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)或 SKIPIF 1 < 0 個(gè)深度貧困村
C．有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)或 SKIPIF 1 < 0 個(gè)深度貧困村D．恰有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)深度貧困村
【答案】B
【詳解】用 SKIPIF 1 < 0 表示這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)， SKIPIF 1 < 0 服從超幾何分布，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，從中任取 SKIPIF 1 < 0 件，則任意取出的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)任意取出的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中次品數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下表所示：
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三階段練習(xí)）文化月活動(dòng)中，某班級在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時(shí)間后，隨機(jī)有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)字脫落．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，用隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率．
【答案】(1)分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
(2)0.6
【詳解】（1）方法一：
隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
隨機(jī)變量X的分布列如下表：
隨機(jī)變量X的期望為 SKIPIF 1 < 0
法二：
隨機(jī)變量X服從超幾何分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)脫落一個(gè)“學(xué)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，脫落一個(gè)“好”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，脫落一個(gè)“數(shù)”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，
事件 SKIPIF 1 < 0 為脫落兩個(gè)字 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回，標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為
SKIPIF 1 < 0 ，
法二：
掉下的兩個(gè)字不同的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
(1)運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法判斷：是否有 SKIPIF 1 < 0 以上的把握認(rèn)為，周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)？并說明理由．
(2)現(xiàn)從 SKIPIF 1 < 0 歲以上（含 SKIPIF 1 < 0 ）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)，用分層抽樣法抽取 SKIPIF 1 < 0 人做進(jìn)行一步訪談，最后再從這 SKIPIF 1 < 0 人中隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 人填寫調(diào)查問卷．記抽取 SKIPIF 1 < 0 人中周平均鍛煉時(shí)間是不少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)有 SKIPIF 1 < 0 以上的把握認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)；理由見解析
(2)分布列見解析； SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 以上的把握認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián).
（2）抽取的 SKIPIF 1 < 0 人中，周平均鍛煉時(shí)長少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)的有 SKIPIF 1 < 0 人，不少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)的有 SKIPIF 1 < 0 人，則 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·福建省福州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班 SKIPIF 1 < 0 名女同學(xué)， SKIPIF 1 < 0 名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 SKIPIF 1 < 0 的樣本進(jìn)行分析．
(1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）
(2)如果隨機(jī)抽取的 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：
（i）若規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 分以上（包括 SKIPIF 1 < 0 分）為優(yōu)秀，從這 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中抽取 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)，記 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）
（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于數(shù)學(xué)成績 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程（系數(shù)精確到 SKIPIF 1 < 0 ）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?SKIPIF 1 < 0 分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?br>附：線性回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)（i）分布列見解析，期望為 SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 名，
18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 名，
故不同的樣本的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）（?。?SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，
SKIPIF 1 < 0 的取值為0，1，2，3．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 ．
（ⅱ）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分．
8．（2022·江蘇·句容碧桂園學(xué)校高三開學(xué)考試）為了研究高三年級學(xué)生的性別與體重是否超過55kg的關(guān)聯(lián)性，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表．
參考公式和數(shù)據(jù)：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)依據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)？
(2)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方式在該中學(xué)高三年級體重超過55kg的學(xué)生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數(shù)為X，求X的分布列與期望．
【答案】(1)認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001
(2)分布列見解析；期望為1
（1）假設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重?zé)o關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)小概率值 SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷 SKIPIF 1 < 0 不成立，即認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．
（2）依題意，抽取的9人中，男生有 SKIPIF 1 < 0 人，女生有 SKIPIF 1 < 0 人，
從中任意選取3人，X的取值可能為0，1，2，3，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
則X的分布列為
故 SKIPIF 1 < 0 ．
突破六：二項(xiàng)分布
1．（2022·上海奉賢·高三期中）甲乙兩選手進(jìn)行圍棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制（前兩局各有勝負(fù)則進(jìn)行第三局），則甲最終獲勝的概率為（ ）
A．0.72B．0.704C．0.604D．0.648
【答案】D
【詳解】由題意可知，甲最終獲勝的情況：勝勝，勝輸勝，輸勝勝，
故甲獲勝的概率為： SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)題意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由于隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某工廠產(chǎn)品合格的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為該工廠生產(chǎn)的 SKIPIF 1 < 0 件商品中合格的數(shù)量，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由已知X服從與參數(shù)為5，p的二項(xiàng)分布，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】根據(jù)題意，該實(shí)驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記6點(diǎn)向上的次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 最大，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】24
【詳解】由題意知： SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 最大，有 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：24.
7．（2022·山東·淄博市臨淄中學(xué)高三階段練習(xí)）世界杯期間，明星隊(duì)和火車頭隊(duì)相遇，雙方要打n（n為奇數(shù)）場比賽，某球隊(duì)至少有一半的場次贏球即為戰(zhàn)勝對方球隊(duì)，其中明星隊(duì)每場贏球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，各場比賽間相互獨(dú)立．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，估計(jì)明星隊(duì)贏球多少場；
(2)對任意的正整數(shù)k，找出p的范圍使得 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 對明星隊(duì)更合算．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）設(shè)明星隊(duì)贏球場數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，由題設(shè)由 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故估計(jì)明星隊(duì)贏球 SKIPIF 1 < 0 場.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 表示“明星隊(duì)在 SKIPIF 1 < 0 場比賽中贏球的場數(shù)”，
SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)的概率，
SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)的概率，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 場比賽中比賽中，明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)，由以下3個(gè)互斥事件構(gòu)成：
（?。?SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ，且余下兩場比賽中，明星隊(duì)至少勝一場；
（ⅲ） SKIPIF 1 < 0 ，且余下兩場比賽中，明星隊(duì)全勝；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有對任意的正整數(shù)k，使得 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 對明星隊(duì)更合算．
8．（2022·四川·綿陽中學(xué)高三階段練習(xí)）小區(qū)為了加強(qiáng)對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.
(1)從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購買量在 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）的戶數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望；
(2)將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.
【答案】(1)答案見解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為0，1，2.則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對甲類生活物資的需求平均值為
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為 SKIPIF 1 < 0 ，從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則 SKIPIF 1 < 0 ，
若k戶的可能性最大，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2022·湖南·湘潭一中高三期中） SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學(xué)校社會實(shí)踐小組隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū) SKIPIF 1 < 0 位奶茶愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)奶茶愛好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)估計(jì)奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(3)以頻率替代概率進(jìn)行計(jì)算，若從該地區(qū)所有奶茶愛好者中任選 SKIPIF 1 < 0 人，求 SKIPIF 1 < 0 人中年齡在 SKIPIF 1 < 0 歲以下的人數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 歲
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)奶茶愛好者的平均年齡為：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （歲）.
（2）由頻率分布直方圖得：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由頻率估計(jì)概率可知：奶茶愛好者年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由頻率分布直方圖得：從該地區(qū)所有奶茶愛好者中任選 SKIPIF 1 < 0 人，年齡在 SKIPIF 1 < 0 歲以下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
則 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
則數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2022·甘肅·蘭州西北中學(xué)高三期中（理））為豐富學(xué)生的校園生活，提升學(xué)生的實(shí)踐能力和綜合素質(zhì)能力，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，某校計(jì)劃借課后托管服務(wù)平臺開設(shè)書法興趣班．為了解學(xué)生對這個(gè)興趣班的喜歡情況，該校隨機(jī)抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對這個(gè)興趣班的喜歡情況，得到數(shù)據(jù)如下：
以調(diào)查得到的男、女學(xué)生喜歡書法興趣班的頻率代替概率．
(1)從該校隨機(jī)抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人喜歡書法興趣班的概率；
(2)從該校隨機(jī)抽取4名女學(xué)生，記X為喜歡書法興趣班的女生人數(shù)，求X的分布列與期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列見解析，期望為3.
【詳解】（1）從男生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，從女生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
恰有一人喜歡書法興趣班分為男生喜歡女生不喜歡和男生不喜歡女生喜歡兩類，
所以所求概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）從女生中抽取1名學(xué)生，喜歡書法興趣班的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意 SKIPIF 1 < 0 的值分別為0，1，2，3，4， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ．
突破七：正態(tài)分布
1．（2022·上?！とA師大二附中高三期中）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．對任意正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．對任意正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解：由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的密度曲線分別關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 對稱，
因此結(jié)合所給圖像可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 的密度曲線較 SKIPIF 1 < 0 的密度曲線“瘦高”，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故A、B錯(cuò)誤．
由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對任意正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C．
2．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．9B．8C． SKIPIF 1 < 0 D．6
【答案】B
【詳解】由隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號成立，故最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
3．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，試卷滿分 SKIPIF 1 < 0 分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的 SKIPIF 1 < 0 ，數(shù)學(xué)考試成績在 SKIPIF 1 < 0 分到 SKIPIF 1 < 0 分（含 SKIPIF 1 < 0 分和 SKIPIF 1 < 0 分）之間的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，則可以估計(jì)參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由題設(shè)，若 SKIPIF 1 < 0 表示數(shù)學(xué)考試成績，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為 SKIPIF 1 < 0 人.
故選：C
4．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高三期中）2012年國家開始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)下列說法正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 為： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A，B，D均不正確，C正確.
故選：C
5．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.（附：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】0.00135
【詳解】又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：0.00135.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 SKIPIF 1 < 0 包食品，并測量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 .假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 SKIPIF 1 < 0 表示每天抽取的k包食品中其質(zhì)量在 SKIPIF 1 < 0 之外的包數(shù)，若 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ，則k的最小值為________.
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】19
【詳解】依題意 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 之外的概率 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：19.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某省2021年開始將全面實(shí)施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A，B，C，D，E共5個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分．假設(shè)該省此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分Y服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．請解決下列問題：若以此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分D等級的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為__________分（結(jié)果保留1位小數(shù)）
附：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】59.9
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可知?jiǎng)澗€分大約為59.9.
故答案為：59.9
8．（2022·福建省南安國光中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對本年級學(xué)生物理成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績（均在50~100分之間），將抽取的成績分組為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這300名同學(xué)物理平均成績 SKIPIF 1 < 0 與第三四分位數(shù)的估計(jì)值；（結(jié)果精確到1）
(2)已知全年級同學(xué)的物理成績服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 取（1）中的 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)計(jì)算， SKIPIF 1 < 0 =11，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績，求該成績在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率（結(jié)果精確到0.1）；
(3)根據(jù)（2）的條件，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績，若他們的成績都在 SKIPIF 1 < 0 的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）.
附： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)73；79
(2)0.8
(3)20
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
則這300名同學(xué)物理平均成績 SKIPIF 1 < 0 與第三四分位數(shù)的估計(jì)值分別為73，79
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
（3） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為20.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康，經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了 SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì) SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年平均收入 SKIPIF 1 < 0 （單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；
(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似為年平均收入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 近似為樣本方差 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ，利用該正態(tài)分布，求：
①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有 SKIPIF 1 < 0 的農(nóng)民的年收入不低于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？
②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，這 SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民中的年收入不少于 SKIPIF 1 < 0 千元的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
附參考數(shù)據(jù)：① SKIPIF 1 < 0 ，②若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 千元；② SKIPIF 1 < 0
（1）解：由頻率分布直方圖可知， SKIPIF 1 < 0 位農(nóng)民的年平均收入為
SKIPIF 1 < 0 （千元）.
（2）解：由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，滿足題意，即最低年收入大約為 SKIPIF 1 < 0 千元；
②由 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
每個(gè)農(nóng)民的年收入不少于 SKIPIF 1 < 0 千元的事件的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計(jì)?方便的操作方式和實(shí)用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛.為回饋市場并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競價(jià)形式做出優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報(bào)價(jià)（報(bào)價(jià)低于原價(jià)），但在報(bào)價(jià)時(shí)間截止之前無法得知其他人的報(bào)價(jià)和當(dāng)月參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競價(jià)時(shí)間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價(jià)從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價(jià)即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，出價(jià)不低于優(yōu)惠價(jià)的人將獲得數(shù)額為原價(jià)減去優(yōu)惠價(jià)的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時(shí)使用.小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動(dòng)，為了預(yù)測最低成交價(jià)，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計(jì)了今年2到6月參與活動(dòng)的人數(shù)，如下表所示：
(1)若可用線性回歸模型擬合參與活動(dòng)的人數(shù)y（單位：萬人）與時(shí)間t（單位：月）之間的關(guān)系，請用最小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，并預(yù)測今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)；
(2)某自媒體對200位擬參加今年7月份活動(dòng)的人進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：
①求這200人的報(bào)價(jià)X（單位：元）的平均值 SKIPIF 1 < 0 和方差 SKIPIF 1 < 0 （同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
②假設(shè)所有參與活動(dòng)的人的報(bào)價(jià)X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可分別由①中所求的樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 估計(jì)，若2022年7月計(jì)劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請你合理預(yù)測該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，并說明理由.
參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，預(yù)計(jì)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 萬人；
(2)① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 元.
（1）解：由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以回歸直線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可得 SKIPIF 1 < 0 （萬人），
故預(yù)計(jì)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 萬人；
（2）解：①依題意可得這200人的報(bào)價(jià) SKIPIF 1 < 0 （單位：元）的平均值 SKIPIF 1 < 0 ，
方差 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，依題意發(fā)放的優(yōu)惠名額為 SKIPIF 1 < 0 張，預(yù)測參加的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 人，
所以能夠得到優(yōu)惠名額的概率 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)下載優(yōu)惠價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以預(yù)測該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 元.
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
一、單選題
1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測驗(yàn)中的得分（單位：分）如下： SKIPIF 1 < 0 ，這八人成績的第60百分位數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 .若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比 SKIPIF 1 < 0 低的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，故這8人成績的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，
即 SKIPIF 1 < 0 ，在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
其中得分都比 SKIPIF 1 < 0 低的有 SKIPIF 1 < 0 種，
所以所求概率 SKIPIF 1 < 0
故選：C
2．（2022·河南省?？h第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，即2022年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項(xiàng)這四個(gè)項(xiàng)目中任意選兩項(xiàng)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒有選擇冰壺的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】記冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項(xiàng)分別為A，B，C，D，
則從這四個(gè)項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)的情況有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種情況，
其中沒有選擇冰壺的有BC，BD，CD，共3種情況，
所以所求概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（ ）
A．A與B是互斥事件B．A與B不是相互獨(dú)立事件
C．B與C是對立事件D．A與C是相互獨(dú)立事件
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意可知，事件 SKIPIF 1 < 0 和事件 SKIPIF 1 < 0 可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)；
不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?，所以事?SKIPIF 1 < 0 和事件 SKIPIF 1 < 0 不相互獨(dú)立，故B正確；
事件 SKIPIF 1 < 0 的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯(cuò)；
事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 為對立事件，故D錯(cuò).
故選：B.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個(gè)正整數(shù)，脫靶計(jì)為0環(huán)．某人射擊一次，設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 “中靶”，事件 SKIPIF 1 < 0 “擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件 SKIPIF 1 < 0 “擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件 SKIPIF 1 < 0 “擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B與C互斥B．B與C互為對立
C．A與D互為對立D．A與D互斥
【答案】A
【詳解】對于AB，事件 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不可能同時(shí)發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對立，所以A正確，B錯(cuò)誤，
對于CD，事件A與D有可能同時(shí)發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對立，所以CD錯(cuò)誤，
故選：A
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：
則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）A．2B．6C．8D．18
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)分布列可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
6．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知10名同學(xué)中有a名女生，若從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名作為學(xué)生代表，恰好抽到1名女生的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．4或6C．4D．6
【答案】B
【詳解】設(shè)抽到的女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】依題意， SKIPIF 1 < 0 ，又事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號，
而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】因?yàn)閷W(xué)生成績服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以從參加這次考試的學(xué)生中任意選取1名學(xué)生，其成績不低于85的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙在每局中獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望 SKIPIF 1 < 0 為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由題意，隨機(jī)變量X的可能取值是2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
所以期望為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
10．（2022·四川·南江中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在R上單調(diào)遞增的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
[附：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
【答案】A
【詳解】使 SKIPIF 1 < 0 在R上單調(diào)遞增的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由于隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A．
二、多選題
11．（2022·河北·廊坊市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）下列命題中，正確的命題的是（ ）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；
B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
C．設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
D．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)概率最大.
【答案】ACD
【詳解】對選項(xiàng)A：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，正確；
對選項(xiàng)B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，正確；
對選項(xiàng)D： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選：ACD
12．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知袋子中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)紅球和 SKIPIF 1 < 0 個(gè)藍(lán)球，現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸球，則下列說法正確的是（ ）
A．每次摸 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第 SKIPIF 1 < 0 次摸到紅球的概率為 SKIPIF 1 < 0
B．每次摸 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第 SKIPIF 1 < 0 次摸到紅球的條件下，第 SKIPIF 1 < 0 次摸到紅球的概率為 SKIPIF 1 < 0
C．每次摸出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸 SKIPIF 1 < 0 次后，摸到紅球的次數(shù) SKIPIF 1 < 0 的方差為 SKIPIF 1 < 0
D．從中不放回摸 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸到紅球的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的概率是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【詳解】對于A選項(xiàng)，記事件 SKIPIF 1 < 0 第一次摸紅球，事件 SKIPIF 1 < 0 第一次摸藍(lán)球，事件 SKIPIF 1 < 0 第二次摸紅球，
則 SKIPIF 1 < 0 ，A對；
對于B選項(xiàng)，每次摸 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸出的球觀察顏色后不放回，
則第 SKIPIF 1 < 0 次摸到紅球的條件下，第 SKIPIF 1 < 0 次摸到紅球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，C錯(cuò)；
對于D選項(xiàng)，從中不放回摸 SKIPIF 1 < 0 個(gè)球，摸到紅球的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，D對.
故選：AD.
三、填空題
13．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.（附：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】0.00135
【詳解】又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：0.00135.
14．（2022·廣東·中山大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）在概率論發(fā)展的過程中，通過構(gòu)造試驗(yàn)推翻或驗(yàn)證某些結(jié)論是統(tǒng)計(jì)學(xué)家們常用的方法，若事件A，B，C滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同時(shí)成立，則稱事件A，B，C兩兩獨(dú)立，現(xiàn)有一個(gè)正六面體，六個(gè)面分別標(biāo)有1到6的六個(gè)數(shù)，隨機(jī)拋擲該六面體一次，觀察與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則可以構(gòu)造C＝______（填一個(gè)滿足條件的即可），使得 SKIPIF 1 < 0 成立時(shí)，但不滿足事件A，B，C兩兩獨(dú)立
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【詳解】元素1或2有且僅有一個(gè)屬于C，剩余的3，4，5，6中任選兩個(gè)屬于C，都滿足條件要求．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若不滿足事件A，B，C兩兩獨(dú)立，只需構(gòu)造事件C
使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 至少有一個(gè)成立．
設(shè)事件C包含的基本事件個(gè)數(shù)為N（ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 成立時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 成立，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以事件A，B，C兩兩獨(dú)立，不滿足要求．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以必有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 兩種情況．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則存在事件C使得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意，
所以A，B，C不可能兩兩獨(dú)立．
所以構(gòu)造集合C使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 均滿足題意，
滿足要求的C為： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，同理符合要求的集合C為： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
四、解答題
15．（2022·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高三期中）新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動(dòng)機(jī)之外的所有其他能源汽車，被認(rèn)為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費(fèi)者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標(biāo)．某車企隨機(jī)調(diào)查了今年9月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計(jì)其購車種類與性別情況如下表：單位：人
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下，是否可以認(rèn)為購車種類與性別有關(guān)；
(2)用樣本估計(jì)總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽車的概率，從該車企今年9月份售出的汽車中，隨機(jī)抽取3輛汽車，設(shè)被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考公式和數(shù)據(jù)：
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1)購車種類與性別有關(guān)
(2) SKIPIF 1 < 0 的分布列見解析， SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）設(shè)零假設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ：購車種類與性別無關(guān)，根據(jù)系數(shù)表可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以零假設(shè) SKIPIF 1 < 0 時(shí)錯(cuò)的，即犯錯(cuò)誤概率不超過 SKIPIF 1 < 0 的前提下，可以認(rèn)為購車種類與性別有關(guān).
（2）隨機(jī)抽取一輛汽車，屬于傳統(tǒng)燃油汽車的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油車的輛數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的可能取值為0,1,2,3，
依據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0
16．（2022·福建省南安國光中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對本年級學(xué)生物理成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績（均在50~100分之間），將抽取的成績分組為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這300名同學(xué)物理平均成績 SKIPIF 1 < 0 與第三四分位數(shù)的估計(jì)值；（結(jié)果精確到1）
(2)已知全年級同學(xué)的物理成績服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ?。?）中的 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)計(jì)算， SKIPIF 1 < 0 =11，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績，求該成績在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率（結(jié)果精確到0.1）；
(3)根據(jù)（2）的條件，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全年級隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績，若他們的成績都在 SKIPIF 1 < 0 的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）.
附： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)73；79
(2)0.8
(3)20
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
則這300名同學(xué)物理平均成績 SKIPIF 1 < 0 與第三四分位數(shù)的估計(jì)值分別為73，79
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
（3） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為20.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）假設(shè)開始時(shí)有一個(gè)微生物個(gè)體（稱為第0代），該個(gè)體繁殖的若干個(gè)個(gè)體，）形成第1代，第1代的每個(gè)個(gè)體繁殖的若干個(gè)個(gè)體，形成第2代，……假設(shè)每個(gè)個(gè)體繁殖的個(gè)體數(shù)相互獨(dú)立且分布相同，記第1代微生物的個(gè)體總數(shù)為X，X的分布列為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1，2，3.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)以p表示這種微生物最終消亡的概率.已知p是關(guān)于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的最小正根.證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)說明（2）結(jié)論的意義.
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(3)答案見解析
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 ，
而當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)最小正實(shí)根，
若 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，故1為 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)最小正實(shí)根，
綜上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 上為減函數(shù)，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在一個(gè)零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1. SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
…
SKIPIF 1 < 0
…
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
…
SKIPIF 1 < 0
…
SKIPIF 1 < 0
支持
不支持
合計(jì)
年齡不大于50歲
30
年齡大于50歲
10
25
合計(jì)
100
SKIPIF 1 < 0
0.100
0.050
0.025
0.010
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
5.024
6.635
支持
不支持
合計(jì)
年齡不大于50歲
45
30
75
年齡大于50歲
10
15
25
合計(jì)
55
45
100
X
0
a
1
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
需求量
10
11
12
13
14
15
頻數(shù)
8
20
24
27
14
7
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
ξ
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
X
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
周平均鍛煉時(shí)間少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)
周平均鍛煉時(shí)間不少于 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)
合計(jì)
SKIPIF 1 < 0 歲以下
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 歲以上（含 SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合計(jì)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
學(xué)生序號i
1
2
3
4
5
6
7
數(shù)學(xué)成績 SKIPIF 1 < 0
60
65
70
75
85
87
90
物理成績 SKIPIF 1 < 0
70
77
80
85
90
86
93
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
76
83
812
526
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
性別
體重
合計(jì)
超過55kg
不超過kg
男
180
120
300
女
90
110
200
合計(jì)
270
230
500
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
X
0
1
2
3
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
喜愛
不喜愛
合計(jì)
男
40
20
60
女
30
10
40
合計(jì)
70
30
100
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
4
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
時(shí)間t（月）
2
3
4
5
6
參與活動(dòng)的人數(shù)y（萬人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
報(bào)價(jià)X（單位：元）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
2
3
6
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
a
購置新能源汽車
購置傳統(tǒng)燃油汽車
總計(jì)
男性
30
30
60
女性
30
10
40
總計(jì)
60
40
100
SKIPIF 1 < 0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
SKIPIF 1 < 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

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