一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1.虛數(shù)單位 SKIPIF 1 < 0 :
（1）它的平方等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 與－1的關(guān)系: SKIPIF 1 < 0 就是－1的一個平方根，即方程 SKIPIF 1 < 0 的一個根，方程 SKIPIF 1 < 0 的另一個根是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；
（4） SKIPIF 1 < 0 的周期性： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
2. 概念
形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的數(shù)叫復(fù)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 叫復(fù)數(shù)的實(shí)部， SKIPIF 1 < 0 叫復(fù)數(shù)的虛部。
說明：這里 SKIPIF 1 < 0 容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。
3.復(fù)數(shù)集
全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母 SKIPIF 1 < 0 表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
4.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：
對于復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是實(shí)數(shù)；
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 叫做虛數(shù)；
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 叫做純虛數(shù)；
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 就是實(shí)數(shù)0.
所以復(fù)數(shù)的分類如下:
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5.復(fù)數(shù)相等的充要條件
兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。即：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .
特別地: SKIPIF 1 < 0 .
應(yīng)當(dāng)理解:
（1）一個復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.
（2）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問題的基礎(chǔ).
一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大??；也只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。
6.共軛復(fù)數(shù)：
兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：
復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）互為共軛復(fù)數(shù)。
二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:
復(fù)數(shù)通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），把復(fù)數(shù)表示成 SKIPIF 1 < 0 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。
2.四則運(yùn)算
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)： SKIPIF 1 < 0 。
三：復(fù)數(shù)的幾何意義
1. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，縱坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）可用點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面， SKIPIF 1 < 0 軸叫做實(shí)軸， SKIPIF 1 < 0 軸叫做虛軸。
實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)。
對于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為 SKIPIF 1 < 0 ，它所確定的復(fù)數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 表示是實(shí)數(shù)。故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。
復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即
復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
這是因?yàn)?，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。
2.復(fù)數(shù)的幾何表示
（1）坐標(biāo)表示:在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
（2）向量表示:以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為起點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為終點(diǎn)的向量 SKIPIF 1 < 0 表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
向量 SKIPIF 1 < 0 的長度叫做復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的模，記作 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .
【微點(diǎn)撥】
（1）向量 SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 以及復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 有一一對應(yīng)；
（2）兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小。
3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：
如果復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別對應(yīng)于向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，那么以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為兩邊作平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，對角線 SKIPIF 1 < 0 表示的向量 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的和所對應(yīng)的向量。
4.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：
兩個復(fù)數(shù)的差 SKIPIF 1 < 0 與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)。
【微點(diǎn)撥】
1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；
2.求解計(jì)算時(shí)，要充分利用i的性質(zhì)計(jì)算問題；
3.在復(fù)數(shù)的求解過程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用；
4.復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件。
【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】
考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
【例1】設(shè)復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，試求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 取何值時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 分別滿足：
(1) SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)； (2) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限。
【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得。
【答案】
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.
【總結(jié)】復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性，對復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。比如： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )； SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
【變式1-1】實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 分別是：
實(shí)數(shù)？ (2)虛數(shù)? (3)純虛數(shù)？ (4)表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限?
【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù).
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限.
【總結(jié)】復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性，對復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。比如： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )； SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
【變式1-2】求當(dāng)實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 取何值時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 分別是：
（1）實(shí)數(shù)； （2）虛數(shù)； （3）純虛數(shù)。
【解析】
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)；
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù).
【變式1-3】已知復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,則復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A.必為純虛數(shù) B.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)
C.必為實(shí)數(shù) D.可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)
【答案】
[法1] 設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ，故應(yīng)選C。
[法2] ∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
[法3] ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等
【例2】復(fù)數(shù)z1＝ SKIPIF 1 < 0 ＋(10-a2)i，z2＝ SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.
【點(diǎn)撥】 SKIPIF 1 < 0 是實(shí)數(shù)，將 SKIPIF 1 < 0 化簡成a+bi形式可得。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是實(shí)數(shù)，
∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.
又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.
【總結(jié)】兩個復(fù)數(shù)相等，a+bi=c+di SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同時(shí)滿足M∩N SKIPIF 1 < 0 M，M∩N≠Φ，求整數(shù)a,b
【點(diǎn)撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系，再列方程組，進(jìn)而解方程組，最后檢驗(yàn)結(jié)果是否符合條件。
【解答】
SKIPIF 1 < 0 …………………………①
或 SKIPIF 1 < 0 …………………………………………②
或 SKIPIF 1 < 0 …………………………③
由①得a=-3,b=±2,經(jīng)檢驗(yàn)，a=-3,b=-2不合題意，舍去。∴a=-3，b=2
由②得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合題意，∴a=3,b=-2;
由③得 SKIPIF 1 < 0 ,此方程組無整數(shù)解。
綜合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。
【總結(jié)】
1、a+bi=c+di SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
2、利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。
注：對于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z= a+bi(a,b∈R)。
【變式2-2】已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.
【解析】設(shè)z2=a+2i(a∈R)，由已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是實(shí)數(shù)，則虛部4-a=0，即a=4，則復(fù)數(shù)z2=4+2i.
【變式2-3】實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)？復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)與復(fù)數(shù)2－12i相等；
(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)；
(3)對應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方．
【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)相等定義。
【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得
SKIPIF 1 < 0 解之得m＝－1.
(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得
SKIPIF 1 < 0 解之得m＝1.
(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m2－2m－15＞0，
解之得m＜－3或m＞5.
【總結(jié)】利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。對于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z= a+bi(a,b∈R)。
考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算
【例3】計(jì)算： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)。
【解析】 SKIPIF 1 < 0
【總結(jié)】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行運(yùn)算。
【變式3-1】 SKIPIF 1 < 0
【答案】：原式= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【變式3-2】計(jì)算：計(jì)算 SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)。
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【總結(jié)】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行運(yùn)算。
【變式3-3】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原式= SKIPIF 1 < 0
【總結(jié)】復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時(shí)要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實(shí)數(shù)或純虛數(shù)時(shí)注意常見結(jié)論的應(yīng)用.
【變式3-4】已知z1，z2為復(fù)數(shù)，(3＋i)z1為實(shí)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 且|z2|＝ SKIPIF 1 < 0 求z2.
【點(diǎn)撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解.
z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
∵|z2|＝ SKIPIF 1 < 0
∴|z2(5＋5i)|＝50，
∴z2(5＋5i)＝±50，
SKIPIF 1 < 0
【總結(jié)】
1、(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式.
(2)記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度：
①(1±i)2=±2i； SKIPIF 1 < 0
⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).
2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運(yùn)算過程中，要熟透i的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧。
考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)的幾何意義
【例4】已知復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，若 SKIPIF 1 < 0 所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【點(diǎn)撥】 在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價(jià)于 SKIPIF 1 < 0 的實(shí)部大于零而虛部小于零。
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
【總結(jié)】每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。
【變式4-1】已知復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)，求m值；
若 SKIPIF 1 < 0 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求m的取值范圍.
【點(diǎn)撥】在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 表示復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價(jià)于 SKIPIF 1 < 0 的實(shí)部大于零而虛部小于零。
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是純虛數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 解得m=0.
(2) SKIPIF 1 < 0 復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0
【總結(jié)】每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。
【變式4-2】已知 SKIPIF 1 < 0 是復(fù)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍。
【答案】：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)已知條件有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
考點(diǎn)五：化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題
【例5】已知 SKIPIF 1 < 0 互為共軛復(fù)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)撥】設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）代入條件，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，易得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的兩個方程。
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 , 代入原等式得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。
【總結(jié)】
復(fù)數(shù)定義：“形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的數(shù)叫復(fù)數(shù)”就意味凡是復(fù)數(shù)都能寫成這樣，求一個復(fù)數(shù)，使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實(shí)；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來研究是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法。
【變式5-1】求使關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 至少有一個實(shí)根的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)撥】 根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實(shí)。
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 為方程的一個實(shí)根，則有
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【總結(jié)】設(shè)出實(shí)根，化虛為實(shí)，再利用兩復(fù)數(shù)相等。
【變式5-2】已知 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ 方程的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以用 SKIPIF 1 < 0 來判定方程有無實(shí)根。
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，方程的根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ,
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，方程的根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為虛根 SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0
【易錯易錯】
易錯一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，則z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
【解析】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a，此時(shí)zi，
故選：C．
2．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）＝i，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由z（1+3i）＝i，得，
∴z的虛部為．
故選：A．
3．已知復(fù)數(shù)（i虛數(shù)單位），則z（ ）
A．B．2C．1D．
【解析】解：由題意知，
利用性質(zhì)，得z2，
故選：B．
4．若b+2i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+b的值（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解析】解：∵ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故選：A．
5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z，則|z|＝（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】解：z，
故|z|＝1，
故選：A．
易錯二.復(fù)數(shù)的幾何意義
1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解析】解：由，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故選：C．
2．設(shè)i是虛數(shù)單位，的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＝1+2i，則復(fù)數(shù)z+i?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解析】解：∵z＝1+2i，
∴z+i?1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴復(fù)數(shù)z+i?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），位于第一象限．
故選：A．
3．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．
【解析】解：∵復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故選：B．
4．已知復(fù)數(shù)z＝3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限．
【解析】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），位于第一象限．
故答案為：一．
5．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為 ．
【解析】解：∵向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣2﹣i，該復(fù)數(shù)的模為|﹣2﹣i|．
故答案為：．
易錯三.復(fù)數(shù)的指數(shù)冪運(yùn)算
1．若復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解析】解：∵z1+i，
∴1﹣i，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣1）；
∴它對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
故選：C．
2．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
【解析】解：復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，可得a＝1，
1﹣i．
故選：D．
3．已知復(fù)數(shù)z（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：z1﹣i，
則z的虛部為﹣1，
故選：A．
4．已知復(fù)數(shù)z滿足z?i2020＝1+i2019（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
則z?i2020＝1+i2019化為z＝1﹣i，
∴z的虛部為﹣1．
故選：A．
5．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（）2013＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解析】解：∵，
∴z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006?i＝i．
故選：D．
易錯四.待定系數(shù)在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用——最值問題
1．若復(fù)數(shù)z滿足3z4+2i，則z＝（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解析】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
則3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故選：D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為（ ）
A．25B．5C．D．2+i
【解析】解：法一、設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
∴，解得或．
∴．
故選：C．
法二、由z2＝3+4i，得，
則|z|．
故選：C．
3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1i，則|z1﹣z2|＝ ．
【解析】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d為實(shí)數(shù)），
因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，
所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
則|z1﹣z2|．
故答案為：．
4．已知z∈C，且|z|＝1，則|z﹣2﹣2i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（ ）
A．21B．21C．D．2
【解析】解：∵|z|＝1且z∈C，作圖如圖：
∵|z﹣2﹣2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P（2，2）的距離，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值為：|OP|﹣1＝21．
故選：A．
5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，則|z1﹣z2|的最大值為（ ）
A．3+2B．2C．3D．6
【解析】解：因?yàn)閨z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，對應(yīng)的點(diǎn)在以A（1，0）為圓心，以1為半徑的圓上，z2對應(yīng)的點(diǎn)在以B（0，﹣3）為圓心，以2為半徑的圓上，
則|z1﹣z2|的幾何意義是兩圓上點(diǎn)的距離，
則則|z1﹣z2|的最大值為AB+1+2＝33．
故選：C．
【鞏固提升】
1.互為共軛復(fù)數(shù)的兩復(fù)數(shù)之差是( )
A、實(shí)數(shù) B、純虛數(shù)
C、0 D、零或純虛數(shù)
【答案】D
【解析】選D.設(shè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)分別為z=a+bi, SKIPIF 1 < 0 =a-bi(a、b∈R)，則z- SKIPIF 1 < 0 =2bi或 SKIPIF 1 < 0 -z=-2bi.
∵b∈R,當(dāng)b≠0時(shí)，z- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 -z為純虛數(shù)；當(dāng)b=0時(shí)，z- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 -z=0.故選D.
2.若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為虛數(shù)單位)，則 SKIPIF 1 < 0 的值分別等于( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 故選Ａ.
3. a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位， SKIPIF 1 < 0 =2,則a=( )
A、2 B、 SKIPIF 1 < 0 C、 SKIPIF 1 < 0 D、1
【答案】選B.
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 故可化為|1-ai|=2,又由于a為正實(shí)數(shù)，所以1+a2=4,得a= SKIPIF 1 < 0 ,故選B.
4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【答案】選B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所對應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 位于第二象限
5.i為虛數(shù)單位， SKIPIF 1 < 0 =________.
【答案】0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 =-i+i-i+i=0.
6.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2,則z=_____.
【答案】1-i
【解析】由已知得 SKIPIF 1 < 0
7.已知A(1，2)，B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四點(diǎn)，且向量 SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求 SKIPIF 1 < 0
(2)若z1+z2為純虛數(shù)，z1-z2為實(shí)數(shù)，求a、b.
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),
SKIPIF 1 < 0 =(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
又z1+z2=1+i,∴ SKIPIF 1 < 0
∴z1=4-i,z2=-3+2i,
SKIPIF 1 < 0
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,
z1-z2=(a+2)+(2-b)i,
∵z1+z2為純虛數(shù)，z1-z2為實(shí)數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0
8.設(shè)z∈C，解方程z-2|z|=-7+4i.
【解析】設(shè)z=x+yi, x∈R, y∈R,
則原方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即(3x-5)(x-3)=0, ∴ SKIPIF 1 < 0 。
9.要使復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù)，其中實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由。
【解析】要使復(fù)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù)，必須 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ０，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
但是，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ＝０此時(shí) SKIPIF 1 < 0 不是純虛數(shù)
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 無意義
所以不存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 為純虛數(shù)。

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