第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典型例題剖析
題型一：空間向量的線性運算
題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用
題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
角度1：求空間向量的數(shù)量積
角度2：利用數(shù)量積求長度
角度3：利用數(shù)量積求夾角
角度4：利用向量解決平行和垂直問題
角度5：向量的投影和投影向量
題型四：利用空間向量證明平行與垂直
第四部分：高考真題感悟
第一部分：知 識 點 精 準 記 憶
知識點一：空間向量的有關(guān)概念
1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
2、幾類特殊的空間向量
知識點二：空間向量的有關(guān)定理
1、共線向量定理：
對空間任意兩個向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）共線向量定理推論：如果 SKIPIF 1 < 0 為經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 平行于已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 的直線,那么對于空間任一點 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ①，若在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，則①可以化作： SKIPIF 1 < 0
（2）拓展(高頻考點）：對于直線外任意點 SKIPIF 1 < 0 ，空間中三點 SKIPIF 1 < 0 共線的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
2、共面向量定理
如果兩個向量 SKIPIF 1 < 0 不共線，那么向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
（1）空間共面向量的表示
如圖空間一點 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
或者等價于：對空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，空間一點 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（ SKIPIF 1 < 0 四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，該式稱為空間平面 SKIPIF 1 < 0 的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
（2）拓展
對于空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 ，四點 SKIPIF 1 < 0 共面（其中 SKIPIF 1 < 0 不共線）的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
3、空間向量基本定理
如果向量三個向量 SKIPIF 1 < 0 不共面，那么對空間任意向量 SKIPIF 1 < 0 存在有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
知識點三：空間向量的數(shù)量積
1、空間兩個向量的夾角
（1）定義：如圖已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，在空間任取一點 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則么 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角，記 SKIPIF 1 < 0 .（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）
（2）范圍： SKIPIF 1 < 0 ．
特別地，（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為非零向量)．
(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定 SKIPIF 1 < 0 與任何向量 SKIPIF 1 < 0 都是共線的，即 SKIPIF 1 < 0 ．兩非零向量的夾角是唯一確定的．
（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）
若兩個向量 SKIPIF 1 < 0 所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)向量夾角的范圍是0< SKIPIF 1 < 0 ，異面直線的夾角 SKIPIF 1 < 0 的范圍是0< SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 ，
(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)兩向量的夾角為 SKIPIF 1 < 0 時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時， SKIPIF 1 < 0 .
2、空間向量的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量積，記作 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
3、向量 SKIPIF 1 < 0 的投影
3.1．如圖(1)，在空間，向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量 SKIPIF 1 < 0 共線的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 稱為向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．類似地，可以將向量 SKIPIF 1 < 0 向直線 SKIPIF 1 < 0 投影(如圖(2))．
3.2．如圖(3)，向量 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 投影，就是分別由向量 SKIPIF 1 < 0 的起點 SKIPIF 1 < 0 和終點 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 稱為向量 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．這時，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角就是向量 SKIPIF 1 < 0 所在直線與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量積等于 SKIPIF 1 < 0 的長度 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘積或等于 SKIPIF 1 < 0 的長度 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘積.
5、數(shù)量積的運算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 (交換律)．
（3） SKIPIF 1 < 0 (分配律).
知識點四：空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：
知識點五：直線的方向向量和平面的法向量
1、直線的方向向量
如圖①, SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量,在直線 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點,則點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上的充要條件是存在實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
2、平面法向量的概念
如圖，若直線 SKIPIF 1 < 0 ，取直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，我們稱 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量；過點 SKIPIF 1 < 0 且以 SKIPIF 1 < 0 為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 SKIPIF 1 < 0 ．
3、平面的法向量的求法
求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:
設(shè)向量：設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0
選向量：選取兩不共線向量 SKIPIF 1 < 0
列方程組：由 SKIPIF 1 < 0 列出方程組
解方程組：解方程組 SKIPIF 1 < 0
賦非零值：取其中一個為非零值（常取 SKIPIF 1 < 0 )
得結(jié)論：得到平面的一個法向量.
知識點六：空間位置關(guān)系的向量表示
1、空間中直線、平面的平行
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方向向量分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則
2、空間中直線、平面的垂直
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量為 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則
第二部分：課 前 自 我 評 估 測 試
1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一個法向量分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交但不垂直 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則k等于( )
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國·高二單元測試）若直線l的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則直線l與平面 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系是__________________．
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是直線 SKIPIF 1 < 0 的一個方向向量．若 SKIPIF 1 < 0 ，則( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量，則下列向量中能作為平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
第三部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：空間向量的線性運算
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，給出下列各式：
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
④ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
其中運算結(jié)果為向量 SKIPIF 1 < 0 的共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
例題2．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期末（理））如圖，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型歸類練
1．（2022·全國·高二期末）如圖所示，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 可表示為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全國·高二單元測試）如圖所示，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
3．（2022·全國·高二開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P—ABC中， M是側(cè)棱PC的中點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則x＋y＋z的值為______．
題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2022·天津·南開中學(xué)高一期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上一點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
例題2．（2022·山西太原·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，點D在BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，過D的直線分別交直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為空間任意兩點，如果有 SKIPIF 1 < 0 ，那么點 SKIPIF 1 < 0 必在平面_________內(nèi).
例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于空間任意一點 SKIPIF 1 < 0 和不共線的三點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有如下關(guān)系： SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．四點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
B．四點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
C．四點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
D．五點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
題型歸類練
1．（2022·全國·高二）已知空間 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為空間中任意一點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若 SKIPIF 1 < 0 ，則P，A，B，C四點（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．無法判斷是否共面
3．（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中m＋n＝1，則（ ）
A．P∈ABB．P?AB
C．點P可能在直線AB上D．以上都不對
4．（2022·黑龍江·鶴崗一中高一期中）在△ABC中，點M是 SKIPIF 1 < 0 上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，P為 SKIPIF 1 < 0 上一點，向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．16B．12C．8D．4
題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
角度1：求空間向量的數(shù)量積
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
例題2．（2022·上海長寧·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
例題3．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
例題4．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B．8C．6D．4
題型歸類練
1．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為1，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國·高二單元測試）已知 SKIPIF 1 < 0 是長方體外接球的一條直徑，點 SKIPIF 1 < 0 在長方體表面上運動，長方體的棱長分別是1，1， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)有兩點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一個法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．-5
6．（2022·吉林·長春市第二十九中學(xué)高二階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =________.
角度2：利用數(shù)量積求長度
典型例題
例題1．（2022·四川綿陽·高二期末（理））如圖，空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，若點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的動點，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為3， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸上，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（ ）．
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南平頂山·高二期末（理））在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．3
3．（2022·江蘇連云港·高二期中）已知空間中非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．97C． SKIPIF 1 < 0 D．61
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．9D．3
5．（2022·貴州貴陽·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A SKIPIF 1 < 0 ，若點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _______．
6．（2022·浙江·玉環(huán)市玉城中學(xué)高二期中）若 SKIPIF 1 < 0 ， 則 SKIPIF 1 < 0 __________________
4．（2022·全國·高二）設(shè)空間向量 SKIPIF 1 < 0 是一組單位正交基底，若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足對任意的 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
角度3：利用數(shù)量積求夾角
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為______________.
例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ______．
例題3．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型歸類練
1．（2022·全國·高二）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習(xí)）如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
4．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．17或 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度4：利用向量解決平行和垂直問題
典型例題
例題1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
例題2．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值是________.若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值是________.
題型歸類練
1．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則m的值為（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
3．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－2B．2C．1D．－1
4．（2022·新疆·烏魯木齊市第四中學(xué)高二期中（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，則k的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點在同一直線上，那么 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 __________．
角度5：向量的投影和投影向量
典型例題
例題1．（2022·全國·高二）已知空間三點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模是______.
例題2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型歸類練
1．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·廣東惠州·高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國·高一）已知 SKIPIF 1 < 0 為標(biāo)準正交基底， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影為（ ）
A．1B．－1
C． SKIPIF 1 < 0 D．－ SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的方向上的數(shù)量投影為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型四：利用空間向量證明平行與垂直
典型例題
例題1．（2022·福建莆田·高二期末）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
例題2．（2022·江西撫州·高二期末（理））如圖在邊長是2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點.
(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
例題3．（2022·北京·清華附中高二階段練習(xí)）在如圖所示的五面體 SKIPIF 1 < 0 中，面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的正方形， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點.
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
例題4．（2022·全國·高一單元測試）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
題型歸類練
1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面CDE；
2．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）如圖，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中側(cè)棱與底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB， SKIPIF 1 < 0 的中點．
(1)求證：PN∥面ACC1A1；
3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)分別為AC和 SKIPIF 1 < 0 的中點，D為棱 SKIPIF 1 < 0 上的一點．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·江西贛州·高二期中（理））如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ，E為BC的中點.
(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBD.
5．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高二期中）已知四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點.
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
第四部分：高考真題感悟
1．（2022·全國·高考真題（文））在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
2．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．
（I）求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
3．（2021·全國·高考真題（理））已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點，D為棱 SKIPIF 1 < 0 上的點． SKIPIF 1 < 0
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ；名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為 SKIPIF 1 < 0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量 SKIPIF 1 < 0 長度相等而方向相反的向量，稱為 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，記為 SKIPIF 1 < 0
共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個平面的向量
數(shù)量積
SKIPIF 1 < 0
共線（平行）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
垂直
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）
模
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
夾角
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
線線平行
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
線面平行
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0
面面平行
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0
線線垂直
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0
線面垂直
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0
面面垂直
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0

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