新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第22講 空間中的平行關(guān)系（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知識(shí)梳理
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
如果平面α與平面β沒有公共點(diǎn)，則α∥β.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
考點(diǎn)和典型例題
1、直線與平面平行
【典例1-1】已知a，b是兩條不重合的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則a與b是異面直線
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則a，b一定相交
【答案】C
【詳解】
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，A錯(cuò)誤；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則a與b平行或a與b是異面直線，B錯(cuò)誤；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行的性質(zhì)可得：存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，由線面平行的判定可得 SKIPIF 1 < 0 ，C正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則a，b相交或平行，D錯(cuò)誤.
故選：C
【典例1-2】如圖，正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直，直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 平行，直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 異面，直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相交，直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
連接 SKIPIF 1 < 0 ；由正方體的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直；
由正方體的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；

以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1， SKIPIF 1 < 0
顯然直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 不平行，故B不正確；
直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 異面正確， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故C不正確；
直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 異面，不相交，故D不正確；
故選：A.
【典例1-3】已知m，n為兩條不同的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若m// SKIPIF 1 < 0 ，m//n，則n// SKIPIF 1 < 0 B．若m// SKIPIF 1 < 0 ，n// SKIPIF 1 < 0 ，則m//n
C．若m// SKIPIF 1 < 0 ，n SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則m//nD．若m// SKIPIF 1 < 0 ，m SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝n，則m//n
【答案】D
【詳解】
如圖，長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 視為平面 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于A，直線AB視為m，直線 SKIPIF 1 < 0 視為n，滿足m// SKIPIF 1 < 0 ，m//n，而 SKIPIF 1 < 0 ，A不正確；
對(duì)于B，直線AB視為m，直線BC視為n，滿足m// SKIPIF 1 < 0 ，n// SKIPIF 1 < 0 ，而m與n相交，B不正確；
對(duì)于C，直線AB視為m，直線 SKIPIF 1 < 0 視為n，滿足m// SKIPIF 1 < 0 ，n SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，顯然m與n是異面直線，C不正確；
對(duì)于D，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確.
故選：D
【典例1-4】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間兩個(gè)不同的平面， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間兩條不同的直線，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的不共線三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面β的距離相等，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行
D．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行
【答案】D
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 相交時(shí)，可以在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)找到不共線三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面β的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無(wú)數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無(wú)數(shù)條，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
【典例1-5】如圖，在下列四個(gè)正方體中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線 SKIPIF 1 < 0 不平行于平面 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
對(duì)于B選項(xiàng)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
對(duì)于C選項(xiàng)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
對(duì)于D選項(xiàng)，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，過該平面內(nèi)的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾.
假設(shè)不成立，故D選項(xiàng)中的直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 不平行.
2、平面與平面平行
【典例2-1】已知直線l，m和平面?、?，下列命題正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤；
B：若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 相交；若 SKIPIF 1 < 0 相交時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤；
C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平行、相交、重合都有可能，錯(cuò)誤；
D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)面面平行的判定知： SKIPIF 1 < 0 ，正確.
故選：D
【典例2-2】設(shè)m，n是不同的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
A選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，或m，n相交或m，n異面，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選：D
【典例2-3】在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，下列四對(duì)截面彼此平行的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
如圖，正方體 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
【典例2-4】在三棱臺(tái) SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是三角形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是（ ）
A．三角形 SKIPIF 1 < 0 邊界的一部分B．一個(gè)點(diǎn)
C．線段的一部分D．圓的一部分
【答案】C
【詳解】
如圖，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 重合，否則沒有平面 SKIPIF 1 < 0 ），
故選：C．
【典例2-5】如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
證明：連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，因此，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
【典例3-1】如圖，已知正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為異面直線
B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的表面積為 SKIPIF 1 < 0
D．三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為異面直線,故A對(duì). SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B對(duì).
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故C對(duì).
SKIPIF 1 < 0 ,故D 錯(cuò).
故選:D
【典例3-2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為不同的直線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
如圖所示：
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 異面，故錯(cuò)誤；
B. 若 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則a，b相交；故錯(cuò)誤；
C. 因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由垂直同一直線的兩個(gè)平面平行，則 SKIPIF 1 < 0 ，故正確；
D. 若 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故錯(cuò)誤；
故選：C
【典例3-3】如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，與E，F(xiàn)相異的動(dòng)點(diǎn)P在棱EF上.
(1)當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，證明： SKIPIF 1 < 0 平面ADE；
(2)設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點(diǎn)P使得 SKIPIF 1 < 0 平面PBD？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)
如圖，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
如圖，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由線面平行的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在滿足條件的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
【典例3-4】如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面PBE；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積．
【解析】(1)
取PB中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面PBE， SKIPIF 1 < 0 平面PBE， SKIPIF 1 < 0 平面PBE
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面PBE，又 SKIPIF 1 < 0 平面PDC，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
(3)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以PD為三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3-5】如圖所示的幾何體中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值．
【解析】(1)
證明：分別取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
如圖，取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 所在的直線分別為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行
如果l?α，m?α，l∥m，則l∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，且經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，則這條直線就與兩平面的交線平行
如果l∥α，l?β，α∩β＝m，則l∥m
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行
如果l?α，m?α，l∩m≠?，l∥β，m∥β，則α∥β
性質(zhì)
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
α∥β，a?α?a∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行
如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，則m∥l