新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第21講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（練）（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．如圖所示，若正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長(zhǎng)為a，體對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)O，則有（）．

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．
【詳解】如圖所示，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 建立空間直角坐標(biāo)系：
由上圖以及已知條件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，O SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 (0，a，0)， SKIPIF 1 < 0 (﹣a，a，0)， SKIPIF 1 < 0 a2，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 (﹣a，a，a)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 (﹣a，0，0)， SKIPIF 1 < 0 (a，0，a)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)共面向量定理列等式，解方程即可.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三向量共面，
∴存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B.
3．如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，E，F(xiàn)分別在棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .記 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由空間向量的線性運(yùn)算可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由空間向量基本定理即可求解.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選:B.
4．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 ?B．2C． SKIPIF 1 < 0 ?D． SKIPIF 1 < 0 ?
【答案】B
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 夾角余弦值即可求出 SKIPIF 1 < 0 豎坐標(biāo)，從而得到答案．
【詳解】如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B．
二、填空題
5．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則二面角A-PB-C的余弦值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合二面角的空間向量的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD，故 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的方向?yàn)?SKIPIF 1 < 0 軸正方向， SKIPIF 1 < 0 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
可取 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，則
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ，
由圖可知二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為鈍角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
6．下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是________．
①若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，則存在實(shí)數(shù)x、y，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共面，則不存在實(shí)數(shù)x、y，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不共線，則存在實(shí)數(shù)x、y，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面．
【答案】②③④
【分析】根據(jù)共面向量的基本定理逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于①，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共線，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共線，
則不存在實(shí)數(shù)x，y，使 SKIPIF 1 < 0 ，故①錯(cuò)誤；
由共面向量的基本定理可知②、③、④均正確，
故正確的個(gè)數(shù)是②③④．
故答案為：②③④.
三、解答題
7．如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn).
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的中點(diǎn)，求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角大小.
【答案】(1)證明見解析，(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由題意可得 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，所以以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在的直線為 SKIPIF 1 < 0 建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，
（2）先求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.
（1）
證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，
所以以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在的直線為 SKIPIF 1 < 0 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（2）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小為 SKIPIF 1 < 0 .
8．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是劣弧 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 .
(2)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離.
【答案】(1)證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由線面平行的判定和性質(zhì)，推得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 和圓的對(duì)稱性，求出相關(guān)的角的大小，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可得所求值．
（1）
證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 的方向分別為 SKIPIF 1 < 0 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【答案】(1)證明過程見解析；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；
（2）用 SKIPIF 1 < 0 表達(dá) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.
（1）
證明：連接DE，
因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由題意得： SKIPIF 1 < 0 均為等邊三角形且邊長(zhǎng)為1，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)異面直線AG和CE所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
10．如圖，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由四棱柱的性質(zhì)得到四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故證明出線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.
（1）
證明：在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸, SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
一、單選題
1．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括表面)，若 SKIPIF 1 < 0 ＝x SKIPIF 1 < 0 ＋y SKIPIF 1 < 0 ＋z SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 . 則點(diǎn)P所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是（）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用平面線性規(guī)劃的方法，我們類比推理，可得若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，進(jìn)而確定出滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
【詳解】解：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
若要同時(shí)滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)只能再現(xiàn)在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，
又三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
2．如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上.若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得.
【詳解】以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
3．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的取值范圍為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體并建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，利用向量夾角的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦值的取值范圍.
【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，故正方體的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
4．如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得Q運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角大小為 SKIPIF 1 < 0 ，可知Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條直線，
又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），則Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條線段.
設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易知平面APD的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面PDG的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是平面PDG的一個(gè)法向量，
則二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值為
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以Q在DG上運(yùn)動(dòng)，所以 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B．
二、填空題
5．化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)構(gòu)．構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中原子連線BF與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求BF與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【詳解】如圖示，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
∴原子連線BF與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
6．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的一個(gè)基底表示 SKIPIF 1 < 0 ，再利用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算作答.
【詳解】正八面體ABCDEF中， SKIPIF 1 < 0 不共面，而P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：1
三、解答題
7．如圖所示，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)直線PB與平面PCD所成的角為30°，結(jié)合線面角的向量求法求解即可.
（1）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 兩兩互相垂直，故以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，依題意有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．
(1)求證：PA∥平面MBD；
(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．
【答案】(1)證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量夾角的計(jì)算公式，可得答案.
（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，可知O為AC中點(diǎn)，M為PC中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA，
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以PA∥平面MBD.
（2）由題意可得平行四邊形ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖：
在菱形ABCD， SKIPIF 1 < 0 AB=AD= 2，∠BAD=120°， SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面MBA的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 則面MBA的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得：平面MDA的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
9．如圖所示，多面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】(1)由題意可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，利用 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題意可證明故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，建立坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
（1）
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
如圖所示建系， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角正弦值為：
SKIPIF 1 < 0 .
10．如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形.
(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)線面垂直的判定定理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得答案；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 、平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，由二面角的向量求法和 SKIPIF 1 < 0 的范圍可得答案.
（1）
如圖，取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)樗倪呅?SKIPIF 1 < 0 為菱形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形；
（2）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小等于二面角 SKIPIF 1 < 0 與二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小之和，
因?yàn)槎娼?SKIPIF 1 < 0 為直角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
11．如圖多面體 SKIPIF 1 < 0 中，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在棱 SKIPIF 1 < 0 上有一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離.
【答案】(1)證明見解析(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，從而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求出二面角，再求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．
（1）
證明：取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可以為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 .
一、解答題
1．（2022·天津·高考真題）直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，F(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
(3)求平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此，直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)F在 SKIPIF 1 < 0 上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積最小時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因?yàn)镋為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
連接 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 的面積最小.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
因?yàn)镋為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)M，N分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別做直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 并分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由平面知識(shí)易得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)二面角的定義可知， SKIPIF 1 < 0 ，由此可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而可證得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 平行線 SKIPIF 1 < 0 ，所以可以以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量，以及 SKIPIF 1 < 0 ，即可利用線面角的向量公式解出．
（1）
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別做直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 并分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由平面幾何知識(shí)易知， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，∴在Rt SKIPIF 1 < 0 和Rt SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是正三角形，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 平行線 SKIPIF 1 < 0 ，所以以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【解析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形全等得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
（1）
證明：連接 SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，又 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）
解：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求PD與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
【解析】（1）證明：在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 為等腰梯形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：如圖，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分別為 SKIPIF 1 < 0 ，AC的中點(diǎn)．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
條件①： SKIPIF 1 < 0 ；
條件②： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
由三棱柱 SKIPIF 1 < 0 可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）
因?yàn)閭?cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若選①，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 .
若選②，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的體積為4， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離；
(2)設(shè)D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【解析】（1）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè)點(diǎn)A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為h，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點(diǎn)A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且相交，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可取 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．
（I）求證： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（II）求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
（III）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【解析】（I）以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（II）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ；
（III）由正方體的特征可得，平面 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2021·全國(guó)·高考真題）在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）證明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值．
【解析】
（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合（1）中的 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.
則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
而平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角為銳角，故其余弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2021·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【解析】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，不妨以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直線分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法
如圖，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
從而 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：幾何法+三角形面積法
如圖，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N．
由[方法二]知 SKIPIF 1 < 0 ．
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)镸為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法
如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，交點(diǎn)記為H，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．過H作 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足記為G．
聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，由三垂線定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 為二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角．
易證四邊形 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
由等積法解得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值為 SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，D為棱 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)． SKIPIF 1 < 0
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時(shí)，面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小?
【解析】（1）[方法一]：幾何法
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)造正方體 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，
過E作 SKIPIF 1 < 0 的平行線分別與 SKIPIF 1 < 0 交于其中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，所以 SKIPIF 1 < 0 是BC的中點(diǎn)，
易證 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二] 【最優(yōu)解】：向量法
因?yàn)槿庵?SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 兩兩垂直．
以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由題設(shè) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)槠矫?SKIPIF 1 < 0 的法向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的二面角的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 取最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二] ：幾何法
如圖所示，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)T，則平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的平面角．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：投影法
如圖，聯(lián)結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的投影為 SKIPIF 1 < 0 ，記面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的平面角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，過D作 SKIPIF 1 < 0 的平行線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)Q．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 與面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小，最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)（講）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)（講）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)講原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)講解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁(yè)，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)（練）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)（練）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第10講復(fù)數(shù)練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共15頁(yè)，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量（練）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量（練）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量練原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第09講平面向量練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁(yè)，歡迎下載使用。

相關(guān)試卷更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第33講概率（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第33講概率（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27講橢圓（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27講橢圓（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27練橢圓（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第27練橢圓（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第21講空間幾何體（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第21講空間幾何體（2份打包，原卷版+解析版）

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作，工作室入駐。

高考專區(qū)

精品推薦
所屬專輯35份

重難點(diǎn) 易錯(cuò) 考點(diǎn)專練專項(xiàng)練習(xí) 總復(fù)習(xí)

查看更多精品資料

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練（2份打包，原卷版+解析版）

共35份 2024-08-26更新

查看當(dāng)前專輯所有資源

歡迎來到教習(xí)網(wǎng)

900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，一鍵下載

請(qǐng)輸入手機(jī)號(hào)

忘記密碼

免費(fèi)注冊(cè)

微信掃碼注冊(cè)

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)

手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」

手機(jī)號(hào)注冊(cè)

微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

0

資料籃
在線客服

官方
微信

添加在線客服

獲取1對(duì)1服務(wù)
官方微信

官方
微信

關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

打開微信就能找資料
賽課定制

賽課
定制

添加在線客服

獲取1對(duì)1定制服務(wù)
職稱咨詢

職稱
咨詢

添加在線客服

獲取1V1專業(yè)指導(dǎo)服務(wù)
免費(fèi)福利

返回
頂部

<label id="yuhfm"></label>