第2課時(shí)　函數(shù)的平均變化率 科考隊(duì)對(duì)“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線．請(qǐng)根據(jù)曲線圖思考下列問題： 問題　(1)在區(qū)間[6，17]對(duì)應(yīng)的曲線上任取不同兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，ΔyΔx＝y(tǒng)2-y1x2-x1一定大于零嗎？ (2)如果在區(qū)間[2，10]對(duì)應(yīng)的曲線上任取不同兩點(diǎn)C(x3，y3)，D(x4，y4)，ΔyΔx＝y(tǒng)4-y3x4-x3一定大于零嗎？ 知識(shí)點(diǎn)1　直線的斜率 (1)定義：給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱y2-y1x2-x1為直線AB的斜率；(若記Δx＝x2－x1，相應(yīng)的Δy＝y(tǒng)2－y1，當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率記為ΔyΔx)，當(dāng)x1＝x2時(shí)，稱直線AB的斜率不存在． (2)作用：直線AB的斜率反映了直線相對(duì)于 x軸的傾斜程度． 知識(shí)點(diǎn)2　平均變化率與函數(shù)單調(diào)性 若區(qū)間I是函數(shù)y＝f (x)的定義域的子集，對(duì)任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，ΔyΔx＝y(tǒng)2-y1x2-x1即ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1，則： (1)y＝f (x)在區(qū)間I上是增函數(shù)的充要條件是ΔyΔx＞0在區(qū)間I上恒成立． (2)y＝f (x)在區(qū)間I上是減函數(shù)的充要條件是ΔyΔx＜0在區(qū)間I上恒成立． 當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1為函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時(shí))或[x2，x1](x1＞x2時(shí))上的平均變化率．通常稱Δx為自變量的改變量，Δy為因變量的改變量． (1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以為正，也可以為負(fù)． (2)注意自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，公式中，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，則Δy＝f (x1)－f (x2)． (3)平均變化率可正可負(fù)，也可為零．但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等．比如，f (x)＝x2在區(qū)間[－2，2]上的平均變化率為0，但f (x)＝x2在[－2，2]上的圖象先下降后上升，值域是[0，4]． 1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)從x1到x2的平均變化率為a． (　　) (2)函數(shù)y＝f (x)的平均變化率ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1的幾何意義是函數(shù)y＝f (x)圖象上兩點(diǎn)A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直線的斜率． (　　) (3)直線不一定有斜率，過函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線也不一定有斜率． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　(1)一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)從x1到x2的平均變化率為ΔyΔx＝ax2+b-ax1+bx2-x1＝ax2-x1x2-x1＝a． (2)由平均變化率的幾何意義可知ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1表示過函數(shù)y＝f (x)圖象上兩點(diǎn)A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直線的斜率． (3)過函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線一定有斜率，因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)的定義，一定有x1≠x2． 2．(1)過函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A(－1，3)，B(2，3)的斜率ΔyΔx＝________． (2)過點(diǎn)M(－1，m)，N(m＋1，4)的直線的斜率為1，則m的值為________． (1)0　(2)1　[(1)ΔyΔx＝3-32+1＝0． (2)由直線的斜率公式得4-mm+1--1＝1，即4-mm+2＝1，解得m＝1．] 3．一次函數(shù)y＝－2x＋3在R上是________(選填“增”或“減”)函數(shù)． 減　[任取x1，x2∈R且x1≠x2， ∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3， ∴ΔyΔx＝y(tǒng)1-y2x1-x2＝－2＜0， 故y＝－2x＋3在R上是減函數(shù)．] 類型1　平均變化率的計(jì)算 【例1】　一正方形鐵板在0 ℃時(shí)邊長為10 cm，加熱后會(huì)膨脹，當(dāng)溫度為t ℃時(shí)，邊長變?yōu)?0(1＋at)cm，a為常數(shù)．試求鐵板面積對(duì)溫度的平均膨脹率． [思路導(dǎo)引]　由正方形的邊長與面積關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，再求面積的平均變化率． [解]　設(shè)溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量為ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， 所以平均膨脹率ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt． 　求平均變化率的3個(gè)步驟 (1)求出或者設(shè)出自變量的改變量． (2)根據(jù)自變量的改變量求出函數(shù)值的改變量． (3)求出函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值． [跟進(jìn)訓(xùn)練] 1．如圖是函數(shù)y＝f (x)的圖象． (1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為________． (2)函數(shù)f (x)在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為________． (1)12　(2)34　[(1)函數(shù)f (x)在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為f1-f-11--1＝2-12＝12． (2)由函數(shù)f (x)的圖象知， f (x)＝x+32，-1≤x≤1，x+1，10，則f (x)在區(qū)間I上是增函數(shù)；若ΔfxΔx12，即a>1時(shí)，f (x)的最大值為f (0)＝1． [母題探究] 1．(變結(jié)論)在題設(shè)條件不變的情況下，求f (x)在[0，1]上的最小值． [解]　①當(dāng)a2≤0，即a≤0時(shí)，f (x)在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f (x)的最小值為f (0)＝1． ②當(dāng)a2≥1，即a≥2時(shí)，f (x)在[0，1]上單調(diào)遞減， ∴f (x)的最小值為f (1)＝2－a． ③當(dāng)0

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