1、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】法一：因為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
3、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文））3．正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長是2， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】B
【詳解】方法一：以 SKIPIF 1 < 0 為基底向量，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
方法三：由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
4、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（理））4．已知 SKIPIF 1 < 0 的半徑為1，直線PA與 SKIPIF 1 < 0 相切于點A，直線PB與 SKIPIF 1 < 0 交于B，C兩點，D為BC的中點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】如圖所示， SKIPIF 1 < 0 ，則由題意可知: SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0

當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 位于直線 SKIPIF 1 < 0 異側(cè)時，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .

當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 位于直線 SKIPIF 1 < 0 同側(cè)時，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
綜上可得， SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
5、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文））5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
6、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））6．向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
如圖,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
由題知, SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形,
AB邊上的高 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選:D.
7、【2022年全國乙卷】已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因為，所以.
故選：D
8．【2022年全國乙卷】已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
9、【2022年新高考1卷】在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以 ．
故選：B．
10．【2022年新高考2卷】已知向量，若，則（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】：,,即,解得,
故選：C
11、【2022年全國甲卷】已知向量．若，則______________．
【答案】##
【解析】由題意知：，解得.
故答案為：.
12．【2022年全國甲卷】設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．
【答案】
【解析】：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
13、（2023年新高考天津卷）7．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，若設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 可用 SKIPIF 1 < 0 表示為_________；若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】空1：因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相加，可得到 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
空2：因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 .
記 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根據(jù)余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 和基本不等式， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得等號，
則 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .

題組一、平面向量的線性運算與基本定理的應(yīng)用
1-1、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家歐拉于 SKIPIF 1 < 0 年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 分別為任意 SKIPIF 1 < 0 的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A錯誤，B錯誤；
SKIPIF 1 < 0 ，C錯誤；
SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選：D.
1-2、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
1-3、（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 邊中點，線段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，可證得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可確定 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分點，從而根據(jù)向量線性運算推導(dǎo)得到結(jié)果.
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
1-4、（2021·山東泰安市·高三三模）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點滿足，與交于點，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
易知，，
，
∴，
故選：C .
題組二、向量的坐標(biāo)運算
2-1、（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B．-1或 SKIPIF 1 < 0 C．1或 SKIPIF 1 < 0 D．-1或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
2-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故選：A.
2-3、（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2-4、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2-5、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列命題正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影為 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0
C．與 SKIPIF 1 < 0 共線的單位向量只有一個為 SKIPIF 1 < 0
D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
對A：因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選項A錯誤；
對B：因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項B正確；
對C：與 SKIPIF 1 < 0 共線的單位向量有兩個，分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，故選項C錯誤；
對D：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，此時向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線同向，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故選項D正確；
故選：BD.
題組三、向量的夾角與模
3-1、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎矫嫦蛄?SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為平面向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
3-2、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】由已知
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
3-3、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 是單位向量，向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 成角 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
則由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又由 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
3-4、（2022·山東青島·高三期末）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 夾角 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解:因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故選：B
題組四、向量的投影
4-1、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模長的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
所以設(shè) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模長為： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的模長的最大值為： SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
4-2、（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 計算即可解決.
【詳解】由題知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，
故選： SKIPIF 1 < 0 .
4-2、（2023·浙江·校聯(lián)考三模）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是直角三角形
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
D．與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正確
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，B正確；
設(shè)與 SKIPIF 1 < 0 同向的單位向量為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，C錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，D正確，
故選：ABD．
4-3、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)校考三模）如果平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為_____ .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題組五、向量數(shù)量積的運用
5-1、（2023·湖北·校聯(lián)考三模）正 SKIPIF 1 < 0 的邊長為2， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
因為 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
5-2、（2022·山東日照·高三期末）已知△ SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的等邊三角形，點 SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】把△ SKIPIF 1 < 0 如下圖放在直角坐標(biāo)系中，
由于△ SKIPIF 1 < 0 的邊長為1，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
5-3、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，P為弧AC上的一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
5-4、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運動，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】D
【詳解】如圖以 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點， SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由平面向量的坐標(biāo)運算求解，
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
2、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上中點，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 邊上中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】計算出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用垂直列出方程，求出實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ．得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D．
4、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在扇形COD中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】D
【分析】運用向量的數(shù)量積運算公式求解即可.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
5、（2023·云南·統(tǒng)考一模）平面向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互垂直，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角是鈍角，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，解出方程，檢驗即可.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為向量夾角范圍為 SKIPIF 1 < 0 ，故此時夾角為銳角，舍去；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，此時 SKIPIF 1 < 0 ，故此時夾角為鈍角，
故選：D.
6、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為不共線的非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用共線向量逐項判斷作答.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為不共線的非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點不共線，A不正確；
因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，且有公共點B，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線，B正確；
因 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點不共線，C不正確；
因 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點不共線，D不正確.
故選：B.
7、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）正方形 SKIPIF 1 < 0 邊長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．10
【答案】C
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為正方形 SKIPIF 1 < 0 邊長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
8、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選題）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量線性運算即數(shù)量積公式可得AB正確；根據(jù)投影向量定義可得向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，即C錯誤；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，但此時向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角可以為零角并非銳角，可得D錯誤.
【詳解】若 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由投影向量定義可知向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0 ，即C錯誤；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
但當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即此時向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為零角，所以D錯誤.
故選：AB.
9、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┤粝蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共線，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用向量的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
10、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算法則求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用模的計算公式即可.
【詳解】根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
11、（2023·安徽安慶·?？家荒＃┮阎蛄?SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由平面向量的夾角公式代入計算即可得出答案.
【詳解】由平面向量的夾角公式得，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
12、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）設(shè)向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的向量積： SKIPIF 1 < 0 是一個向量，它的模 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-1B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D.

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