在△ABC中，向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，則△ABC為( )
A. 等邊三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等邊三角形D. 等腰直角三角形
已知向量a=(2,1)，b=(?3,1)，則( )
A. (a+b)//a
B. 向量a在向量b上的投影為102
C. a與a?b的夾角余弦值為255
D. 若c=(55,255)，則a⊥c
已知向量m=1,0，n=12,12，則下列說法正確的是( )
A. m=nB. m?n//n
C. m?n⊥nD. m與n的夾角為π3
在△ABC中，設(shè)AC2?AB2=2AM?BC，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的( )
A. 垂心B. 內(nèi)心C. 重心D. 外心
已知|a|=6，b=(m,3)，且(b?a)⊥(2a+b)，則向量a在向量b方向上的投影的最大值為( )
A. 4B. 2C. 1D. 62
已知向量a=(?1,1)，b=(m,2).若(a?b)⊥a，則向量2a+b與a+b的夾角的余弦值為( )
A. 7210B. 210C. 22D. 12
下列四個(gè)結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)是( )
①在?ABC中，若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；
②若，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a→=λb→；
③若，，則；
④在?ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|?BC→=0，且AB→|AB→|?AC→|AC→|=12，則?ABC為等邊三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
在ΔABC中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必通過ΔABC的內(nèi)心
②若13(OA+OB+OC)=OG，則點(diǎn)G是ΔABC的重心
③若OA?OB=OB?OC=OC?OA，則O是ΔABC的垂心
④若AC2?AB2=2AM?BC，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1，則給出下列結(jié)論：

①OA?OD=?22；②OB+OH=?2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模為22．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
設(shè)向量a,b,c,滿足a=b=2,a?b=2,a?c?b?c=0,則c的最小值為
A. 3+12B. 3?12C. 3?1D. 3+1
在給出的下列命題中，不正確的是( )
A. 設(shè)O,A,B,C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若OA=m?OB+(1?m)?OC(m∈R)，則點(diǎn)A,B,C必共線
B. 若向量a,b是平面α上的兩個(gè)向量，則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC滿足OA?OB=OA?OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)則ΔABC為等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC滿足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，則△ABC是等邊三角形
已知不共線向量OA,OB夾角為α,OA=1,OB=2,OP=1?tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0處取最小值，當(dāng)0C，則sinA>sinB>sinC；
②若，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a→=λb→；
③若，，則；
④在?ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|?BC→=0，且AB→|AB→|?AC→|AC→|=12，則?ABC為等邊三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：①A>B>C，則a>b>c，由正弦定理得則sinA>sinB>sinC；故①正確，
②若b=0，a≠0，滿足a//b，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)λ，使得a→=λb→；故②錯(cuò)誤，
③若b=0，a,c為不共線向量，滿足a//b，，此時(shí)a,c不平行，故③錯(cuò)誤，
④AB|AB|，AC|AC|分別是AB,AC方向的單位向量，向量AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的平分線上，
由(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0知，AB=AC，，
由且AB|AB|．AC|AC|=12，可得∠CAB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，故④正確，
故選B．
在ΔABC中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必通過ΔABC的內(nèi)心
②若13(OA+OB+OC)=OG，則點(diǎn)G是ΔABC的重心
③若OA?OB=OB?OC=OC?OA，則O是ΔABC的垂心
④若AC2?AB2=2AM?BC，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：①設(shè)D為BC中點(diǎn)，則AB+AC=2AD，∴AP=2λAD，即P點(diǎn)在中線AD上
可知P點(diǎn)軌跡必過ΔABC的重心，故①錯(cuò)誤；
②因?yàn)?3(OA+OB+OC)=OG，所以O(shè)G+GA+OG+GB+OG+GC=3OG，
化簡得GA+GB+GC=0，故點(diǎn)G為三角形ABC的重心，故②正確；
③∵OA?OB=OB?OC，∴OB?(OA?OC)=0；∴OB?CA=0；∴OB⊥AC，
同理由 OA?OB=OC?OA，得到OA⊥BC，∴點(diǎn)O是△ABC的三條高的交點(diǎn)，故③正確；
④設(shè)BC的中點(diǎn)是O，AC2?AB2=(AC+AB)?(AC?AB)=2AO?BC=2AM?BC，
即(AO?AM)?BC=MO?BC=0，所以MO⊥BC，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心，故④正確；
綜上，正確個(gè)數(shù)為3．
故選C．
八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1，則給出下列結(jié)論：

①OA?OD=?22；②OB+OH=?2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模為22．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】解：對①，OA,OD的夾角為135°，所以O(shè)A?OD=|OA||OD|cs 135°=?22，故①正確；
對②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB?OH=2，所以|OB+OH|=2，|?2OE|=2，
利用向量的加法法則，由圖可發(fā)現(xiàn)OB+OH的方向與2OE方向相反，
所以O(shè)B+OH=?2OE，故②正確；
對③，設(shè)與AB同向的單位向量為e，由AH，AB的夾角為135°，則AH在AB向量上的投影向量為|AH|cs 135°·e，因?yàn)閨AH|≠1，所以投影向量的模|AH|cs 135°=22|AH|≠22，故③錯(cuò)誤．
故選B．
設(shè)向量a,b,c,滿足a=b=2,a?b=2,a?c?b?c=0,則c的最小值為
A. 3+12B. 3?12C. 3?1D. 3+1
【答案】C
【解析】解：由題意知，|a→|=|b→|=a→·b→=2，
而a→·b→=|a→||b→|csα，
故csα=12，α=π3，
可設(shè)a→=(2,0)，b→=(1,3)，c→=(x,y)，
那么由(a→?c→)·(b→?c→)=0，
代入x2?3x+2+y2?3y=0，
整理得(x?32)2+(y?32)2=1．
即c→的終點(diǎn)落在該圓上，
則|c→|的最小值為圓心(32,32)到原點(diǎn)的距離減去半徑為322+322?1=3?1，
故選C．
在給出的下列命題中，不正確的是( )
A. 設(shè)O,A,B,C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若OA=m?OB+(1?m)?OC(m∈R)，則點(diǎn)A,B,C必共線
B. 若向量a,b是平面α上的兩個(gè)向量，則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC滿足OA?OB=OA?OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)則ΔABC為等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC滿足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，則△ABC是等邊三角形
【答案】B
【解析】解：對于A，設(shè)O,A,B,C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，
若OA=m?OB+(1?m)?OC(m∈R)，
則OA?OC=mOB?OC，
∴CA=mCB，
∴點(diǎn)A,B,C必共線，故A正確；
對于B，當(dāng)a=0或b=0時(shí)，結(jié)論不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C，若平面向量OA,OB,OC滿足OA?OB=OA?OC，
則OA·OB?OC=0，即OA·CB=0，
∴OA⊥CB；
又AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴O在∠BAC的平分線所在直線上，
∴ΔABC為等腰三角形，故C正確；
對于D，若平面向量OA，OB，OC滿足OA=OB=OC=r(r>0)，
則O是ΔABC的外心；
又OA+OB+OC=0，
則O又是ΔABC重心；
∴△ABC是等邊三角形，故D正確．
故選B．
已知不共線向量OA,OB夾角為α,OA=1,OB=2,OP=1?tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0處取最小值，當(dāng)0

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