新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題03 正余弦定理及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
據(jù)此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
2、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D為BC上一點，AD為 SKIPIF 1 < 0 的平分線，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
如圖所示：記 SKIPIF 1 < 0 ，
方法一：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
3、（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合余弦定理： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
4、（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】文由題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去）.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若D為BC上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由三角形面積公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（文））記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面積．
【詳解】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
變形可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2023年新高考天津卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別是 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (2)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 都為銳角，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
8、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 邊上的高．
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
10、【2022年全國乙卷】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
11、【2022年全國乙卷】記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
【解析】(1)
證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
12、【2022年新高考1卷】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)
因為，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．
題組一、運用正、余弦定理解決邊角及面積問題
1-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選題）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，則B的值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 的范圍即能得到答案
【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：BD.
1-2、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑R．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)將 SKIPIF 1 < 0 寫為 SKIPIF 1 < 0 代入化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ,根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ,即可得 SKIPIF 1 < 0 ;
(2) 由正、余弦定理可將 SKIPIF 1 < 0 化簡為 SKIPIF 1 < 0 ,進(jìn)一步化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ,結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ,再根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑.
【詳解】（1）解:因為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 中,由正、余弦定理得:
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圓半徑為 SKIPIF 1 < 0
1-3、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角B的大?。?br>(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的面積為S，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求b的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）切化弦后由正弦定理化邊為角，并利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡變形可得 SKIPIF 1 < 0 角大小；
（2）由三角形面積公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
1-4、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰?SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA= SKIPIF 1 < 0 .
（1）若a= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ，求b的值；
（2）若角A的平分線交BC于點D， SKIPIF 1 < 0 ，a=2，求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【答案】（1）b=4；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)余弦定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)角平分線定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形面積公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）因為tanA= SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以csA= SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得b=4或b=﹣1(舍)，
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為∠CAD=∠BAD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為a=2，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
題組二、運用余弦定理研究范圍問題
2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的平分線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 長度的取值范圍.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理求得結(jié)果；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 表示成兩個三角形的面積和，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再求其取值范圍；
【詳解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b=4，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求B；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；
(2)根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.
【詳解】（1）方法一： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
方法二：在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法一: SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
方法二:
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取“=”）
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
2-3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎?SKIPIF 1 < 0 中，邊 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所對的角分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列；
(2)求角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)見解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系，通過三角恒等變換化簡條件等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)根據(jù)余弦定理和基本不等式可求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，由此可得角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】（1）通分化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a?b?c成等比數(shù)列；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 為正三角形時等號成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大角為 SKIPIF 1 < 0 .
題組三、正余弦定理與其它知識點的結(jié)合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，則 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形.
則 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0
故選：C
3-2、（2022·山東師范大學(xué)附中高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知△ABC頂點 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，頂點B在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（）
A．0B．1C．2D．不確定
【答案】C
【解析】由題設(shè)知： SKIPIF 1 < 0 是橢圓的兩個焦點，又B在橢圓上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
3-3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）（多選題）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列，
則： SKIPIF 1 < 0 ，
利用 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦和余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列.
此時對等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的每一項取相同的運算得到數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，這些數(shù)列一般都不可能是等差數(shù)列，除非 SKIPIF 1 < 0 ，但題目沒有說 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
故選：ABD.
3-4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，D為BC邊的中點， SKIPIF 1 < 0 ，求a的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由兩角和的正弦公式化簡求解，
（2）由平面向量數(shù)量積的運算律與余弦定理求解，
【詳解】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
3-5、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小和邊 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)如圖，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 結(jié)合正弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法1：由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)點O不在 SKIPIF 1 < 0 外部時（如圖） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng)點O在 SKIPIF 1 < 0 外部時（如圖）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：由題可知： SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，分別取線段 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，
由于O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
1、【2022·廣東省普通高中10月階段性質(zhì)量檢測】在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形”的（）
A 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理化簡等式 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形或以 SKIPIF 1 < 0 為直角的直角三角形.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形”的必要不充分條件.
故選：B.
2、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】(多選題)
在 SKIPIF 1 < 0 中，下列命題正確的是（）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 定為等腰三角形或直角三角形
C. 在等邊 SKIPIF 1 < 0 中，邊長為2，則 SKIPIF 1 < 0
D. 若三角形的三邊的比是 SKIPIF 1 < 0 ，則此三角形的最大角為鈍角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根據(jù)正弦定理結(jié)合大角對大邊可得結(jié)論；B，根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得結(jié)論；C，根據(jù)向量的數(shù)量積及夾角可得結(jié)論；D，設(shè)出三邊的長度，利用余弦定理即可求出最大角．
【詳解】解：對于A選項，由正弦定理結(jié)合大角對大邊得
SKIPIF 1 < 0 ，故A選項正確；
對于B選項，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的內(nèi)角，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項正確；
對于C選項，在等邊 SKIPIF 1 < 0 中，邊長為2，
則 SKIPIF 1 < 0 ,故C選項不正確；
對于D選項， SKIPIF 1 < 0 的三邊之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 設(shè)三邊長依次為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；則最大角是 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故D選項正確．
故選：ABD．
3、（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）設(shè) SKIPIF 1 < 0 內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；
（2）由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由兩角和的正弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后由面積公式計算可得.
【詳解】（1）解：因為 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
4、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的值最大時，求△ABC的面積．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡等式，即可得出 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根據(jù)正弦定理將 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從而求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出△ABC的面積
【詳解】（1）由題意
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 為三角形內(nèi)角，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題意及（1）得
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故外接圓直徑 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為1，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此時 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考一模）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的兩個相鄰零點間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的對稱軸方程；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長的取值范圍．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，對稱軸方程為： SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的零點性質(zhì)、周期公式、對稱軸方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦定理、輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的兩個相鄰零點間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以對稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周長的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【答案】(1)見解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理邊化角計算可得結(jié)果.
（2）由余弦定理解三角形及三角形面積公式計算可得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，.
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 及余弦定理得: SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理的變形得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
8、（2022·湖南郴州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，若邊 SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的角分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【解析】解：因為 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
9、（2022·山東濟南·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 .中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】
解：因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，等號成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .

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