新高考數(shù)學(xué)二輪提升練專題03 正余弦定理及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、【2022年全國(guó)甲卷】沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：如圖，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
又，所以三點(diǎn)共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
2、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合余弦定理： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
3、（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】文由題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去）.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去）.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
5、【2021年乙卷理科】魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在水平線 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”， SKIPIF 1 < 0 稱為“表距”， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都稱為“表目距”， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的差稱為“表目距的差”則海島的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 表高B． SKIPIF 1 < 0 表高
C． SKIPIF 1 < 0 表距D． SKIPIF 1 < 0 表距
【答案】A
【解析】如圖所示：
由平面相似可知， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A.
6、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，則tanB=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．4 SKIPIF 1 < 0 D．8 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故選：C
7、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，則csB=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根據(jù)余弦定理： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
8、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求A；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，證明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①，
又 SKIPIF 1 < 0 ②， 將②代入①得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形．
9、（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）） SKIPIF 1 < 0 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)），
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)），
SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
10、【2022年全國(guó)甲卷】已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．
【解析】設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，.
故答案為：.
11、【2021年乙卷文科】記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去）.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
12、【2020年新課標(biāo)1卷理科】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1， SKIPIF 1 < 0 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
13、【2022年全國(guó)乙卷】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡(jiǎn)得：
，故原等式成立．
14、【2022年全國(guó)乙卷】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【解析】(1)
證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
(2)：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
15、【2022年新高考1卷】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)
因?yàn)椋矗?br>而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
16、【2022年新高考2卷】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【解析】
(1)由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
(2)由正弦定理得：，則，則，.
題組一、 運(yùn)用正、余弦定理解決邊角及面積問題
1-1、【2022·廣東省梅江市梅州中學(xué)10月月考】
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，BC=1，AC=5，則AB=
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，選A.
1-2、（2022·江蘇如東·高三期末）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測(cè)量該校操場(chǎng)旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（ ）
A．20mB．10mC． SKIPIF 1 < 0 mD． SKIPIF 1 < 0 m
【答案】B
【解析】如圖示，AB表示旗桿，
由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故選：B.
1-3、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】
在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由正弦定理知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D
1-4、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】在 SKIPIF 1 < 0 中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的形狀是
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則： SKIPIF 1 < 0 ，
由于：0＜A＜π，故：A SKIPIF 1 < 0 ．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選C．
1-5、（2022·江蘇海安·高三期末）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ，CD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求∠ACB的大?。?br>（2）求四邊形ABCD的面積．
【解析】（1）由題意，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
由（1），可知 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形ABCD的面積 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
1-6、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=10，2AC=3AD= SKIPIF 1 < 0 AB，cs∠CAD= SKIPIF 1 < 0 .
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求sinB.
【解析】（1）依題意，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以AD的長(zhǎng)是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
1-7、（2022·江蘇無錫·高三期末） SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，________.
請(qǐng)?jiān)冖?SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并加以解答：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 面積.
【解析】（1）
若選①，則由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若選②，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
題組二、 運(yùn)用余弦定理研究范圍問題
2-1、（2022·湖北襄陽·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則角 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
2-2、【2022·廣東省深圳市外國(guó)語學(xué)校第一次月考10月】
在 SKIPIF 1 < 0 中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，則角B的最大值為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以B的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C.
2-3、（2022·江蘇宿遷·高三期末）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且__________.
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是銳角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】（1）
選擇①：條件即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
選擇②：條件即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
選擇③：條件即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是銳角三角形得， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
2-4、（2022·廣東潮州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求角B的大??；
（2）若點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，BD=2，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【解析】（1）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 面積為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0
2-5、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
已知 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若______.
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的面積.
【解析】（1）選①，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
選②，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
選③，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由已知結(jié)合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最小值為6，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 .
2-6、（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求邊 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是銳角三角形且角 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是銳角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
2-7、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，向量 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦角為 SKIPIF 1 < 0
（1）求角B的大小；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
題組三、正余弦定理與其它知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，則 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形.
則 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 外接圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0
故選：C
3-2、（2022·山東師范大學(xué)附中高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知△ABC頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，頂點(diǎn)B在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．0B．1C．2D．不確定
【答案】C
【解析】由題設(shè)知： SKIPIF 1 < 0 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，又B在橢圓上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
3-3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）（多選題）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列，
則： SKIPIF 1 < 0 ，
利用 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦和余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 依次成等差數(shù)列.
此時(shí)對(duì)等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的每一項(xiàng)取相同的運(yùn)算得到數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，這些數(shù)列一般都不可能是等差數(shù)列，除非 SKIPIF 1 < 0 ，但題目沒有說 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
故選：ABD.
3-4、（2022·湖南郴州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，若邊 SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)的角分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大??；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
【解析】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
3-5、（2022·山東濟(jì)南·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 .中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】
解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
1、（2021·山東泰安市·高三三模）在中，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由余弦定理得：，
所以，因?yàn)?，所以，所以?br>故選：D．
2、【2022·廣東省普通高中10月階段性質(zhì)量檢測(cè)】
在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形”的（ ）
A 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)等式 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形或以 SKIPIF 1 < 0 為直角的直角三角形.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為底角的等腰三角形”的必要不充分條件.
故選：B.
3、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】(多選題)
在 SKIPIF 1 < 0 中，下列命題正確的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 定為等腰三角形或直角三角形
C. 在等邊 SKIPIF 1 < 0 中，邊長(zhǎng)為2，則 SKIPIF 1 < 0
D. 若三角形的三邊的比是 SKIPIF 1 < 0 ，則此三角形的最大角為鈍角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根據(jù)正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊可得結(jié)論；B，根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得結(jié)論；C，根據(jù)向量的數(shù)量積及夾角可得結(jié)論；D，設(shè)出三邊的長(zhǎng)度，利用余弦定理即可求出最大角．
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊得
SKIPIF 1 < 0 ，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的內(nèi)角，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，在等邊 SKIPIF 1 < 0 中，邊長(zhǎng)為2，
則 SKIPIF 1 < 0 ,故C選項(xiàng)不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 的三邊之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 設(shè)三邊長(zhǎng)依次為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；則最大角是 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
4、（2022·廣東東莞·高三期末） SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng).
【解析】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2022·廣東羅湖·高三期末）設(shè) SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大??；
（2）若邊 SKIPIF 1 < 0 上的高為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】解：由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， 所以， SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在平面四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【解析】（1）
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2022·廣東汕尾·高三期末） SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0
（1）求角B
（2）當(dāng)b=3時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立），
所以 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值 SKIPIF 1 < 0 .
8、（2022·湖南常德·高三期末）設(shè)a，b，c分別是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角A的大??；
（2）從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．
①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值．
②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【解析】（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
選①∵AD平分∠BAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由基本不等式可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取“=”，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ；
②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
9、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末） SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng).
【解析】解：（1）根據(jù)題意 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .