專題27 圖形的相似（46題）（教師卷+學(xué)生卷）- 2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2024·重慶·中考真題）若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．
【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，
故選：D．
2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，
∵三角形硬紙板的面積為，
∴，
∴的面積為．
故選：D．
3．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由題意得，
∴，
∴，即，
解得，
故選：B．
4．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結(jié)論中，錯誤的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點分別為邊的中點，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯誤；
故選：．
5．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（）

A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
【答案】D
【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．
故選D．
6．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵與是位似圖形，點的對應(yīng)點為，
∴與的位似比為，
∴點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，即，
故選：．
7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標(biāo)分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意橫縱的坐標(biāo)乘以，即可求解．
【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)是
故選：D．
8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項可以判定．
【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，
∴，故A正確；
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D錯誤；
∵，
∴，故C正確，
故選：D．
9．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
10．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負值舍去），
故選：A．
11．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結(jié)論錯誤的是（）
A．若，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴
A. 若，即，又，
∴
∴
∴，故A選項正確，
B. 若，，，
∴是的角平分線，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四邊形是菱形，
∴
在中，
∴
∴
又∵
∴
∴，故B選項正確，
C. ∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴四邊形是菱形，
∴，
又∵
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴
∴，故C選項正確；
D. 若，則四邊形是菱形，
由，且時，
可得垂直平分，
∵
∴，故D選項不正確
故選：D．
12．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點E為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故選：B．
13．（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，，，是邊上的高．點E，F(xiàn)分別在邊，上（不與端點重合），且．設(shè)，四邊形的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，過點E作于點H，由勾股定理求出，根據(jù)等面積法求出，先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可求出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出，根據(jù)，代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自變量的大小求出對應(yīng)的函數(shù)值．
【詳解】解：過點E作于點H，如下圖：
∵，，，
∴，
∵是邊上的高．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
故選：A．
14．（2024·山東·中考真題）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．
作輔助線如圖，由平行正相似先證，再證，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：延長和，交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
故選：B．
二、填空題
15．（2024·江蘇鹽城·中考真題）兩個相似多邊形的相似比為，則它們的周長的比為．
【答案】/
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵兩個相似多邊形的相似比為，
∴它們的周長的比為，
故答案為：．
16．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點，且．若，則．

【答案】/0.5
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
17．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設(shè)，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為．
【答案】
【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得，，過作于點，交于點，利用已知得出，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【詳解】由題意得：，
∴，
如圖，過作于點，交于點，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距離為，
故答案為：．
18．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．
【詳解】解：∵正方形的對角線相交于點O，
∴，，
∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為．
【答案】
【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：延長，交于，
是的直徑，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案為：．
20．（2024·湖北·中考真題）為等邊三角形，分別延長，到點，使，連接，，連接并延長交于點．若，則，．
【答案】 /30度 /
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理．利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得；作交的延長線于點，利用直角三角形的性質(zhì)求得，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延長線于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案為：，．
21．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結(jié)分別交，于點，，則的長為．
【答案】/
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．
首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，求出，然后證明出，得到，求出，進而求解即可．
【詳解】解：菱形的邊長為6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
22．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形中，，對角線和交于點O，若，則．
【答案】
【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)的距離為，則，即，證明，則，計算求解即可．
【詳解】解：設(shè)的距離為，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
23．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
24．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則．

【答案】
【分析】連接，過E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進而得到關(guān)于x的一元二次方程，進而求解即可．
【詳解】解：連接，過E作于F，設(shè)，，

∵，為中點，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，則，又，
∴，
∴，，
∴，
則；
∵是的一條角平分線，
∴，又，
∴，
∴
∴，則，
∴，即，
解得（負值已舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．
25．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．
【答案】/
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過E作于H，設(shè)與相交于M，證明得到，進而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
過E作于H，設(shè)與相交于M，
則，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，則，
∴是等腰直角三角形，
∴，則，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面積是面積的2倍，
∴，則，
解得，（舍去），
即，
故答案為：．
三、解答題
26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．
(1)求證：是的切線；
(2)當(dāng)時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
連接，
平分，
，
，
，
是的直徑，
，
．
27．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，平分交于點，過點的直線，交的延長線于點，交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)連接并延長，分別交于兩點，交于點，若的半徑為，求的值．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可證明；
（2）連接，先解，求得，，則，，可證明，由，得，故，證明，即可得到．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半徑
∴是的切線；
（2）解：連接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
28．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，過點C作的切線l，過點A作，垂足為D，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)題意得，，利用等量代換確定，再由相似三角形的判定即可證明；
（2）先由勾股定理確定，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
∵是的切線，點C在以為直徑的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半徑為．
29．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與相切于點A，是的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側(cè)，連接，分別與交于點E，F(xiàn)，連接．
(1)求證：；
(2)若的半徑，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）利用切線和直徑的性質(zhì)求得，再利用等角的余角相等即可證明；
（2）先求得，，證明和是等腰直角三角形，求得的長，再證明，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：∵直線l與相切于點A，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵直線l與相切于點A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
30．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．
(1)求證：；
(2)為線段延長線上一點，且滿足，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；
（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．
【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）證明：連接交于點，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．
31．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；
（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出
【詳解】（1）證明：連接，延長，交于點，連接如圖，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直徑，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．
32．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，在四邊形中，，連接，過點作，垂足為，交于點，．
(1)求證：；
(2)若．
①請判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①，理由見解析；②
【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）由余角的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得；
（2）①設(shè)，可求，可求，根據(jù)等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可證，可得，通過證明，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
設(shè)，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
33．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在中，，點D是上的一個動點，過點D作于點E，延長交延長線于點F．
請你解決下面各組提出的問題：
(1)求證：；
(2)探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
請你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時，直接寫出的值；
②當(dāng)時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；
(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過點F作，垂足為點P，連接，得到圖2，當(dāng)點D運動到使時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)見解析
(2)①②，證明見解析
(3)
【分析】（1）等邊對等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；
②猜想，作于點，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；
（3）過點作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：①當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，
∴當(dāng)時，；
②當(dāng)時，猜想，
證明：作于點，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
（3），理由如下：
過點作，
∵，，
∴，
由（2）知，當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．
34．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；
（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，得出，得出，再由平行線判定得出，，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】（1），且是的直徑，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
（2）過點作，交延長線于點．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
（3）如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．
35．（2024·北京·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上，平分.

(1)求證：；
(2)延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；
（2）不妨設(shè)，則，求得，證明，，求得，取的中點M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中點M，連接，
則
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
解得，
故半徑的長為.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.
36．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．
在中，點為邊上一點，連接．
(1)初步探究
如圖2，若，求證：；
(2)嘗試應(yīng)用
如圖3，在（1）的條件下，若點為中點，，求的長；
(3)創(chuàng)新提升
如圖4，點為中點，連接，若，，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，由，，利用兩個三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性質(zhì)即可得證；
（2）設(shè)，由（1）中相似，代值求解得到，從而根據(jù)與的相似比為求解即可得到答案；
（3）過點作的平行線交的延長線于點，如圖1所示，設(shè)，過點作于點，如圖2所示，利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長，再由三角形相似的判定與性質(zhì)得到，代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵點為中點，
∴設(shè)，
由（1）知，
∴，
∴，
∴與的相似比為，
∴，
∵
∴；
（3）解：過點作的平行線交的延長線于點，過作，如圖1所示：
∵點為中點，
∴設(shè)，
∵，
∴，，
在中，，則由勾股定理可得，
過點作于點，如圖2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，點為中點，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【點睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
37．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點O，點M，N分別在邊，上，且．點E，F(xiàn)分別是與，的交點．
(1)求證：；
(2)連接交于點H，連接，．
（?。┤鐖D2，若，求證：；
（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．
【答案】(1)見詳解
(2)（?。┮娫斀猓áⅲ?br>【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再證明是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，再利用證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出．
（2）（?。┯善叫芯€截線段成比例可得出，結(jié)合已知條件等量代換，進一步證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性質(zhì)得出，進一步得出，，進一步可得出，進一步得出，同理可求出，再根據(jù)即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
在與中，
∴．
∴．
（2）（ⅰ）∵
∴，
又．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（ⅱ）∵是菱形，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵．，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
故．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)，平行線截線段成比例以及菱形的性質(zhì)，掌握這些判定方法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點，連接，對角線分別與相交于點．
①求證：是的中點；
②求；
(2)如圖2，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)①見解析；②
(2)，理由見解析
【分析】（1）①根據(jù)，得出為的中點，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到線段的數(shù)量關(guān)系求解；
（2）連接交于點，證明，進一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，再通過等量代換即可求解．
【詳解】（1）解：①，
為的中點，
，
是邊的中點，
，
，
在中，
∴，
又∵，
，
，
是的中點；
②，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
連接交于點，如下圖：

由題意，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點，
，
又，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
為的中點，
，
，
為的中點，
為的中位線，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線等知識，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形來求解．
39．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．
(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；
(2)如圖，若，當(dāng)點在點之間運動時，求的最大值；
(3)如圖，若，當(dāng)點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；
（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，則，
解得：或，
∴或；
（2）設(shè)，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
當(dāng)時，有最大，最大值為；
（3）連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
即點在對角線所在直線上運動，
如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，過作于點，
∴，四邊形為矩形，
則點三點共線，，
∴，
∴，
∵，點是的中點，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點共線時，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究
定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．

(1)操作判斷
用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．
(2)性質(zhì)探究
根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．
如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．
①寫出圖中相等的角，并說明理由；
②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展應(yīng)用
如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當(dāng)該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．
【答案】(1)②④
(2)①．理由見解析；②
(3)或
【分析】（1）根據(jù)鄰等對補四邊形的定義判斷即可；
（2）①延長至點E，使，連接，根據(jù)鄰等對補四邊形定義、補角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出結(jié)論；
②過A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（3）分，，，四種情況討論即可．
【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補，圖2和圖4中存在對角互補且鄰邊相等，
故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補四邊形，
故答案為：②④；
（2）解：①，理由：
延長至點E，使，連接，
∵四邊形是鄰等對補四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②過A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵四邊形是鄰等對補四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)時，如圖，連接，過N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
當(dāng)時，連接，過N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖，連接，
∵，
∴，
∴，故不符合題意，舍去；
綜上，的長為或．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．
41．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
(1)求證：．
(2)若為中點，且，求長．
(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進行計算，再結(jié)合，則，代入數(shù)值，得，所以；
（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵為中點，
∴，
設(shè)，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）解：如圖：延長交于一點M，連接
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴直線
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵為中點，
∴設(shè)，
∴，
∵為中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
42．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．
【模型建立】
（1）求證：；
【模型應(yīng)用】
（2）若，，，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出，即可得證；
（2）延長交于點，證明，得到，再證明，求出的長，進而求出的長；
（3）設(shè)正方形的邊長為，延長交于點，證明，得到，進而得到，勾股定理求出，進而求出的長，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延長交于點，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）設(shè)正方形的邊長為，則：，
延長交于點，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
43．（2024·廣西·中考真題）如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點M，O，平分．
(1)求證：；
(2)如圖2，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為．連接，
①求面積的最大值及此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并說明理由；
②當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)①，；②或
【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，結(jié)合角平分線定義可得出，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先求出，然后利用含的直角三角形性質(zhì)求出，，，利用勾股定理求出，，取中點，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，則，，，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關(guān)系得出，故當(dāng)M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
②先利用三角形三邊關(guān)系判斷出，，則當(dāng)為直角三角形時，只有，然后分A和重合，和C重合，兩種情況討論即可．
【詳解】（1）證明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中點，連接，，作于N，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，
∴，，，
根據(jù)垂線段最短知，
又，
∴當(dāng)M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，
此時，
∴面積的最大值為；
②∵，，
∴，
同理
∴為直角三角形時，只有，
當(dāng)A和重合時，如圖，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
∴為直角三角形，
此時旋轉(zhuǎn)角；
當(dāng)和C重合時，如圖，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
又
∴為直角三角形，
此時旋轉(zhuǎn)角；
綜上，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或時，為直角三角形．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
44．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．
問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．
問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：
【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點，分別是，的中點，可得，即可得證；
問題探究：取的中點，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；
問題拓展：過點作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進而得出，證明，進而證明，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，分別是，的中點
∴，
即，
∴；
問題探究：如圖所示，取的中點，連接，

∵是的中點，是的中點，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∴
又∵，是的中點，
∴
∴
∴，
∴；
問題拓展：如圖所示，過點作，則四邊形是矩形，連接，

∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中點，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
設(shè)，則
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
45．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；
(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．
【答案】(1)，
(2)，理由見解析
(3)①見解析；②或．
【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；
（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；
（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；
在延長線上取點F，使，連接；
②根據(jù)①中的三種情況討論：
第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；
第三種情況無交點，不符合題意．
【詳解】（1）解：，為的中點，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案為：1；；
（2）解：，理由如下：
根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，
，；
又，
，
；
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一種情況：
作的平行線，使，連接，
則四邊形為平行四邊形；
延長交于點，
，
，
，
，，
，即，
為的中點；
故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：

第二種情況：
作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，
故為的中點；
同理可證明：，
則，
則四邊形是平行四邊形；
故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第三種情況：
作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；
在延長線上取點F，使，連接，
則為的中點，
同理可證明，從而，
故四邊形是平行四邊形；
故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
②若按照圖1作圖，
由題意可知，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
過P作于H，則，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照圖2作圖，
延長、交于點，
同理可得：是等腰三角形，
連接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）
故答案為：或．
【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
46．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在梯形中，，點E在邊上，且．
(1)如圖1所示，點F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；
(2)已知；
①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；
②如圖3所示，如果點M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．
【答案】(1)見詳解
(2)①；②
【分析】（1）延長交于點G，由，得到，由已知數(shù)據(jù)得到，，故，因此；
（2）①記點O為外接圓圓心，過點O作于點F，連接，先證明，再證明，則，即，求得；
②延長交于點P，過點E作，垂足為點Q，由，求得，可證明，角度推導(dǎo)得，則，求出，繼而得到，由，則，設(shè)，則，由，設(shè)，，由，得到，設(shè)，可證明，求出，則，在中，運用勾股定理得：，則，在中，由勾股定理得，，故．
【詳解】（1）證明：延長交于點G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）①解：記點O為外接圓圓心，過點O作于點F，連接，
∵點O為外接圓圓心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圓半徑為；
②延長交于點P，過點E作，垂足為點Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴設(shè)，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓等知識點，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

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