?專(zhuān)題12數(shù)列
知識(shí)點(diǎn)目錄
知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列基本量運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)列的最值問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問(wèn)題（蛛網(wǎng)圖問(wèn)題）
知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列新定義問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)9：數(shù)列不等式
近三年高考真題
知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列基本量運(yùn)算
1．（2023?甲卷（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則　　
A．25 B．22 C．20 D．15
2．（2022?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差 ．
3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有 個(gè)．
4．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．
（1）若，，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．




5．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．




6．（2021?甲卷（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．




7．（2023?乙卷（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．




8．（2021?甲卷（文））記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．





知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算
9．（2022?乙卷（文））已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則　　
A．14 B．12 C．6 D．3
10．（2021?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則　　
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2023?甲卷（文））記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為 ．
12．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為 ．
13．（2023?乙卷（理））已知為等比數(shù)列，，，則 ．
14．（2021?甲卷（理））等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則　　
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
15．（2023?天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為　　
A．3 B．18 C．54 D．152
16．（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則　　
A．7 B．9 C．15 D．30
17．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是　　
A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
18．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則　　
A．120 B．85 C． D．
知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
19．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725，則　　

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
20．（2022年全國(guó)乙卷）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類(lèi)推，其中．則（???????）
A． B． C． D．

21．（2021?北京）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)，，，， （單位： 成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為，，，，（單位：，且長(zhǎng)與寬之比都相等．已知，，，則　　
A．64 B．96 C．128 D．160
知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)列的最值問(wèn)題
22．（2021?北京）已知是各項(xiàng)為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為　　
A．9 B．10 C．11 D．12
23．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為 ．
知識(shí)點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問(wèn)題（蛛網(wǎng)圖問(wèn)題）
24．（2023?北京）數(shù)列滿(mǎn)足，下列說(shuō)法正確的是　　
A．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)，
B．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)，
C．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)，
D．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)，
25．（2022?浙江）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則　　
A． B． C． D．
26．（2021?浙江）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則　　
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
27．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則　　
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
28．（2022?天津）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；
（3）求．




29．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．




30．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．




31．（2022?甲卷（文））記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．




32．（2021?乙卷（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足，已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．





知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列新定義問(wèn)題
33．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則　　
A． B．
C． D．
知識(shí)點(diǎn)8：數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題
34．（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則　 　，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為 ．
35．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類(lèi)推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為　 　，如果對(duì)折次，那么
36．（2023?天津）已知是等差數(shù)列，，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式和；
（Ⅱ）已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則．
當(dāng)時(shí)，求證：；
求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．




37．（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．




38．（2021?乙卷（理））記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式．




39．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿(mǎn)足，
（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和．




知識(shí)點(diǎn)9：數(shù)列不等式
40．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．




41．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．




42．（2021?天津）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64．?dāng)?shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）記，．
證明：是等比數(shù)列；
證明：．




43．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，
求實(shí)數(shù)的取值范圍．





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