TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19191" ①等差數(shù)列 PAGEREF _Tc19191 \h 1
\l "_Tc14082" ②等比數(shù)列 PAGEREF _Tc14082 \h 7
\l "_Tc4920" ③數(shù)列的通項(xiàng) PAGEREF _Tc4920 \h 14
\l "_Tc17410" ④遞推數(shù)列 PAGEREF _Tc17410 \h 19
\l "_Tc11793" ⑤數(shù)列求和 PAGEREF _Tc11793 \h 23
\l "_Tc21644" ⑥數(shù)列的極限 PAGEREF _Tc21644 \h 28
\l "_Tc25942" ⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合 PAGEREF _Tc25942 \h 33
\l "_Tc20406" ⑧數(shù)列不等式 PAGEREF _Tc20406 \h 37
\l "_Tc32271" ⑨數(shù)列新定義 PAGEREF _Tc32271 \h 40
①等差數(shù)列
1．（2023·福建寧德·校考二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則（ ）
A．366B．367C．368D．369
【答案】A
【詳解】設(shè)，由題意是公差為的等差數(shù)列，則，
故，則，
故
于是
.
故選：A
2．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正項(xiàng)數(shù)列中，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以為首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列，
所以，
所以，
的前項(xiàng)和為，
整數(shù)滿足，
所以，
是整數(shù)，
所以，
所以則數(shù)列的前項(xiàng)和為：
.
故選：C.
3．（多選）（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則（ ）．
A．
B．
C．當(dāng)或6時(shí)，取得最大值為30
D．?dāng)?shù)列與數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)
【答案】ABC
【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，
則有，A正確；
因?yàn)?，所以，B正確；
因?yàn)?，即?shù)列為遞減等差數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，
因此數(shù)列的前5項(xiàng)均為正，第6項(xiàng)為0，從第7項(xiàng)起為負(fù)，
所以當(dāng)或6時(shí)，取得最大值，C正確；
令數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的第m項(xiàng)互為相反數(shù)，即，
于是，而，則為偶數(shù)，令，有，
因此數(shù)列與數(shù)列成互為相反數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，且，
顯然，即，又，則，
所以數(shù)列與數(shù)列共有670項(xiàng)互為相反數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
4．（多選）（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，，則是等比數(shù)列
C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列
D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
【答案】ABC
【詳解】對于A，，時(shí)，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；
對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；
對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，
，
，
因此，則 ，成等差數(shù)列，C正確；
對于D，若等比數(shù)列的公比，則 不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
【答案】11
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到最小值，
所以，所以，
因?yàn)椋?，即，所?
，則，因?yàn)椋?br>所以，解之得：,因?yàn)?，所以n的最小值為11.
故答案為：11.
6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，若滿足且對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題意數(shù)列的通項(xiàng)公式為，,滿足
，且對任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，解得
，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
7．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測）已知無窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，且，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于無窮等差數(shù)列中的各項(xiàng)均大于0，則，
由于，則，解得或（舍去），
所以，
因?yàn)?，所以?br>令（），則，
由，得，得，解得或（舍去）。
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以的最小值為，
故答案為：
8．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是 .
【答案】
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，即，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都不為0，所以，
因?yàn)?，所以?br>數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以；
數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，所以，
令，
，
，則，
所以隨著的增大而增大，即在處取最小值，，
又因?yàn)閷σ磺?，恒有成立，所以，解得?br>故能取到的最大整數(shù)是.
故答案為：.
9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則 ；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ．
【答案】
【詳解】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，且，
則，，，，
所以，則，
由各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則，即，
綜上，，故，
由上，前n項(xiàng)為，且，
故在之前共有項(xiàng)，
則，則，
綜上，前70項(xiàng)為，
.
故答案為：，
10．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義表示與實(shí)數(shù)的距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，取較大整數(shù)），如，，，，令函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則 ； .
【答案】 4 89
【詳解】空1：因?yàn)?，，，，，，所以?br>空2：根據(jù)，當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，
以此類推，將重新分組如下，，
第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，
設(shè)在第組中，
則，可得，解得，故在第45組，
前面共有44組，共1980項(xiàng)，所以.
故答案為：4；89.
②等比數(shù)列
1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>，
又是等比數(shù)列，所以，即，解得，所以．
當(dāng)時(shí)，，又滿足，
所以，，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以．
故選：A.
2．（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則最小值為（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，設(shè)其公比為，則，，
所以，得，解得，
因?yàn)?，所以，則，即，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.
故選：B.
3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，且，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>兩式相除，得，
又，所以，
所以是以為公比的等比數(shù)列，
所以，
記，則，所以，所以，
所以，
即，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>所以，
同理，，，
所以，
即，故B錯(cuò)誤；
，
所以，故C正確；
，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（例如：，），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
即，共有個(gè).
因?yàn)椋?br>故
，
設(shè)，①
則，②
①-②,得
，
所以.
所以.
故選:B.
5．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對一切恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，而，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
，
所以，
所以
由，得，
則
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，
綜上，的取值范圍為．
故選：B.
6．（多選）（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若滿足，，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．為遞減數(shù)列B．
C．當(dāng)時(shí)，最小D．當(dāng)時(shí)，的最小值為4047
【答案】BC
【詳解】A.由條件可知，，與同號，所以，則，
而，則公比，
若，數(shù)列單調(diào)遞減，則，那么，與已知矛盾，
若，則，則那么，與已知矛盾，
只有當(dāng)，才存在，使，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
B.因?yàn)?，單調(diào)遞增，所以，
則，即，故B正確；
C.因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，最小，故C正確；
D.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為4046，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）某商場設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．當(dāng)時(shí)，越大，越小
【答案】ABC
【詳解】記玩家第次抽盲盒并抽中獎(jiǎng)品為事件，
依題意，，，，，
對于A選項(xiàng)，，A對；
對于B選項(xiàng)，，
所以，，所以，，
又因?yàn)?，則，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，B對；
對于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，則，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則隨著的增大而減小，所以，.
綜上所述，對任意的，，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，D錯(cuò).
故選：ABC.
8．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為 .
【答案】/
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
所以，，解得，則，
所以，，
，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
又因?yàn)?，故的最大值?
因此，對任意的恒成立，所以，，故的最小值為.
故答案為：.
9．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則 ，不等式成立的的最小值為 ．
【答案】 14 13
【詳解】令，得，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
即，因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)闉榕紨?shù)，所以的最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為： ，
10．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.則＝ ；令，則＝ .
【答案】
【詳解】依題意，，由等差數(shù)列性質(zhì)得，即，解得；
，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，
其前n項(xiàng)和記為，則，
令均滿足上式，因此，
于是
，則，
令，
則有，
兩式相減得：，
因此，所以.
故答案為：；
③數(shù)列的通項(xiàng)
1．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，滿足，.若，函數(shù)，則（ ）
A．3036B．3034C．3032D．3030
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，即?br>所以，
則，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】顯然，對任意，．，
化簡可得，所以，則，
累加可得，所以．
又，所以，
則
，
注意到，
所以，則，
所以．綜上．
當(dāng)時(shí)，，，即.
故選：C.
3．（多選）（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（ ）
A．B．
C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】ACD
【詳解】對于A選項(xiàng)，，A對；
對于B選項(xiàng)，設(shè)第次“美好成長”后共插入項(xiàng)，即，共有個(gè)間隔，且，
則第次“美好成長”后再插入項(xiàng)，則，
可得，且，
故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，故，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，由題意可知：
，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且?br>所以，，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，，故，
所以，，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D對.
故選：ACD.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，，，該數(shù)列為著名的裴波那契數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹木的分叉、植物種子的排列等植物的生長規(guī)律，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
【答案】ABD
【詳解】對于A，由，，…，，兩邊相加并代入得，故A正確；
對于B，因?yàn)?，則， 則
.
故B正確；
對于C，假設(shè)為公比為q等比數(shù)列，
故，即，
所以，，矛盾，故C不成立.
對于D，假設(shè)為公比為q的等比數(shù)列，
故，即，
由已知得：，，解得，所以D正確.
故選：ABD.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）引得無數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼搏的體育競技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為 ．
【答案】
【詳解】設(shè)第次由乙同學(xué)傳球的概率為，顯然，
第一次傳球從乙開始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，這兩人每人得到球的概率為，
如果球傳到乙，則乙不能傳到乙，
故第次由乙傳球的概率與第次由乙傳球的概率的關(guān)系為：
，即，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，則，故.
故答案為：.
6．（2023春·湖北武漢·高二武漢西藏中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)列，其中．是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…．記．則 ； ．
【答案】
【詳解】解：是線段的中點(diǎn)，,
故，
又，
故；
，
即，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
即，
由，
得：，
將上面所有式子相加得： ，
故.
故答案為：；.
④遞推數(shù)列
1．（2023春·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列中，，對任意正整數(shù)都滿足，數(shù)列，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，
又，則，，…，，
累加得，
所以，則，可得.
故選：C
2．（2023春·新疆·高二校聯(lián)考期末）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，
，
所以是周期為的數(shù)列，故.
故選：C
3．（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，得，即，顯然不成立，故，
將進(jìn)行變形，得，
則由得，，，，，
所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，
又，所以.
故選：A．
4．（多選）（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎堑那皀項(xiàng)和，，，則（ ）
A．B．
C．D．是以3為周期的周期數(shù)列
【答案】ABD
【詳解】由已知可得，，，，，，
所以，是以3為周期的周期數(shù)列.
對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，因?yàn)榈闹芷跒?，
所以，，，
所以，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，由解析可知，是以3為周期的周期數(shù)列，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
5．（2023春·浙江·高二期中）已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù).設(shè)，以下判斷正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列
B．
C．的通項(xiàng)公式為
D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)是
【答案】BCD
【詳解】由已知條件，得，
即，所以，，…，，
將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得，
即，代入驗(yàn)證也符合，所以C正確；
根據(jù)的通項(xiàng)公式依次求出數(shù)列前三項(xiàng)，，，顯然不是等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；
再由，，得，
同理根據(jù)，，得，所以B正確；
設(shè)數(shù)列的最小項(xiàng)為，則，即，
所以，解得，
由于，，
所以，即數(shù)列的最小項(xiàng)是.
故選：BCD.
6．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，若，則數(shù)列的前50項(xiàng)和為 .
【答案】
【詳解】由，，
可得數(shù)列中從奇數(shù)項(xiàng)起的連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，從偶數(shù)項(xiàng)起的連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，
又，，可得數(shù)列的前10項(xiàng)為1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
進(jìn)而可得，
則數(shù)列的前50項(xiàng)和為
．
故答案為：．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為 .
【答案】4962
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
所以數(shù)列為常數(shù)列，
所以，所以，
記的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
故答案為：4962
8．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則 ；的前40項(xiàng)和為 .
【答案】 0 420
【詳解】因?yàn)?，，所以，得?br>所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以，，，……，，，①
所以，②
因?yàn)?，，，……，，?br>所以，④
由①③得，所以
②式減去④式得，
所以，
所以，
故答案為：0，420
⑤數(shù)列求和
1．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可得，則，解得，所以，，
.
故選：A.
2．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足：，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由，，
令、、、，，
可得，，
兩式相加可得，，，
兩式相加，
進(jìn)行推論歸納可得，，
所以，對任意的,，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)的和為.
故選：C.
3．（多選）（2023春·安徽亳州·高二亳州二中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【詳解】由，
可得：，，，，，
則
即，則，又時(shí)也成立，所以
故選項(xiàng)B判斷正確；
由，可知選項(xiàng)A判斷正確；
令
則2
兩式相減得
故選項(xiàng)D判斷正確；
由，可得選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤.
故選：ABD
4．（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法正確的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值為
【答案】ACD
【詳解】對于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，
，則，A正確；
對于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，；
由A知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
，B錯(cuò)誤；
對于C，，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：，D正確.
故選：ACD.
5．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我們定義為數(shù)列的“特別數(shù)”．現(xiàn)已知數(shù)列的“特別數(shù)”為，則 ．
【答案】/
【詳解】由于為數(shù)列的“特別數(shù)”，又?jǐn)?shù)列的“特別數(shù)”為，
所以，則①，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，②，
①減去②可得：，又符合該式，
所以，則，
所以
.
故答案為：.
6．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）數(shù)列中，．定義：使數(shù)列的前項(xiàng)的積為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于 .
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，
所以為的整數(shù)次冪，
因?yàn)椋?br>所以，
故滿足條件的，，，，，，，，，
故區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和為：
．
故答案為：．
7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ；若存在正數(shù)，使對任意恒成立，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以①，②，
①-②得，
所以.
因?yàn)椴坏仁綄θ我夂愠闪ⅲ?br>所以9對任意恒成立，所以.
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，
所以，又，所以，故的最小值是.
故答案為：；.
⑥數(shù)列的極限
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，其中且，若對任意成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
即，
，，
，
累加得
，
又，所以，
即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，，
要使對任意成立，則，實(shí)數(shù)的最小值是.
故選：D
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，記表示中的最大值，表示中的最小值．若，，數(shù)列和滿足，，，，，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則存在正整數(shù)，使得
B．若，則
C．若，則
D．若，則存在正整數(shù)，使得
【答案】B
【詳解】設(shè)的解為，作出，，圖象如下圖所示，
，；
，，結(jié)合圖象可知：；
對于A，，，
，以此類推，，
，；
，
不存在正整數(shù)，使得，A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)或或時(shí)，，，即；
當(dāng)時(shí)，，且，
，且，
以此類推，則有，有極限；
當(dāng)時(shí)，，，
以此類推，則有，又，有極限；
當(dāng)時(shí)，，，
，
以此類推，則有當(dāng)時(shí)，；又，有極限；
當(dāng)時(shí)，，
且，
且，
以此類推，則有當(dāng)時(shí)，，有極限；
綜上所述：當(dāng)且時(shí)，無論取何值，都有極限，且當(dāng)時(shí)，；
令，則，，解得：或；
當(dāng)時(shí)，，，，B正確.
對于C，當(dāng)時(shí)，，，
以此類推，則為遞增數(shù)列，無極限，C錯(cuò)誤；
對于D，，，
不存在正整數(shù)，使得，D錯(cuò)誤.
故選：B.
3．（多選）（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考期中）如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長為1的等邊三角形，是對進(jìn)行如下操作而得到：將曲線的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長為，圍成的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
D．當(dāng)n無限增大時(shí)，趨近于定值
【答案】ABD
【詳解】是在的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列,且 故A正確，
第個(gè)圖形的邊長為 ，所以，故數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故B正確，
因?yàn)槭窃诘拿織l邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是
，
同理，對是在的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，
于是的面積等于的面積加上個(gè)新增小三角形的面積，
即，
于是可以利用累加的方法得到
將上面式子累加得
當(dāng)時(shí)， ，故C錯(cuò)誤，D正確，
故選：ABD
4．（多選）（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長的整數(shù)數(shù)列．隨著項(xiàng)數(shù)越來越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．白銀比為
【答案】ACD
【詳解】對于A：因?yàn)椋?，，，，，，，故A正確；
對于B：因?yàn)?，，，故B錯(cuò)誤；
對于C：設(shè)數(shù)列是公比為是等比數(shù)列，則，
所以，所以，
所以或；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得，故C正確；
對于D：因?yàn)?br>，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，，故D正確，
故選：ACD．
5．（2023春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
也滿足，故對任意的，，則，
所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)和公比均為，
所以，，
因此，.
故答案為：.
⑦等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）對于無窮數(shù)列，給出下列命題：
①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；
②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；
③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；
④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】①因?yàn)榧仁堑炔顢?shù)列，設(shè)的公差為，
則相鄰的三項(xiàng)為，
因?yàn)橛质堑缺葦?shù)列，則，設(shè)公比為，
則相鄰的三項(xiàng)為，
所以①，
②，
兩式相減得：③，
將③代入①中，，
因?yàn)椋?br>所以，
解得：，則，
所以是常數(shù)列，①正確；
②因?yàn)榈炔顢?shù)列為無窮數(shù)列，假設(shè)，則無最大值，不滿足，
所以假設(shè)不成立，即，所以是常數(shù)列，②正確；
③考慮，能夠滿足，而不是常數(shù)列，③錯(cuò)誤；
④設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?br>所以，則，
若，則無最大值，不合題意，
所以，進(jìn)而是常數(shù)列，④正確．
故選：C
2．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是、，再接下來的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（ ）
A．440B．330C．220D．110
【答案】A
【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組： ，記前組的和為。
則
.
令即，故.
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個(gè)元素.
設(shè)前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪且第項(xiàng)為第組的第個(gè)元素，則，
且前項(xiàng)和，其中，.
下證：當(dāng)時(shí)，總有.
記，則當(dāng)時(shí)，有，
故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.
所以，
由為2的整數(shù)冪，故，從而，
當(dāng)時(shí)，，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故選：A.
3．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差
B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列
C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列
D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列
【答案】ABC
【詳解】若為等比數(shù)列，公比，則，，
所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
若，是等差數(shù)列，則，故為比等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
令，，則，此時(shí)無意義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)閿?shù)列滿足，，
所以，，故，
所以不是比等差數(shù)列，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABC.
4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說法正確的是（ ）
A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列
B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0
C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列
D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比
【答案】BCD
【詳解】對于數(shù)列，考慮，無意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若等差比數(shù)列的公差比為0，，則與題目矛盾，所以B選項(xiàng)說法正確；
若，，數(shù)列是等差比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確；
若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則，
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
5．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則= ．
【答案】/
【詳解】等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，故公比為正數(shù)且不等于1．
，即，
即為，解得，
，
故答案為：．
6．（2023春·吉林長春·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br>兩式作差得，所以，
兩式再作差得，可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以4為公差的等差數(shù)列，從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列.
若對恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).
又，，
所以，解得：.
即首項(xiàng)的取值范圍是.
⑧數(shù)列不等式
1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）對于無窮數(shù)列，給出下列命題：
①若既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是常數(shù)列；
②若等差數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；
③若等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列；
④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則是常數(shù)列．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】①因?yàn)榧仁堑炔顢?shù)列，設(shè)的公差為，
則相鄰的三項(xiàng)為，
因?yàn)橛质堑缺葦?shù)列，則，設(shè)公比為，
則相鄰的三項(xiàng)為，
所以①，
②，
兩式相減得：③，
將③代入①中，，
因?yàn)椋?br>所以，
解得：，則，
所以是常數(shù)列，①正確；
②因?yàn)榈炔顢?shù)列為無窮數(shù)列，假設(shè)，則無最大值，不滿足，
所以假設(shè)不成立，即，所以是常數(shù)列，②正確；
③考慮，能夠滿足，而不是常數(shù)列，③錯(cuò)誤；
④設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?br>所以，則，
若，則無最大值，不合題意，
所以，進(jìn)而是常數(shù)列，④正確．
故選：C
2．（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是、，再接下來的三項(xiàng)是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（ ）
A．440B．330C．220D．110
【答案】A
【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組： ，記前組的和為。
則
.
令即，故.
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個(gè)元素.
設(shè)前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪且第項(xiàng)為第組的第個(gè)元素，則，
且前項(xiàng)和，其中，.
下證：當(dāng)時(shí)，總有.
記，則當(dāng)時(shí)，有，
故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.
所以，
由為2的整數(shù)冪，故，從而，
當(dāng)時(shí)，，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故選：A.
3．（多選）（2023春·廣西河池·高二校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，如果對任意，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差.則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，且比公差
B．等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列
C．若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列一定是比等差數(shù)列
D．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列
【答案】ABC
【詳解】若為等比數(shù)列，公比，則，，
所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
若，是等差數(shù)列，則，故為比等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
令，，則，此時(shí)無意義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)閿?shù)列滿足，，
所以，，故，
所以不是比等差數(shù)列，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABC.
4．（多選）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，如果對任意都有（為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比下列說法正確的是（ ）
A．等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列
B．等差比數(shù)列的公差比一定不為0
C．若，則數(shù)列是等差比數(shù)列
D．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比
【答案】BCD
【詳解】對于數(shù)列，考慮，無意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若等差比數(shù)列的公差比為0，，則與題目矛盾，所以B選項(xiàng)說法正確；
若，，數(shù)列是等差比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確；
若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則，
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
5．（2023春·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且,,成等差數(shù)列，則= ．
【答案】/
【詳解】等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，故公比為正數(shù)且不等于1．
，即，
即為，解得，
，
故答案為：．
6．（2023春·吉林長春·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），且滿足，若對恒成立，則首項(xiàng)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br>兩式作差得，所以，
兩式再作差得，可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以4為公差的等差數(shù)列，從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列.
若對恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).
又，，
所以，解得：.
即首項(xiàng)的取值范圍是.
⑨數(shù)列新定義
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（ ）
A．60B．120C．240D．480
【答案】B
【詳解】由題意，數(shù)列1，1，3，27，729，…為，且為一階等比數(shù)列，
設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，所以，
則，，
所以，，
因?yàn)?，，也適合上式，所以，
所以
.
故選：B.
2．（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎x數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若的“差數(shù)列”的第項(xiàng)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，
，而滿足上式，因此，
所以.
故選：D
3．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【詳解】由題知，因?yàn)椋瑒t有：
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.
綜上所述：或32.
故選：B
4．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .
【答案】98
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
則當(dāng)時(shí)，
，
因此，而，
所以.
故答案為：98
5．（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）某高中圖書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級+學(xué)號+特別碼構(gòu)成.這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號學(xué)生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是 屆2班13號學(xué)生.
【答案】
【詳解】根據(jù)圖表可得，第行的前兩個(gè)數(shù)之差為，
設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)為，則，即
兩邊同時(shí)除以，可得，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，
所以，
因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)分別為，所以的個(gè)位數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，且周期為，
因?yàn)椋裕?br>若時(shí)，則，
因?yàn)椋缘膫€(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；
若時(shí)，則，
因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；
若時(shí)，則，
因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為；
若時(shí)，則，
因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)是，故的個(gè)位數(shù)為，
同理可得：的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，
的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，的個(gè)位數(shù)為，
所以某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則，
故推斷該畢業(yè)生是屆2班13號學(xué)生.
故答案為：.
6．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測）對于數(shù)列，記，，，則稱是的“下界數(shù)列”，令，是的下界數(shù)列，則 ；
（參考公式：）
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，且，
又，所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
即，所以，
所以當(dāng)時(shí)
，
當(dāng)時(shí)
，
所以.
故答案為：

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