一、單選題
1．已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
2．數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
3．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
4．設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，且，則( )
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值
6．在等比數(shù)列中，公比為，已知，則是數(shù)列單調(diào)遞減的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
7．記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
8．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．30D．32
9．等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
10．記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
11．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為Sn，若Sn=2,S3n=14,則S4n等于
A．80B．30C．26D．16
12．已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
13．已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項和.若對任意的，恒成立，則（ ）
A．是遞增數(shù)列B．是遞減數(shù)列
C．是遞增數(shù)列D．是遞減數(shù)列
14．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了
A．6里B．24里C．48里D．96里
15．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈
A．1盞B．3盞
C．5盞D．9盞
16．等比數(shù)列的前n項和為，則r的值為
A．B．C．D．
17．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
18．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
B．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
C．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
D．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
19．如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項和為.若，則（ ）
A．46B．47C．48D．49
20．已知等比數(shù)列中，，其前項和為，前項積為，且，，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
21．若正項等比數(shù)列滿足，則的值是
A．B．C．2D．
22．我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足若某一半音與D#的頻率之比為，則該半音為（ ）
A．F#B．G
C．G#D．A
二、多選題
23．在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．D．
24．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為前項積為并滿足條件，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．是數(shù)列中的最大值D．數(shù)列無最大值
25．已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．是遞增數(shù)列B．是等比數(shù)列
C．D．
26．已知等比數(shù)列的公比為，其前項的積為，且滿足，，，則（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為198
27．設(shè)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，則下列選項中成立的是（ ）
A．B．C．D．與均為的最大值
28．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，則下列命題正確的是( )
A．若，，則
B．若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列
C．若，，，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列
D．若，，且，則的最小值為4
三、填空題
29．若為等比數(shù)列，，則 .
30．設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{a n}的前n項和為{S n}．若，，則q＝ ．
31．在數(shù)列中，，且，則 .
32．數(shù)列的前項和為，已知，，則 ．
33．已知數(shù)列{an}滿足lg2an+1=1+lg2an（n∈N*），且a1+a2+a3+…+a10=1，則lg2(a101+a102+…+a110)= .
34．記數(shù)列的前項積為，寫出一個同時滿足①②的數(shù)列的通項公式： ．
①是遞增的等比數(shù)列；②．
35．設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是 ．
36．我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項的和為 ．
37．我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是 尺；要使剩余木棍的長度小于尺，需要經(jīng)過 次截取.
38．已知數(shù)列滿足，則 ， ．
39．如圖所示：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為 ．
40．已知等比數(shù)列{An}滿足An＋1＋An＝9·2n－1，n∈N*，設(shè)數(shù)列{An}的前n項和為Sn．若不等式Sn＞kAn－2對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是 ．
41．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，該女子第二天織布 尺？
四、解答題
42．已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求.
43．已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
44．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項公式.
45．在數(shù)列{an}中，＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5．
（1）證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．
46．已知數(shù)列滿足，，設(shè)．
（1）求；
（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求的通項公式．
47．已知數(shù)列滿足，且.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求數(shù)列的前項和.
48．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
49．已知數(shù)列，滿足，，且，
(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列，的通項公式．
50．已知數(shù)列中.
（1）是否存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
（2）若是數(shù)列的前項和，求滿足的所有正整數(shù).
51．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1對一切n∈N*都成立．
（1）若λ=1，求數(shù)列{an}的通項公式;
（2）求λ的值，使數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
52．已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
頻率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C(八度)
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
2．C
【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.
【詳解】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
故選：C.
【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.
3．B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
4．C
【分析】根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，并利用等差數(shù)列求和公式即可求解.
【詳解】因為是等比數(shù)列，，公比，
所以，化簡得，，
故.
故選：C.
5．C
【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得，，，代入構(gòu)造基本不等式的形式，運用基本不等式求得最值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比，∵，∴，∴，∴，，
∴
，當且僅當，即時，取等號，
故選：C.
【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用求最值，屬于中檔題.在利用基本不等式求最值時，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(必要時，還要考慮常數(shù)項)必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號成立的條件，使待求式能取到最大或最小值.
6．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解，進而可求解.
【詳解】對，令，則，
由于，，所以，故，
因為，所以，即,
即，則數(shù)列單調(diào)遞減，故正向可以推出；
若數(shù)列單調(diào)遞減，，則，則，
則，即，即，則反向能推出；
故是數(shù)列單調(diào)遞減的充要條件，
故選：C
7．C
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．
8．D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
9．B
【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
10．A
【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.
【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
11．B
【詳解】設(shè)公比為，則由條件知 根據(jù)Sn=2,S3n=14得：
；得：
；解得（舍去）
故選B
12．D
【分析】由可得出，取，由，進而判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，
若，，
所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
13．B
【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項和,結(jié)合恒成立，得出的取值范圍，得到 是遞減數(shù)列.
【詳解】是公比為的等比數(shù)列，為其前項和,
恒成立,恒成立,
若，則可能為正也可能為負，不成立
所以,
當是遞減數(shù)列,
當是遞減數(shù)列,
故選:B.
14．D
【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得的值，即可得該人第2天走的路程里數(shù)，可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，
由，得，
解可得，
則；
即此人第二天走的路程里數(shù)為96；
故選：D．
【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確分析題意，確定等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，屬于基礎(chǔ)題．
15．B
【詳解】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，
由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故選B．
16．B
【詳解】當時,,
當時，
所以，故選B.
17．D
【詳解】試題分析：當時，不是遞增數(shù)列；當且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.
考點：等比數(shù)列
18．D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，逐項分析即可.
【詳解】對于A,由知其公比為的等比數(shù)列，對于B,若 時，項中有0，不是等比數(shù)列，對于C，若時，數(shù)列項中有0，不是等比數(shù)列，對于D,，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選D.
【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的判定，屬于中檔題.
19．C
【分析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第行共有個數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第行的數(shù)字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列，即可求出；
【詳解】解：“數(shù)塔”的第行共有個數(shù)，其和為，所以前行的和為
故前行所有數(shù)學(xué)之和為，因此只需要加上第10行的前3個數(shù)字1,2,4，其和為，易知“數(shù)塔”前行共有個數(shù)，所以
故選：C
20．D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項關(guān)系，求得，從而得，于是有，解不等式即可.
【詳解】解：因為，，所以，
即，則，
，或，又，，
，，
則，
，
則，得，則.
選選：D.
21．D
【詳解】分析：設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，可得，解得，解得，代入即可得結(jié)果.
詳解：設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，
，
所以，解得，
，解得，
則，故選D.
點睛：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式，意在考查推理能力與計算能力以及基本概念與基本公式的掌握的熟練程度，屬于中檔題.
22．B
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算可得，即可得公比，進而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】依題意可知由于滿足，則，∴，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，
D#對應(yīng)的頻率為，題目所求半音與D#的頻率之比為，所以所求半音對應(yīng)的頻率為，即對應(yīng)的半音為G.
故選：B.
23．ACD
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)進行逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以有，因此選項A正確；
因為，所以，
因為常數(shù)，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項B不正確；
因為，所以選項C正確；
，
因為當時，，所以選項D正確.
故選：ACD
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
24．AB
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷，進而可判斷，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】由可得，
由可知，，
當時，則，不成立，
故，且，故，A正確；
，故B正確；
是數(shù)列中的最大值，C，D錯誤.
故選：AB
25．ACD
【分析】將遞推公式兩邊同時取指數(shù)，變形得到，構(gòu)造等比數(shù)列可證為等比數(shù)列，求解出通項公式則可判斷A選項；根據(jù)判斷B選項；根據(jù)的通項公式以及對數(shù)的運算法則計算的正負并判斷C選項；將的通項公式放縮得到，由此進行求和并判斷D選項.
【詳解】因為，所以，
從而，，所以，
所以，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，即，
又因為在時單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以是遞增數(shù)列，故A正確；
因為，
所以，
所以，
所以，所以不是等比數(shù)列，故B錯誤.
因為
，
而
，從而，
于是，，故C正確.
因為，所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：數(shù)列單調(diào)性的一般判斷步驟：
（1）先計算的結(jié)果，然后與比較大?。ㄒ部梢杂嬎愕闹?，然后與比較大小，但要注意項的符號）；
（2）下結(jié)論：若，則為遞增數(shù)列；若，則為遞減數(shù)列；若，則為常數(shù)列.
26．ABD
【分析】根據(jù)題目所給已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正確.
由A選項的分析可知，，∴，∴，，故B正確，C不正確.
∴，
，
∴使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為198，故D正確.
故選：ABD
27．ABD
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義利用數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項．
【詳解】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，
又，
，，B正確；
，，即，A正確；
由得，，所以，而，，因此，C錯；
由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．
故選：ABD．
28．AC
【分析】A：利用等比數(shù)列前n項和公式即可計算；B：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷；C：根據(jù)等差數(shù)列定義即可判斷；D：利用基本不等式即可判斷．
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，∵，故的單調(diào)性由q和共同決定，q>1無法判斷數(shù)列為遞增數(shù)列，如，此時數(shù)列為遞減數(shù)列，故B錯誤；
對于C，∵為常數(shù)，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故C正確；
對于D，若，，則，，
∵，
∴，
即，即，即，
即當時，的最大值為4，故D錯誤．
故選：AC．
29．
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)立可解得或,分類求解可得，即可利用等比的性質(zhì)求解.
【詳解】因為，又解得或,
設(shè)等比數(shù)列的公比為，當時， ，
所以；
當時，，所以，
故答案為：
30．
【詳解】將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子．
即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)
31．
【分析】由，，得到且，得出數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】由，可得，
又由，可得，所以，
所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
32．
【分析】由給定條件借助消去，求出即可得解.
【詳解】因，，而，則，
于是得，又，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
從而有，即，，
時，，而滿足上式，
所以，.
故答案為：
33．100
【分析】由數(shù)列遞推式可得an+1=2an，結(jié)合前10項和即可求a101+a102+…+a110，再由對數(shù)運算性質(zhì)求值即可.
【詳解】由lg2an+1=1+lg2an，可得lg2an+1=lg22an，
∴an+1=2an，即數(shù)列{an}是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列，又a1+a2+…+a10=1，
∴a101+a102+…+a110=(a1+a2+…+a10)×2100=2100，
∴l(xiāng)g2(a101+a102+…+a110)=lg22100=100.
故答案為：100
34．(答案不唯一)
【分析】利用題干條件得到，不妨令，進而求出首項和通項公式.
【詳解】，，．
不妨設(shè)，則，．
故答案為：(答案不唯一)
35．
【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項和公式為，
等比數(shù)列的前項和公式為，
依題意，即，
通過對比系數(shù)可知，故.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.
36． 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設(shè)后7項公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
37．
【分析】建立等比數(shù)列模型：記第天后剩余木棍的長度，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可解決.
【詳解】記第天后剩余木棍的長度，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
由得，所以的最小值為.
所以第6天截取之后，剩余木棍的長度是尺，要使剩余木棍的長度小于尺，需要經(jīng)過次截取.
故答案為：；.
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.
38．
【分析】根據(jù)，求出數(shù)列的通項公式，再代入求出．
【詳解】解：因為
當時，，解得；
當時，，所以，即
于是是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以．
所以，
故答案為：；；
39．
【詳解】由題意，正方形的邊長構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到個正方形，則有，∴，∴最小正方形的邊長為，故答案為.
40．
【分析】首先根據(jù)條件求等比數(shù)列的公比，再求和，并且代入不等式Sn＞kAn－2后，參變分離為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，即可求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{An} 的公比為q，因為An＋1＋An＝9·2n－1，n∈N*，所以A2＋A1＝9，A3＋A2＝
18，所以，所以2A1＋A1＝9，所以A1＝3．所以An＝3·2n－1，n∈N*，故，即3(2n－1)>k·3·2n－1－2，所以．
令，則f(n)隨n的增大而增大，所以，得．
故答案為：
41．
【分析】首先根據(jù)題意得到女子每天所織布的長度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，首項為，前項和為，得到，再解方程組即可.
【詳解】由題意可得，該女子每天所織布的長度構(gòu)成等比數(shù)列，
設(shè)公比為，首項為，前項和為，
由題意可得，解得，
所以第二天織的布為.
故答案為：
42．（1）；（2）
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；
(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.
【詳解】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數(shù)列的通項公式為：.
(2)由于：，故：
.
【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).
43．(1)，；
(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當時，，
取，當時，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，
取，則，即，
當時，，
取，此時，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當時，，所以，
所以，即，
當時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，
其前項和為：.
【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.
44．(1)證明見解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比數(shù)列的定義證明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，結(jié)合求解.
【詳解】（1）證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因為{an}中各項均為正數(shù)，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.
（2）由題意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
45．（1）證明見解析；（2）Sn＝3·2n－n－3．
【分析】（1）化簡所給遞推關(guān)系式可得，即可證明；
（2）由（1）求出數(shù)列{an}的通項公式，根據(jù)分組求和及等比數(shù)列的求和公式可解.
【詳解】（1）證明：∵＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即
∵a1＝2，a2＝5，
∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，
∴數(shù)列{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，
∴Sn＝－n＝3·2n－n－3．
46．（1），，；（2）是首項為，公比為的等比數(shù)列．理由見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)，求得和，再利用，從而求得，，；
（2）方法一：利用條件可以得到，從而可以得出，這樣就可以得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；
（3）方法一：借助等比數(shù)列的通項公式求得，從而求得.
【詳解】（1）由條件可得，
將代入得，，而，所以，．
將代入得，，所以，．
從而，，；
（2）[方法1]：【通性通法】定義法
由以及可知，，，
所以，，又，所以為等比數(shù)列．
[方法2]：等比中項法
由知，所以，．
由知，所以．
所以為等比數(shù)列．
（3）[方法1]：【最優(yōu)解】定義法
由（2）知，所以．
[方法2]：累乘法
因為，累乘得：．
所以．
【整體點評】（2）方法一：利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，是通性通法；
方法二：利用等差中項法判斷數(shù)列為等比數(shù)列，也是常用方法；
（3）方法一：根據(jù)（2）中結(jié)論利用等比數(shù)列的通項公式求解，是該題的最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)遞推式特征利用累乘法求通項公式．
47．（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）計算得到，得到答案.
（2），得到數(shù)列通項公式.
（3）根據(jù)分組求和法計算得到答案.
【詳解】（1）由，得，∴，又，
∴是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.
（2），∴.
（3）.
【點睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，分組求和法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.
48．（1）見解析；（2），．
【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，
因為，
所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
49．(1)，，證明見解析
(2)，
【分析】（1）令，可求得，的值，再利用等比數(shù)列定義證明；
（2）由（1）知，代入可得，利用累加法可求解.
【詳解】（1）∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是為首項，為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）知是為首項，為公比的等比數(shù)列.
∴，∴
∵，∴
∴當時，
.
當時，也適合上式
所以數(shù)列的通項公式為
數(shù)列的通項公式為.
50．（1）（2）1和2．
【詳解】試題分析：（1）設(shè)bn=a2n﹣λ，依題意，可得若數(shù)列{a2n﹣λ}是等比數(shù)列，則必須（常數(shù)）；（2）由（1）得{bn}是以﹣為首項，為公比的等比數(shù)列，于是a2n﹣1+a2n=，利用分組求和的方法，分別用等比數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的求和公式即可求得S2n，分n=1與2討論，計算即可得到答案．
詳解：
（1）設(shè)，因為
若數(shù)列是等比數(shù)列，則必須有（常數(shù)），
即，即 ，
此時
所以存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）由（1）得是以為首項，為公比的等比數(shù)列
故 ，即
由，得，
所以，
顯然當時，單調(diào)遞減，
又當時，，當時，，所以當時，；
，
同理，當且僅當時，
綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2.
點睛：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，綜合考查等比數(shù)列的性質(zhì)、分組求和，考查分類討論思想及抽象思維、邏輯思維、綜合運算能力，屬于難題．數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等.
51．（1）；（2）λ=0.
【分析】（1）若λ=1，根據(jù)已知可得=，累乘可得，再根據(jù)與的關(guān)系即可得解；
（2）根據(jù)已知求得，再由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得，解得λ=0，代入已知，證明數(shù)列{an}時等差數(shù)列即可.
【詳解】解：（1）若λ=1，則 ,，令n=1，得．
又因為，，所以=，
所以 ··=···，
即，所以①
所以當n≥2時，②
①-②，得，所以=2(n≥2)．當n=1時上式也成立．
所以數(shù)列{an}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，即．
（2）令n=1，得．令n=2，得．
要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有，解得λ=0．
當λ=0時，，且．
當n≥2時，，
整理，得，則=，
從而·=·，
化簡，得，即，所以．
綜上所述，an=1(n∈N*)．
所以λ=0時，數(shù)列{an}是以1為公差的等差數(shù)列．
52．(1)，，，
(2)
(3)證明見詳解
【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；
（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；
（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
當時，則，故；
當時，則，故；
當時，則故；
當時，則，故；
綜上所述：，，，.
（2）由題意可知：，且，
因為，且，則對任意恒成立，
所以，
又因為，則，即，
可得，
反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，
當時，則；當時，則，
則，
又因為，則，
假設(shè)不成立，故，
即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，
（?。┤簦瑒t可取，滿足 使得；
（ⅱ）若，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得；
（ⅲ）若，
定義，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
即滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得.
綜上所述：存在使得．

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