一、單選題
1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．和是兩個等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（ ）
A．64B．128C．256D．512
3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn ，若則
A．130B．170C．210D．260
4．等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,，若，則
A．B．C．D．
5．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S160，S161，n∈N*)．
由{an}為等差數(shù)列，可知{bn}為等差數(shù)列．
選項(xiàng)A中，由a4為a2，a6的等差中項(xiàng)，得2a4＝a2＋a6，成立．
選項(xiàng)B中，由b4為b2，b6的等差中項(xiàng)，得2b4＝b2＋b6，成立．
選項(xiàng)C中，中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.
由＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
化簡得a1d＝d2，
又由d≠0，可得a1＝d，符合，成立．
選項(xiàng)D中，b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，
b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.
由＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，
化簡得2a1d＝3d
又由d≠0，可得.
這與已知條件矛盾．
故選：ABC
24．16.
【分析】由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.
【詳解】由題意可得：，
解得：，則.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.
25．5
【分析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其單減性，求得最小值.
【詳解】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，
故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，不符；
故的最小值為5，
故答案為：5
26．0
【分析】根據(jù)題意可化簡得出，再根據(jù)求和公式即可求出.
【詳解】設(shè)數(shù)列公差為（），
由可得，則，
則，則可得，
所以.
故答案為：0.
27．
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的計算公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】.
故答案為：.
28． 0 1009或1008
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式公式可得，再求出與d的關(guān)系，可得，即可求出當(dāng)或1008時，取得最大值
【詳解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
故當(dāng)取得最大值時，或，
故答案為0，1009或1008．
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
29．
【分析】根據(jù)題意，由條件可得是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以是等差數(shù)列．
因?yàn)?，所以的公差為，又?br>所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：
30．
【分析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)即可求解.
【詳解】解：由題意可知，，解得，又，則，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故
故答案為：20.
31．2020
【分析】推導(dǎo)出是以﹣2018為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．由此能求出S2020的值．
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列．
設(shè)其公差為，則，∴．
故，
∴．
故答案為：2020. ．
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn)及求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
32．
【詳解】等式兩邊同時乘以a2a4a6a8得a2＋a4＋a6＋a8＝14，即2(a2＋a8)＝14，a2＋a8＝7，從而S9＝＝＝.
33．3
【分析】根據(jù)條件，分別令n=2，n=3求出a2=12-2a，a3=3+2a，再根據(jù)a1+a3=2a2，即可求出的值.
【詳解】在中，因?yàn)閍1=a，所以分別令n=2，n=3
得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因?yàn)?，所以a2=12-2a，a3=3+2a．
因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．
經(jīng)檢驗(yàn)a=3時，an=3n，Sn=，Sn-1=，滿足Sn2=3n2an+ Sn-12．所以a=3．
故答案為：.
34．
【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.
35．
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．再利用已知即可得出．
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：．
對于任意的都有，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
36．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；
（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.
【詳解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）為等差數(shù)列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，
，即，解得或（舍去）
當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；
當(dāng)時，，解得.
綜上，.
37．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．
38．(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
39．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
，
當(dāng)時，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
所以當(dāng)時，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)時，，因此，
所以當(dāng)時，.
40．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，所以，
化簡得：，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，
，即，．
41．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因?yàn)?，所以，所以?br>在中，當(dāng)時，．
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法
由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時顯然成立．
假設(shè)當(dāng)時成立，即．
那么當(dāng)時，．
綜上，猜想對任意的都成立．
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
（2）
由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當(dāng)n=1時，,
當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【整體點(diǎn)評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；
方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；
方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；
42．（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）將已知遞推關(guān)系移項(xiàng)配方整理可得，進(jìn)而利用等差中項(xiàng)法證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）利用裂項(xiàng)求和法求和化簡后即得證.
【詳解】解：（1）由結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù) 得
則，所以數(shù)列是等差數(shù)列；
（2），則公差
∴，
∴.
43．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時，．
【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．
44．證明過程見解析
【分析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.
選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；
選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式
設(shè)，則，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數(shù)法
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，
則，將代入，
化簡得對于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因?yàn)?，是等差?shù)列，
所以公差，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以是等差數(shù)列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設(shè)，則，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；
當(dāng)時，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數(shù)列.
[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式
因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.
【整體點(diǎn)評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.
45．（1）見解析；（2），．
【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．
【詳解】(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，
因?yàn)椋?br>所以，數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
46．（1），；（2）.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件得到是方程的兩實(shí)根，從而求出； 再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求，，從而求和；
（2）根據(jù)求出，，，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列得到，從而求出的值.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又，
所以是方程的兩實(shí)根，
又公差，所以，所以，
所以，，所以，
所以，.
（2）由（1）知，所以，
所以，，，
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，
所以，解得或(舍)，所以.
47．（1）；（2）λ=0.
【分析】（1）若λ=1，根據(jù)已知可得=，累乘可得，再根據(jù)與的關(guān)系即可得解；
（2）根據(jù)已知求得，再由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得，解得λ=0，代入已知，證明數(shù)列{an}時等差數(shù)列即可.
【詳解】解：（1）若λ=1，則 ,，令n=1，得．
又因?yàn)?，，所?，
所以 ··=···，
即，所以①
所以當(dāng)n≥2時，②
①-②，得，所以=2(n≥2)．當(dāng)n=1時上式也成立．
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，即．
（2）令n=1，得．令n=2，得．
要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有，解得λ=0．
當(dāng)λ=0時，，且．
當(dāng)n≥2時，，
整理，得，則=，
從而·=·，
化簡，得，即，所以．
綜上所述，an=1(n∈N*)．
所以λ=0時，數(shù)列{an}是以1為公差的等差數(shù)列．

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