第15講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（精講）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

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一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令（或）不跟等號(hào).
2、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.
②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.
注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).
（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間
①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間,有解.
②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間,有解.
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得（為變號(hào)零點(diǎn)）
3、含參問(wèn)題討論單調(diào)性
第一步：求的定義域
第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）
第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為
對(duì)于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對(duì)初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來(lái)就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).
第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性
二、題型分類精講
題型一 導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)圖像之間的聯(lián)系
策略方法
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）.
【典例1】已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．在區(qū)間內(nèi)有個(gè)極值點(diǎn)
D．的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率大于
三、填空題
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.
6．（2023春·上?！じ呷y(tǒng)考開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______.
題型二 不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性
策略方法 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)f (x)的定義域．
(2)求f ′(x)．
(3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)＞0，得單調(diào)遞增區(qū)間．
(4)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)＜0，得單調(diào)遞減區(qū)間．
【典例1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．和
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①；
②；
③；
④．
其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．有4個(gè)零點(diǎn)
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．曲線與軸不相切
三、填空題
5．（2023·云南·校聯(lián)考二模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．
6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
7．（2023秋·山東東營(yíng)·高三東營(yíng)市第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________．
8．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_______．
9．（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 __.
題型三 含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性
策略方法 解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．
(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．
【典例1】已知函數(shù)（其中a為參數(shù)）.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【典例2】已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性.
【典例3】設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【典例4】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
三、解答題
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論在上的單調(diào)性；
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；
題型四 函數(shù)單調(diào)性中的參數(shù)值（范圍）問(wèn)題
策略方法 由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，從而構(gòu)建不等式，求出參數(shù)的取值范圍，要注意“＝”是否可以取到．
(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，即f ′(x)max＞0(或f ′(x)min＜0)在該區(qū)間上有解，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．
(3)若已知f (x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，區(qū)間端點(diǎn)含有參數(shù)時(shí)，可先求出f (x)的單調(diào)區(qū)間，令D是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．
中點(diǎn)，“一軸”指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問(wèn)題．
【典例1】若函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
5．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
7．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．
9．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．